高三數(shù)學二輪復習28空間中的動點問題

立體幾何一空間中的動點問題

專題綜述

空間中的動點問題是指在一定的約束條件下，點的位置發(fā)生變化，在變化過程中找出規(guī)

律，將動點問題轉化為“定點”問題、將空間問題轉化為平面問題、將立體幾何的問題轉

化為解析幾何的問題等，目的是把問題回歸到最本質的定義、定理或現(xiàn)有的結論中去.立體幾

何中考查動點問題，往往題目難度較大，滲透化歸與轉化思想，對學生的邏輯推理能力要求

較高.一般考查動點軌跡、動點的存在性、定值、范圍、最值等問題，除了利用化動為定、

空間問題平面化等方法，在幾何體中由動點的變化過程推理出結果以外，也可以通過建系，

坐標法構建函數(shù)，求得結果.

專題探究

巧用極端位置

探究1:坐標法解決動點問題

建立空間直角坐標系，使幾何元素的關系數(shù)量化，借助空間向量求解，省去中間繁瑣的推

理過程.解題步驟與空間向量解決立體幾何問題一致，建立適當?shù)目臻g直角坐標系=由動

點的位置關系，如在棱上或面內(nèi)，轉化為向量的關系，用參數(shù)表示動點的坐標=通過空間

向量的坐標運算表示出待求的量=若求最值或取值范圍，轉化為函數(shù)問題，但要注意自變

量的取值范圍.一般坐標法用于解決動點的存在性問題、求最值、求范圍問題.

說明：對于求最值、范圍問題，也可以直接通過幾何體中的某個變量，構建函數(shù)，求最值

或范圍.

（2022湖北省宜昌市模擬）（多選）在正方體ABCD-A耳G。中，點。為

線段A。上一動點，則（）

A.對任意的點Q,都有用DJ.CQ

B.三棱錐5—BCQ的體積為定值I/

C.當。為A。中點時，異面直線耳。與BC所成的角最小A

D.當。為中點時，直線用Q與平面BCC4所成的角最大

【審題視點】

以正方體為載體考查定點的定值、最值問題，正方體便于建立空間直角坐標系，可選擇用

坐標法解決.

【思維引導】

A8選項，可以用幾何知識證明；CO選項，設出0點坐標，用坐標表示出異面直線成角

的余弦值或線面角的正弦值，求最值，得出。點位置.

【規(guī)范解析】

解：對于A：連接AC,CD,.

因為在正方體ABC。一44G2中，用。，平面AC?,

CQu平面ACR,

B.DVCQ,

故A正確;

對于B：

■平面ADD^//平面BCC.B,,

：.平面AOR4與平面8。。內(nèi)的距離為正方體棱長a,

VV=2X2aa=6a，為定值'

B-BICQ=Q-BCBI

故3正確;

對于C：

以。為坐標原點，直線分別x,y,z軸，建立空間直角坐標系如下圖:

設正方體ABCD-ABCR的棱長為2,

i用一個參數(shù)表示動點的坐標，

—i并求出參數(shù)范圍，即為函數(shù)定

2(x,0,2-%)(%e[0,2]),

i義域

則用(222),5(2,2,0),C(0,2,0).

因此4Q=(x—2,—2,—x),BC=(-2,0,0),G

設異面直線與。與BC所成的角為

\B,Q-BC\(27)

則cos0-|cos<BQBC〉卜6

|40慳「J2/—4X+8

當x=2時，cos。=0,

hr)?

轉化為函數(shù)求最值，求出當

當xe[0,2)時，cos6=當

J2廠-4x+8f8l函數(shù)取最值時的x的值

一也

元=0時,

一2

故當。與A重合時，異面直線與。與BC所成的角最小,

故C不正確；

對于。：4Q=(x-2,-2,—x),

又加=(0,1,0)是平面BCGA的一個法向量，

設直線用。與平面BCGg所成的角為a，

則sina=cos<BXQ,m>=y——j-j—L=,==,

對V2X2-4X+8,2(X—lp+6

所以當x=l時，sina取得最大值巫而ae嗚

3

因此a取得最大值，

即當。為A?中點時，直線用。與平面6CG5所成的角最大,

故。正確.

故選ABD

【探究總結】

典例1是一道典型的研究動點問題的多選題，難度中等，但能夠反映出坐標法研究最值范

圍問題的思路.建系=設坐標，寫出參數(shù)范圍=＞根據(jù)向量運算構造函數(shù)=求最值.

（2021安徽省蚌埠市聯(lián)考）已知圓柱0。底面半徑為1,高為萬，ABCD

是圓柱的一個軸截面，動點M從點B出發(fā)沿著圓柱的側面到達點D,其距離最短時在側面

留下的曲線「如圖所示.將軸截面A8C。繞著軸逆時針旋轉。（0＜。＜1）后，邊8c

與曲線「相交于點P.

（1）求曲線「長度；

TT

（2）當。=—時，求點G到平面4小的距離；

2'

TT

（3）證明：不存在伙0＜。＜萬），使得二面角0—45—P的大小為一.

4

探究2：化動為定

點的位置在變化的過程中，有些量或位置關系是不變的，比如點到平面的距離不變，從而

使幾何體的體積不變；動點與另外一定點的連線與某條直線始終垂直，與某個平面始終平

行.在證明體積為定值、證明位置關系時，要動中尋定，將動態(tài)的問題靜態(tài)化：將動點轉化

為定點，尋找動直線所在的確定平面，從而解決問題.

答題思路：

1.動點P到平面A3C的距離為定值：證明PQABC,動點P到平面ABC的距離即

為定點。到平面ABC的距離；

2.P為動點,為定點，證明PQLA8：證明PQ所在平面與垂直；

3.P為動點，。為定點，證明PQ|平面A8C：證明尸。所在平面與平面48c平行.

HM2（2021湖南省四校聯(lián)考）在正三棱柱ABC—Agq中，A8=A4,=1,

D,E,F,G,分別為4。，40，償，。6的中點，P是線段力尸上的一點.有下列三個結

論：①3尸1平面用EG；②^^工/^^③三棱錐^—耳^^的體積時定值，其中所有正確

結論的編號是

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【審題視點】

求證關于動直線族的線面平行或線線垂直，三棱錐的體積為定值問題，要化動為定.

【思維引導】

證明動直線3P所在平面與已知平面平行；證明定直線DG與動直線3尸所在平面垂直;

尋找過點P與平面4EG平行的直線，即得出點P到平面B]EG的距離.

【規(guī)范解析】

解：如圖，

對于①，在正三棱柱ABC—A4G中，

D,E,F,Gr分別為ACAG,AApCG的中點，

:.EGDF,BDB}E,EGB、E=E,DFBD=D

平面BD/ll平面gEG,

線面平行，轉化為面面平行

由3Pu平面BDF，得8P||平面gEG,故①正確;

對于②,

在正三棱柱ABC—AUG中，

平面ACGA，平面ABC,

平面ACG4「'平面ABC=AC

B￡)u平面ABC,BDA.AC,

平面AC￡4

:.BD工DG

DG±DF,DFBD=D

.?.￡)G_L平面BOR異面直線垂直，轉化為線面垂

.?.OG_L8P,故②正確;直

對于③,

平面8。廠H平面&EG,

DF|平面BgG

體積的定值問題，轉化點到平

，產(chǎn)到平面BXEG的距離為定值,

面的距離是定值，即通過線面

平行或面面平行，得出動點到

而有SAB、EG為定值,故Vp-B'EG是定值,

平面距離為定值

故③正確.故選D

【探究總結】

立體幾何證明中經(jīng)常出現(xiàn)，求證關于動直線的線面平行與線線垂直問題，其思路是轉化為

證明動直線所在的定平面與其他平面或直線的位置關系.關鍵是分析動點,動線或動面間的

聯(lián)系,在移動變化的同時尋求規(guī)律.

（2021云南省曲靖市聯(lián)考）如圖所示的幾何體中，ABC-A4G為直三

棱柱，四邊形ABCD為平行四邊形，CD^2AD,NAOC=60°,AA,=AC.

（1）證明：A,D,C,,與四點共面，且ACJ.OG；

（2）若A￡>=1,點M是BC上一點，求四棱錐（.-"XW'的體積，并判

斷點M到平面ADCe的距離是否為定值？請說明理由.

探究3：巧用極端位置

由于點位置連續(xù)變化，使研究的圖形發(fā)生連續(xù)的變化，利用點的位置變化"極端"位置，避

開抽象及復雜的運算，得到結論.常見題型：

1.定值問題：幾何體中存在動點，但所求結果是確定的，即隨著動點位置的改變不會影響所

求的量，故可以考慮動點在極端位置的情況，優(yōu)化解題過程.

2.范圍問題：幾何體中存在動點，結果會隨著動點位置改變而改變，當動點從一側極端位置

移動到令一個極端位置的過程中，所求量在增大、或減小、或先增后減、或先減后增，通過

求出極端位置處的值，及最值，從而得出范圍；

3.探究問題：探究滿足條件的點是否存在，也可以轉化為求出范圍，從而得出結論.

（2021湖南省株洲市模擬）在正四面體A—8QD中，E為棱的中

點，廠為直線30上的動點，則平面AEF與平面ACD夾角的正弦值的取值范圍

是.

【審題視點】

本例可用極端位置法分析，也可以建系，用坐標法解決.

【思維引導】

借助極端位置分析，不難看出經(jīng)過AB和A4CD底邊中線的平面與平面ACO垂直，F(xiàn)點、

在移動的過程中，存在一個位置使平面AEF與經(jīng)過AB和AACD底邊中線的平面平行,

式

即平面AEFJ_平面AC。，此時兩平面所成角為一，角最大；當尸點移動到無窮遠時,

2

平面平面ABO,此時兩平面所成角最小.

【規(guī)范解析】

解：由正左圖____.

飯5%芨母而吊心，的吊冠，

則在正四面體中OB，平面ACD,

E為中點，G為0C的中點，\結合幾何知識，兩平面成角的

EG0B,故EG_L平面ACOi變化過程，即動點從一個極端

連接AG,并延長AG交CD于點”，j位置變化到另一極端位置時，

連接HE，并延長交8。于點尸，i夾角大小的增減情況

則過點AE,G的平面交直線BD于點F.

則平面平面4CD

即平面AEF與平面ACD的夾角的正弦值為1,

了支灰板羸而施薊葩拓至首瓦BZ5而至躬萩i旃丑短節(jié);：在極端位置處取"最值"，直接

i求出點該處時的夾角的正弦

平面AEF與平面ACD的夾角逐漸減小，

i值，即為范圍區(qū)間的一個端點

即當點尸在無窮遠處時，看作七下|BD，

如下右圖

故平面AEF與平面AC。的夾角即為平面AEFt與平面ACD的夾角,

求出其正弦值為它.

3

綜上可知:面AE五與面AC。的夾角的正弦值的取值范圍為

【探究總結】

借助極端位置解決典例3中的問題，首先利用幾何知識，明確點在移動的過程中，所求量

的變化情況，若在極端位置處取“最值”，問題就簡化為求出極端位置處的值.

（2021浙江省杭州市高三模擬）高為1的正三棱錐P-ABC的底面邊長為

a,二面角P-AB-C與二面角A—P3-C之和記為。，則在。從小到大的變化過程

中，。的變化情況是（）

A.一直增大B.一直減小C.先增大后減小D.先減小后增大

專題升華

幾何體中研究動點問題往往難度較大，開放性強，技巧性高.總體思路是：用幾何知識，經(jīng)

過邏輯推理，證明位置關系或求出表示出所求量；或者建立空間直角坐標系，將幾何問題

代數(shù)化，用空間向量研究動點問題，省去了繁雜的推理環(huán)節(jié)，但計算量較大.解決動點問題

的策略不局限與上述方法，常用的的方法還有：運用條件直接推算，借助條件將幾何體還

原到長方體中去；構造函數(shù)，數(shù)形結合；還將空間問題轉化為平面幾何解決，如化折為

直、利用解析幾何的知識解決.但只要我們熟練掌握這些基本方法，并靈活加以應用，不僅

能化繁為簡，化難為易，而且還可以得到簡捷巧妙的解法.

【答案詳解】

變式訓練1

【解答】解：（1）「在側面展開圖中為8D的長，其中AB=AD=乃,

曲線『的長為J5肛

TT

（2）當。=一時，建立如圖所示的空間直角坐標系，

2

則有4（0,-1,0）、B（O,1,O）、G（—1,0,%）,

_____-TT

??.AB=(0,2,0)、AP=(-1,1,-).OCX=(-1,0,^)

n-AB=2y=0

設平面ABP的法向量為〃=(x,y,z),則<冗

n?AP=-x+yH——z=0

2

取2=2得〃=(肛0,2),

所以點G到平面PAB的距離為d=l<9C,'n|=.

hlJ儲+4

（3）假設存在滿足要求的e（o<e<乃），

在（2）的坐標系中，p（-sinacosae）,

AP=(-sine,cose+i,e)，

設平面ABP的法向量為m=（芭，y,Z］）,則

2y=0

<八八，

-%1sine+y(cose+l)+6Z]=0

取再=1得加=(1,0,sn'),

0

又平面ABD的法向量為4=（1,0,0）,

由二面角O—AB—P的大小為2TT,

4

則|cos(m,k)\=-------==>sin。=0.

sirrO2

1+丁

TT

sin6＜e（0＜e＜一）,.?.0＜。＜4時，均有sin6＜6,與上式矛盾.

2

TT

所以不存在仇0＜6＜萬）使得二面角O—AB-P的大小為一.

4

變式訓練2

【解答】（1）證明：因為ABC—44G為直三棱柱，

???所以/，且6解，

又四邊形ABC。為平行四邊形，

BC//AD,RBC^AD,

：.ID（\H,且AD。必,

.??四邊形為平行四邊形，

A,D,Cj,B|四點共面;

.4.4]，

又A41，平面ABCD,ACu平面ABCD,

ABCDII4f1,

A5CO四邊形AACCj為正方形，連接A&交A。于E,

在AAQC中，CD=2AD,ADCGO.

由余弦定理得?-"，，，

?.、il〃，所以IC-10'，

AD1AC,

又A41_L平面ABCD,ADu平面ABCD,AAt1AD,

AC,"u平面4ACC「ACA4（=A,

ADJ?平面AAC￡,

4。＜