高中數(shù)學(xué)：6-2平面向量的加、減法運(yùn)算（學(xué)案）

第02講平面向量的加、減法運(yùn)算

色目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解向量加法的含義，會(huì)用向量加法的

三角形法則和平行四邊形法則作出兩個(gè)向

量的和.

2.掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會(huì)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握現(xiàn)面向量的加法與減法的

用它們進(jìn)行向量運(yùn)算.運(yùn)算法則及相關(guān)的運(yùn)算定律，掌握兩種運(yùn)算的幾何意

3.掌握向量減法的概念.理解兩個(gè)向量的義，會(huì)進(jìn)行平面向量的相關(guān)運(yùn)算，注意兩種運(yùn)算的條件.

減法就是轉(zhuǎn)化為向量加法來(lái)進(jìn)行的.

4.掌握相反向量.

5.掌握向量加、減法的幾何意義.

四置知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)

1.向量的加法

(1)向量的加法

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

(2)向量加法的三角形法則

如圖，已知向量。，b,在平面上任取一點(diǎn)A,作A8=a，BC=b，則向量AC叫做。與

的和，記作a+力，即a+5=A3+8C=AC，上述求兩個(gè)向量和的作圖法則，叫做向

量加法的三角形法則.

(1)

【微點(diǎn)撥】當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則同樣適用，下圖分別表示兩個(gè)同向共線向量和的

情形，及兩個(gè)異向共線向量和的情形.

--------*[b

b

（3）向量加法的平行四邊形法則

如圖，已知兩個(gè)不共線的向量。和分，作OA=a，OB=b，則。、A、3三點(diǎn)不共線，

以04、OB為鄰邊作平行四邊形OAC8,則對(duì)角線上的向量OC=OA+O8,此種作法

稱為向量加法的平行四邊形法則.

【微點(diǎn)撥】若〃個(gè)向量順次首尾相接，則由起始向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)的向量就是它

們的和，即A4+；=A&+&A++…41T4+AA+；，如圖?

（4）和向量的模與原向量之間的關(guān)系

一般地,我們有卜+耳4同+網(wǎng).

當(dāng)。與b共線且同向時(shí)，|。+同=同+同；

當(dāng)。與b共線且異向時(shí)，|。+可=同-例；

當(dāng)a與分不共線時(shí)，|a+@<|a|+M|.

（5）向量加法的運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律：（a+/>）+c=a+（》+c）.

注意：

①當(dāng)a、6至少有一個(gè)為零向量時(shí)，交換律和結(jié)合律仍成立;

②當(dāng)。、分共線時(shí)，交換律和結(jié)合律也成立.

(6)向量求和的多邊形法則

由兩個(gè)向加法的定義可知，兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量，這樣我們就能把三個(gè)、四個(gè)或

任意多個(gè)向量相加，現(xiàn)以四個(gè)向量為例，如圖，已知向量。，b,c,d,在平面上任選

一點(diǎn)O,作tt4=a，AB=b，BC=c，C￡)=d，貝UOD=OA+AB+BC+C￡＞=a+5+c+d.

已知"個(gè)向量，依次把這〃個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、第〃個(gè)向量

的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這〃個(gè)向量的和向量.這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則.

(7)向量加法的實(shí)際應(yīng)用

向量的加法在三角形、四邊形等平面幾何知識(shí)，物理知識(shí)中都有著廣泛的應(yīng)用，在解決

向量與平面幾何知識(shí)相結(jié)合的題目時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，這也體現(xiàn)了向量作為一種工具

在幾何學(xué)、物理學(xué)等知識(shí)領(lǐng)域的應(yīng)用.

2.向量的減法

(1)相反向量

我們把與向量。長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做。的相反向量，記作-a.

規(guī)定零向量的相反向量仍為零向量，且①-(-”)=a；②a+(-a)=(-a)+a=0；

若a,方互為相反向量，則a=-6,b=-a,a+b=O.

(2)向量減法的定義

向量。加上向量6的相反向量，叫做。與，的差，即a-/?=a+(-b),求兩個(gè)向量差的運(yùn)

算，叫做向量的減法，向量的減法實(shí)質(zhì)上也是向量的加法.

3.向量減法的幾何意義

(1)非零共線向量。，b的差

①若a,b反向，則a-)與。同向，且|。-耳=同+弧|.

②若a,同向，

(i)若同＞|耳,則a-b與。同向，且一同=同一網(wǎng)；

(ii)若同＜例，則a-b與a反向，且|"q=網(wǎng)一同；

(iii)若同=網(wǎng)，則a—b=0.

其幾何意義分別如圖(1)(2)(3)(4).

a_aa

%b.~bb

a-b

a'-ba-ba-ba-b=0

⑴(2)(3)(4)

（2）非零不共線向量。，6的差a-力：

①如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作。4=a，OB=b，則向量8A為所求，即

BA=OA-OB=a-b.即把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，則兩個(gè)向量的差是以減向量的終

點(diǎn)為起點(diǎn)、被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

②如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=（）B=b，分別以03為邊作平行四邊

形Q4CB,連接84,則8A=BC+C4=a-b,這種作差向量的方法實(shí)質(zhì)上是利用向量

減法的定義.

4.向量減法的三角形法則和平行四邊形法則

a-b從“相反向量''這個(gè)角度有兩種作法：三角形法則和平行四邊形法則.

減法的三角形法則的作法:在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作04=a,OB=b，則84=a-人即a-）

可以表示從向量力的終點(diǎn)指向向量。的終點(diǎn)的向量（注意：差向量的"箭頭''指向被減向

量）.具體作法如圖（1）（。，力不共線）和圖（2）、（3）（?,b共線）所示.

減法的平行四邊形法則的作法：

當(dāng)a,5不共線時(shí).如圖（1）,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a，OB=-b1則由向量

加法的平行四邊形法則可得OC=a+（-b）=a-〃，這是向量減法的平行四邊形法則.

若a,?同向共線，如圖（2）所示；

若萬(wàn)異向共線.如圖（3）所示.

(1)(2)(3)

5.向量的加法和減法的運(yùn)算問(wèn)題

關(guān)于向量的加法和減法運(yùn)算問(wèn)題，一種解法就是依據(jù)三角形法則通過(guò)作圖來(lái)解決，另一

種解法就是通過(guò)表示向量的有向線段的字母符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決.具體地說(shuō)，在一個(gè)用有向

線段表示向量的運(yùn)算式子中，將式子中的“-”改為“+”只需把表示向量的兩個(gè)字母的順序

顛倒一下即可.如“一A8”改為"+84”.

解用幾個(gè)基本向量表示某向量問(wèn)題的基本技巧是，第一步：觀察各向量位置；第二步:

尋找（或作）相應(yīng)的平行四邊形或三角形：第三步：運(yùn)用法則找關(guān)系：第四步：化簡(jiǎn)結(jié)

果.

【微點(diǎn)撥】向量減法運(yùn)算是加法的逆運(yùn)算.在理解相反向量的基礎(chǔ)上，結(jié)合向量的加法運(yùn)算

掌握向量的減法運(yùn)算.

【即學(xué)即練1】在AABC中，BC=a，CA=b，則A3等于（)

A.a+bB.-a-b

C.a-bD.b-a

【答案】B

【解析】AB=CB-CA=BC-CA=—a—b,故選B.

【即學(xué)即練2】如圖，在矩形A8C。中，AO+OB+AD=（）

A.AB

C.AD

【答案】B

【解析】在矩形ABC。中，AD=BC，則AO+QB+AO=AO+OB+BC=AC，故選

B.

【名師點(diǎn)睛】（1）向量加法的多邊形法則：a個(gè)向量經(jīng)過(guò)平移，順次使前一個(gè)向量的

終點(diǎn)與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，組成組向量折線，這〃個(gè)向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)

的向量.這個(gè)法則叫做向量加法的多邊形法則.多邊形法則實(shí)質(zhì)就是三角形法則的連續(xù)

應(yīng)用.

（2）|a+Z?|<|a|+|ft|.

【即學(xué)即練3】向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化簡(jiǎn)后等于（）

A.BC

B.AB

C.AC

D.AM

【答案】C

【解析】

（A3+MB）+（8O+3C）+=AB+BO+OM+MB+BC=AO+OM+MB+BC=AM

+MB+BC=AB+BC=AC.故選C.

【名師點(diǎn)睛】（1）首先觀察各向量字母的排列順序，再進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕M合，利用向量加

法法則求解.

（2）此類問(wèn)題應(yīng)根據(jù)三角形法則或平行四邊形形法則，觀察是否具備應(yīng)用法則的條件,

若不具備，應(yīng)改變條件，以便使用法則求解.

【即學(xué)即練4】在aABC中，BC=a，C4=Z>，則A5等于（)

A.a+bB--a-b

C.a-bD.b-a

【答案】B

【解析】AB=CB-CA=-BC-CA=-a-b,故選B.

【即學(xué)即練5】下列四式不能化簡(jiǎn)為P。的是（）

A.AB+（PA+BQ）

B.（A8+PC）+（8A-QC）

C.QC+CQ-QP

D.PA+AB-BQ

【答案】D

【分析】

由向量加減法法則計(jì)算各選項(xiàng)，即可得結(jié)論.

【詳解

A項(xiàng)中，AB+^PA+BQ）=^AB+BQ^-AP=AQ-AP=PQ.

B項(xiàng)中，（A8+PC）+（8A-QC）=（AB-A8）+（PC+CQ）=PQ；

C項(xiàng)中，QC+CQ-QP=-QP=PQ；

D項(xiàng)中，PA+AB-BQ=PB-BQPQ.

故選：D.

【即學(xué)即練6】已知非零向量a與b方向相反，則下列等式中成立的是（）

A.|5|-|z,|=|a-i|B.卜+司=卜-.

C.|d|+|/?|=|d-/?|D.同+忖=m+,

【答案】C

【分析】

根據(jù)方向相反的兩個(gè)向量的和或差的運(yùn)算逐一判斷.

【詳解】

A.|4-W可能等于零，大于零，小于零，卜叫=|。|+忖＞0,A不成立

B.|a+Z?|=||a|-|/?||,|?-Z?|=|（7|+|/?|,B不成立

C.|d-b卜同+忖,C成立

D.|a+/?|=||a|-|/2p|a|+|z?|,D不成立.

故選：C.

【即學(xué)即練7】在平行四邊形ABC。中，BC-S+BA等于（）

A.BCB.DAC.ABD.AC

【答案】A

【解析】?/在平行四邊形ABCD中，DC與BA是一對(duì)相反向量，，DC=-BA,：.

BC-CD+BA=BC-

BA+BA=BC,故選A.

【名師點(diǎn)睛】注意向量幾何意義的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.

u能力拓展

考法01

1.向量加法運(yùn)算及其幾何意義

（1）平行四邊形法則的應(yīng)用前提：兩個(gè)向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量.

三角形法則應(yīng)用的前提：兩個(gè)向量“首尾相接

(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，三角形法則和平行四邊形法則實(shí)質(zhì)是一樣的.三角形法則

作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半.但當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，平行四邊形法則

便不再適用.

(3)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是向量加法的幾何意義.

【典例1】如圖，在正六邊形中，54+CD+EB等于()

R

A.0B.BEC.ADD.CF

【答案】A

【分析】

根據(jù)相等向量和向量加法運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】

CD=AF，BA+CD+FB=BA+AF+FB=O-

故選:A.

考法02

2.向量加法的運(yùn)算律

(1)向量的加法與實(shí)數(shù)加法類似，都滿足交換律和結(jié)合律.

(2)由于向量的加法滿足交換律與結(jié)合律，因此多個(gè)向量的加法運(yùn)算就可按照任意的

次序與任意組合來(lái)進(jìn)行.例如，(a+方)+(c+d)=(b+d)+(a+c),a+b+c+d+e=\d+

(Q+C)]+(b+e).

,uinuuur、uunuuir

【典例2】化簡(jiǎn)下歹ij各式:①A8+BC+C4；②（AB+MB）+8O+OM-,?OA+OC+BO+CO\

@AB+CA+BD+DC.其中結(jié)果為0的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則計(jì)算，逐一判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.

【詳解】

對(duì)于①：AB+BC+CA=AC+CA=0,

/UinuuurxuuuuuiruunuuuuuiruuiruuiruuuUUD

對(duì)于②：（AB+MB\+BO+OM=AB+BO+OM+MB=AM+MB=ABf

對(duì)于③：OA+OC+BO+CO=^BO+OA)+(CO+OC^=BA+Q=BA,

對(duì)于④：AB+CA+BD+DC=(AB+BD)+[DC+CA\=AD+DA=O,

所以結(jié)果為。的個(gè)數(shù)是2,

故選：B

考法03

3.向量的減法運(yùn)算及其幾何意義

(1)向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義可以把減法化為加

法.在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”

即可.

(2)以向量A8=a,A6=b為鄰邊作平行四邊形A8CD,則兩條對(duì)角線的向量為AC=a+6,

BD=b-a,DB=a-b,這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該牢記并加強(qiáng)理解.

【典例3]已知k冏=8,|AC|=5,則卜c|的取值范圍是.

【答案】[3,13]

【解析】：3C=AC-AB,A|fid=|AC-ABI，二,四-|A4mBe閆A8|+|AC1],即

3<|BC|<13.故答案為：[3,13].

【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩向量的和或差的模的最值，兩向量反向，差的模有

最大值，兩向量反向，差的模有最小值是解答本題的關(guān)鍵.

|*臼、團(tuán)-團(tuán)、國(guó)+制三者的大小關(guān)系

(1)當(dāng)向量Q與b共線時(shí)，

當(dāng)兩非零向量。與。同向時(shí),|a-Z>|=|a|-|Z>|<|a|+|Z>|；

當(dāng)兩非零向量a與b反向時(shí)，|a-Z?|=|a|+|6|>|a|-|&|；

當(dāng)a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，|4-川=|0-步1=團(tuán)+網(wǎng).

(2)當(dāng)兩非零向量a與6不共線時(shí)，如在8c中，AC=a,

AB=b,則BC=AC-A3=a-b,根據(jù)三角形中任意兩邊之差總小于

第三邊，任意兩邊之和總大于第三邊，可得步

綜合可知，對(duì)任意的向量a與b都有悶-步同a-例W|a|+網(wǎng).

只當(dāng)a與。同向或a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)網(wǎng)-網(wǎng)兇。-臼中的等號(hào)成立；

當(dāng)a與8反向或a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)|a-創(chuàng)三同+⑸中的等號(hào)成立.

考法04

4.向量加、減法的綜合應(yīng)用

向量的幾何意義及加、減法運(yùn)算常用來(lái)解決平面幾何問(wèn)題，解題時(shí)要將所給向量式中各

向量進(jìn)行移項(xiàng)或重新組合，并靈活運(yùn)用相反向量，把向量相等、平行、模的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)

化.

【典例4】化簡(jiǎn)（1）（A8-CO）-（AC-8O）

（2）OA-OD+AD;

（3）AB+DA+BD-BC-CA.

【答案】⑴0;（2）0:（3）AB-

【分析】

（1）方法一：將-CO轉(zhuǎn)化為。C，將-AC轉(zhuǎn)化為CA，利用向量的加法法則，即可求得答

案.方法二：利用向量的減法法則，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.

（2）利用向量的減法法則，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.

（3）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，即可求得答案.

【詳解】

（1）方法一（統(tǒng)一成加法）：（AB-CD）-（AC-BD）=AB-AC-CD+BD

=AB+BD+DC+CA=AD+DA=O

方法二（利用OA-OB=BA）：（AB-CD）-（AC-BD）=AB-CD-AC+BD

=AB-AC-CD+BD=CB-CD+BD=DB+BD=O

ULIUUULILIU1UUUUUU1

（2）OA-OD+AD=DA+AD=0-

（3）AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+AC+BD-BC

=AB+DC+CD=AB

【典例5】如圖，M、N在線段BC上，且BM=CN,試探求AB+AC與AM+AN的關(guān)系，

并證明之.

【答案】相等，證明見解析

【分析】

求AB+AC與AM+AN的關(guān)系為相等，利用向量加法的三角形法則即可證明.

【詳解】

AB+AC=AM+AN

證明：由向量加法三角形法則知：AB=AM+MB,AC=AN+NC,

所以A8+AC=AM+MB+AN+NC，

因?yàn)?M=CN,

所以MB=-NC，

所以AB+AC=AM+M3+AV+NC=AM+4V+NC-NC=AA/+AN

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的加法法則，相反向量，屬于中檔題.

【典例6】如圖所示，已知在矩形A3CD中，,4=46,卜4=8.設(shè)48=a,BC=%,8￡)=c,

求不

DC

【答案】,』,卜8萬(wàn)

【分析】

延長(zhǎng)直線AB，使得直線AB上一點(diǎn)3'滿足AB=陰,同理，延長(zhǎng)直線AD,使得直線AD上一點(diǎn)

皿滿足AO=OD\畫出圖形，則匕-1=|。'叫,進(jìn)而求解即可

【詳解】

延長(zhǎng)直線AB,使得直線AB上一點(diǎn)B'滿足4?=83',同理，延長(zhǎng)直線AD.使得直線AO上一點(diǎn)

M滿足AD=D0r.

如圖所示，

ASB8'

則匕+c=BD',a—b—c=a—(b+c\=a—BD'=BB'—BD'=D'B\

則*b-4=pB]=J(2x46y+(2x8y=8不

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的加法，減法在幾何中的應(yīng)用，考查向量的模.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.向量AB+C8+BO+8E+OC化簡(jiǎn)后等于（）

A.AEB.ACC.ADD.AB

【答案】A

【分析】

根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】

由AB+C8+30+BE+OC=+=啟

故選：A

2.如圖，向量AB=a,AC=。，CD=C，則向量可以表示為（）

A.a+b+cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c

【答案】C

【分析】

利用向量加法和減法的三角形法則計(jì)算即可.

【詳解】

HD=AD-AB=AC+CD-AB=h-a+c

故選：C.

3..設(shè)。為AABC中BC邊上的中點(diǎn)，且。為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則（)

A.BO=--AB+-ACB.BO=-AB--AC

6662

511-1

C.BO=-AB——ACD.B0=——AB+-AC

6662

【答案】A

【解析】本題考點(diǎn)是平面向量的加減法運(yùn)算法則，由題意可知在三角形BAO中：

BO=Ad-AB=-AD-AB=-(AB+AC\-AB=--AB+-AC,故選A.

36V>66

4.設(shè)。，E,尸分別為△A8C的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，則EB+EC=().

A.ADB.—ADC.BCD.—BC

22

【答案】A

【解析】本題的考點(diǎn)是平面向量的加法、減法法則，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，用向

量法表示三角形中線的性質(zhì)要引起重視，由題意可知D,E,尸分別是BC,CA,AB的中點(diǎn)，

所以有以下結(jié)論：

￡B+FC=-1(BA+BC)-1(CA+CB)

=-g(BA+C4)=；(AB+AC)=；x2AD=AD,故選A.

5.已知點(diǎn)G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足GA+G8+GC=0,則G點(diǎn)是三角形48C

的()

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

【答案】D

【分析】

由題易得GA+GB=CG，以G4、GB為鄰邊作平行四邊形GAO3,連接GZ),交A3于點(diǎn)0,

進(jìn)而可得CG=G/j，進(jìn)而可得G0=gc。，所以CG所在的直線CO是AB邊上的中線，同

理可證4G所在的直線是8c邊上的中線，2G所在的直線是AC邊上的中線，最后得出答案

即可.

【詳解】

因?yàn)镚4+G8+GC=0，所以G4+GB=-GC=CG，

以GA、G8為鄰邊作平行四邊形GAO8,連接G。，交A8于點(diǎn)。，如圖所示：

__1

則CG=GQ,所以GO=§C。，點(diǎn)。是A3邊的中點(diǎn),

所以CG所在的直線CO是AB邊上的中線，

同理可證4G所在的直線是BC邊上的中線，BG所在的直線是AC邊上的中線,

所以G點(diǎn)是三角形ABC的重心.

故選：D.

6.如圖，D,E,F分別為ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn)，則（）

C.AD+CE+CF=OD.BD+BE+FC=Q

【答案】A

【分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；

【詳解】

解：QO,E,E分別是4ABe的邊AB,BC,C4的中點(diǎn)，

111

AD=-AB,BE=-BC,CF=-CA,

222

貝ljAD+BE+CF=;G4+；4B+gcA=g（C4+AB+C4）=0,故A正確；

BD+CF+DF=^BA+^CA+^BC=^BA+^BC+CA^=BA,故B錯(cuò)誤；

AD+CE+CF=-AB+-CB+-CA=-^CA+AB^+-CB=CB,故C錯(cuò)誤；

222

BD+BE+FC=-BA+-BC+-AC=-（BA+AC]+-BC=BC,故D錯(cuò)誤；

2222、'2

故選：A.

7.在ABC中，點(diǎn)P滿足AP=2AB-AC，貝U（）

A.點(diǎn)P不在直線BC±B.點(diǎn)尸在CB的延長(zhǎng)線上

C.點(diǎn)P在線段BC±D.點(diǎn)尸在3c的延長(zhǎng)線上

【答案】B

【分析】

由已知條件可得BP=CB，從而可得BP與CB共線，進(jìn)而可得結(jié)論

【詳解】

因?yàn)锳P=2AB-AC，得AP-48=A8-AC，

所以8P=。3，

所以8,P,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上，

故選：B

8.五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國(guó)家的國(guó)旗設(shè)計(jì)都包含五

角星，如中華人民共和國(guó)國(guó)旗.如圖在正五角星中，每個(gè)角的角尖為36。，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.CH+ID=OB.AB//FEC.AF+FG=2HG

D.AF=AB+AJ

【答案】D

【分析】

利用相反向量可判斷A；利用向量共線可判斷B,利用向量的加法可判斷C、D.

【詳解】A,由圖可知S與/￡＞相交，所以C4與/D不是相反向量，故A錯(cuò)誤;

B,AB與。E共線，所以CE與您不共線，所以AB與尸E不共線，故B錯(cuò)誤；

C,AF+FG=AG#2HG，故C錯(cuò)誤；

D,連接8尸，尸，由五角星的性質(zhì)可得■尸為平行四邊形，

根據(jù)平行四邊形法則可得AF=AB+AJ,故D正確.

故選：D

9.已知A,B,C為三個(gè)不共線的點(diǎn)，P為△A8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若PA+PB=PC+AB，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸在△ABC內(nèi)部B.點(diǎn)P在△4BC外部

C.點(diǎn)P在直線AB上D.點(diǎn)P在直線AC上

【答案】D

【分析】

山向量的運(yùn)算可得CA=AP，進(jìn)而可得解.

【詳解】

PA+PB=PC+AB

.：PB-PC=AB—PA,

-'-CB=AB+AP,CB-A3=AP，

即C4=AP

故點(diǎn)P在邊AC所在的直線上.

故選：D.

10.平面上有三點(diǎn)4,B,C,設(shè)機(jī)=AB+8C，n=AB-BC.若風(fēng)"的長(zhǎng)度恰好相等，則

有（）

A.A,B,C三點(diǎn)必在同一條直線上

B.ABC必為等腰三角形，且/B為頂角

C.ABC必為直角三角形，且NB=90。

D.sABC必為等腰直角三角形

【答案】C

【分析】

根據(jù)加,"的長(zhǎng)度相等，由IAC1=15）I得到ABCD是矩形判斷.

【詳解】

如圖：

所以IAB+8Cl=|A8-8C|,

即IACI=IBZ）I，

所以A8C7）是矩形,

故，A8C是直角三角形，且/B=90。.

故選：C

11.在平行四邊形ABCD中，設(shè)M為線段BC的中點(diǎn)，N為線段AB上靠近A的三等分點(diǎn),

AB=a，AD=b，則向量MW=（）

21,D.44

A.-a+-bB.—a+—bC.-a--b

32323232

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意作出圖形，將AM用〃、b的表達(dá)式加以表示，再利用平面向量的減法法則可得出

結(jié)果.

【詳解】

解：由題意作出圖形：

在平行四邊形A5C￡＞中，M為BC的中點(diǎn)，則=+

又；N為線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，則AN=；AB=；a

1171

NM=AM-AN=a+-b-一a=-a+-b

2332

故選：B

12.若。是平面上的定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，且滿足0P=0C+4（C8+CA）

（As/e）,則尸點(diǎn)的軌跡一定過(guò)ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】

由0P=0C+X（CB+C4）（/leR）,得到CP=2（CB+C4）,再根據(jù)C8+Ci經(jīng)過(guò)在ABC的

重心判斷.

【詳解】

因?yàn)镺P=OC+X（C2+C4）（2eR）,

所以CP=/1（CB+CA）,

所以CB+C4在《ABC的邊AB上的中線所在直線上，

則4（CB+C4）在ABC的中線所在直線上，

所以尸點(diǎn)的軌跡一定過(guò)ABC的重心，

故選：C

13.下列命題中正確的是（）

A.如果非零向量a與6的方向相同或相反，那么a+6的方向必與”，b之一的方向相同

B.在ABC中，必有AB+BC+CA=O

C.若AB+BC+CA=O,則A,B,C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)

D.若0,5均為非零向量,則la+W與|a|+g|一定相等

【答案】B

【分析】

根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】

對(duì)于A：當(dāng)￡與各為相反向量時(shí)，a+b=O,方向任意，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：在「A8C中，AB+BC+C4=0，故B正確:

對(duì)TC：當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，滿足AB+BC+CA=O，但不能構(gòu)成二角形，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：若a，b均為非零向量,則卜+.4忖+忖，當(dāng)且僅當(dāng)￡與石同向時(shí)等號(hào)成立，故D

錯(cuò)誤.

故選：B

A8C的邊AB,BC,C4的中點(diǎn)，則()

UUUUUUUUUI1

B.BD-CF+DF=O

ULIUUU1Ulfil1

c.AD+CE-CF=D.BD-BE-FC=O

【答案】A

【分析】

根據(jù)向量加法和減法的運(yùn)算法則結(jié)合圖像逐一運(yùn)算即可得出答案.

【詳解】

解：AD+BE+CF^DB+BE+ED=DE+ED=O-故AiE確;

BD-CF+DF=BD+FC+DF=BC<故B錯(cuò)誤;

AD+CE-CF=AD+FE=AD+DB=AB，故C錯(cuò)誤；

BD-BE-FC=ED-FC=ED-DE=2ED，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

T2T

15.如圖，在ABC中，^C=3BD9=則C%=（）

4f］一4T7T

A.C.-AB——ACD.——AB+-AC

99993399

【答案】B

【分析】

—>—>2—>—>2->—>—>

利用向量定義，CE=AE-AC=-AD-AC=-(AB+BD)-AC,最后化簡(jiǎn)為A》,A"來(lái)表示向

量即可.

【詳解】

TTT2TT2-*->T

CE=AE-AC=-AD-AC=-(AB+BD)-AC

2->1->f7—f

=-(A3+-BC)-AC=-AB+-(AC-AB)-AC

4T7T

-AB——AC

99

故選：B

題組B能力提升練

1.在等腰梯形A5CD中，AB//DC,AB^2DC,上為8C的中點(diǎn)，則()

f3T1TT3f1一

A.AE=-AB+-ADB.AE=-AB+-AD

4222

f1-I->—3T1一

C.AE=-AB+-ADD.AE=-AB+-AD

4244

【答案】A

【分析】

作出示意圖,利用數(shù)形結(jié)合，在梯形A8CO中，利用三角形法則即可求解.

【詳解】

如圖所示:

C

E

H

—>—>—>—>I—>

在三角形"E中，AE=AB+BE=AB+-BC

->->

=AB+-|BA+AD+DC

2

-11―3f]7

=A8+-AB+AD+-ABI=AB+--------AB+AD=-AB+-AD.

2242

\/

故選：A.

2.已知。是三角形48c內(nèi)部的一點(diǎn)，OA+2OB+3OC=0,則。AC的面積與，.。由的面積

之比是（）

C.2D.1

【答案】B

【分析】

取。、E分別是BC、AC中點(diǎn)，根據(jù)向量的加法運(yùn)算以及向量共線可得0E=28,再由

三角形的相似比即可求解.

【詳解】

如下圖所示，。、E分別是BC、AC中點(diǎn)，

由OA+2O8+3OC=0

得OA+OC=-2（O8+OC）即OE=-2OZ），所以O(shè)E=2O￡>,

由SCOE=SA0E,S&8D~SABOD>

=

設(shè)SAOC^1>SBOC=SL，

則sCOE=L*吾，SCOD=SBOD言，

工+邑

由三角形相似比可得<25_=1解得S|+邑=SAOB

也+也+S3

2十2十QAOB

因?yàn)镾?AOE：S3QD=2:1,所以S]：S?=2:1,即$2=弓",

所以

22

所以H=-SAOB，即d。4c的面積與4。45的面積之比是]

故選：B.

3.已知平面向量a，b,c滿足什=忖=|2"。卜21-c|=2,則W的取值范圍為（）

A.[1,3]B.[1,77]

C.[2,3]D.[2,仞

【答案】C

【分析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義畫出簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】

令a=OA，由忖=2知點(diǎn)A在以。為圓心，2為半徑的圓上；

令2〃=0。，山何=2知點(diǎn)。在以。為圓心，4為半徑的圓上；

令c=OC，由卜|=2知點(diǎn)C在以。為圓心，2為半徑的圓上；

令b=OB，山|2〃-4=2知點(diǎn)8在以。為圓心，2為半徑的圓上，山|。-。卜1知點(diǎn)B也在以C

為圓心，1為半徑的圓上，

所以點(diǎn)B在以。為圓心，內(nèi)徑為2,外徑為3的圓環(huán)上，如圖陰影部分，從而

故選：C.

4.在平行四邊形ABCD中，設(shè)C8=a，CD=b,E為AD的靠近。的三等分點(diǎn)，CE與BD

交于F，則AF=（）

【答案】A

【分析】

找到A￡＞、BC卜一的三等分點(diǎn)，則AK//G////EC,結(jié)合圖形易得。尸=＜，由AP=AD+OF

4

即可知正確選項(xiàng).

【詳解】

如圖，在A。上取G點(diǎn)，使得AG=GE=E￡＞,在BC上由左到右取K,H,使得

BK=KH=HC,連接AK,GH,則AK〃GH//EC,

,/DEHBC^.DE=-BC,

3

...由相似比可知：DF=",

4

131

/.AF=AD+DF=-6/+—(?-/?)=——a——b.

4''44

故選：A

5.在3A3c中，D、E、F分別是邊8C、C4、AB的中點(diǎn)，AD,BE、CF交于點(diǎn)G,

則：

@EF=^CA-^BC;

②8E=—gAB+；8C；

@AD+BE=FCi

@GA+GB+GC=O.

上述結(jié)論中，正確的是()

A.①②B.②③C.②③④D.①③④

【答案】C

【分析】

作出圖形，利用平面向量的加法法則可判斷①②③④的正誤.

【詳解】

如下圖所示：

r,O

對(duì)于①，F(xiàn)、E分別為A3、AC的中點(diǎn)，.?.EE=；8CH；CA-；8C,①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，以54、BC為鄰邊作平行四邊形A5cO,

由平面向量加法的平行四邊形法則可得23E=80=54+8C=-48+8C，

:.BE=--AB+-BC,②正確；

22

UUU1milliutlIiI

對(duì)于③，由②同理可得2A￡>=A8+AC，..A。=3+gAC,同理uj得C77=萬(wàn)^1+/口？，

AD+BE+CF=^(AB+AC+BA+BC+CA+CB)=O,

AD+BE=-CF=FC>③正確；

222

對(duì)于④，易知點(diǎn)G為，ABC的重心，所以，GA=--ADfGB=--BE.GC=--CFf

因此，GA+GB+GC=--(AD+BE+CF)=O,④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量加法運(yùn)算的相關(guān)判斷，考查平面向量加法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬

于中等題.

6.八卦是中國(guó)文化中的哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊

形ABCDEFGH,其中。4=1,則給出下列結(jié)論：

①BF-HF+HD=。;?0A+0C=-y/20F@AE+FC-GE=AB.

其中正確的結(jié)論為()

AB

圖1圖2

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】C

【分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，由此確定出正確選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于①：因?yàn)锽F-HF+HD=BF+FH+HD=BH+HD=BD，故①錯(cuò)誤；

360°

對(duì)于②：因?yàn)镹AOC=px2=90。，則以O(shè)AOC為鄰邊的平行四邊形為正方形，

O

又因?yàn)镺B平分NAOC,所以。4+OC=0O8=-0O尸，故②正確；

對(duì)于③：因?yàn)?E+FC-GE=AE+EG+FC=AG+FC，且FC=GB，

所以AE+FC-GE=AG+GB=A8，故③正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵利用合適的轉(zhuǎn)化對(duì)向量的減法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此驗(yàn)證關(guān)于向

量的等式是否正確.

3

7.A6C中，AO=OC，點(diǎn)M在30上，且滿足則實(shí)數(shù)1的值為()

A.-B.-C.-D.-

7779

【答案】C

【分析】

山題意，可設(shè)結(jié)合條件整理可得AM=；AC+DM=；(l-k)AC+kA8,得到

關(guān)于k與t的方程組，解出f即可.

【詳解】

如圖，因?yàn)锳￡)=￡)C，所以A￡>=gAC

貝ijAM=A￡>+￡)M=lAC+ZW,

2

因?yàn)镸在BO匕不妨設(shè)DM=kOB=HAB-AO)=A(A8-，AC),

2

則4M=，4。+。知=LAC+&(A8—，AC)=L(1—A)4C+Z:48,

2222

3

因?yàn)锳M=]4B+fAC,

所以'7，解得，=三2，

[2

故選：C

本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用及平面向量基本定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這

些知識(shí)的理解掌握水平.

8.（多選題）下列各式結(jié)果為零向量的有（）

A———

A-AB+CA+BCB.AB+AC+BD+CD

C.OA-OD+ADD.NQ+QP+MN-MP

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算逐個(gè)求解即可

【詳解】

時(shí)A,AB+CA+BC=CA+AB+BC=CB+BC=Or故AiE確；

對(duì)B,AB+AC+BD+CD=(AB+BD)+(AC+CD)=AD+AD=2AD,故B錯(cuò)誤;

對(duì)C,OA-OD+AD=DA+AD=O，故C正確；

對(duì)D,NQ+QP+MN-MP=NP+PN=O,故D正確；

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算

9.（多選題）在平行四邊形A3CO中，點(diǎn)E,方分別是邊BC和。。的中點(diǎn)，P是DE與BF

的交點(diǎn)，則有（）

uimuiniuum

A.AE=AB+-ADB.AF=-AB+-AD

222

22

C.AP=-AB+-ADD.CP=-CD+-CB

3322

【答案】AC

【分析】

對(duì)A,B,由向量的加法法則即可判斷；對(duì)C,D,由向量的加法法則以及三角形重心的性

質(zhì)即可判斷.

【詳解】

解：如圖所示：

對(duì)A,AE^AB+BE^AB+-BC,

2

又-BC=AD<

umuun1uun

即AE=A8+—A。，故A正確；

2

對(duì)B,AF=AD+^DC=^AB+AD,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,設(shè)。為AC與BO的交點(diǎn)，

由題意可得：尸是一CE力的重心，

故CP=2PO，

222

AP=AO+OP=-AC=-AB+-AD,故C正確；

333

對(duì)D,CP=1cO=|xflcB+|c^=1cB+1cD,故D錯(cuò)誤.

JJ\乙乙JJJ

故選：AC.

10.（多選題）設(shè)戶是,OA8內(nèi)部（不含邊界）的一點(diǎn)，以下可能成立的是（）

A.OP=-OA^-OBB.OP=-OA+-OB

5555

2