數(shù)值計(jì)算中習(xí)題+答案

第1章數(shù)值計(jì)算中的誤差一、填空題1.計(jì)算方法主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差。2.設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數(shù)字。3.要使的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取4位有效數(shù)字。4.x*=1.1021是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，有5位有效數(shù)字，其誤差限。二、單項(xiàng)選擇題1.舍入誤差是(A)產(chǎn)生的誤差。A．只取有限位數(shù)B．模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C．觀察與測量D．?dāng)?shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值2.用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C)誤差。A．模型B．觀測C．截?cái)郉．舍入3.用近似表示所產(chǎn)生的誤差是(D)誤差。A．舍入B．觀測C．模型D．截?cái)?.3.141580是π的(B)位有效數(shù)字的近似值。A．6B．5C．4D．75.－324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效數(shù)字。A．5B．6C．7D．86.(D)的3位有效數(shù)字是0.236×102。A．0.0023549×103B．2354.82×10－2C．235.418D．235.54×10－1三、判斷1.精確解與實(shí)際計(jì)算結(jié)果之間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差。()2.如果某近似值的誤差限是ε，我們就說，在允許誤差ε的條件下，近似值是準(zhǔn)確的。（）3.用四舍五入方法得到的近似值，稱為有效數(shù)字。()4.有效數(shù)字的末位到第一位非零數(shù)字的個數(shù)，稱為該有效數(shù)字的位數(shù)。()5.一個近似值的有效位數(shù)越多，這個近似值就越逼近真值。()6.用近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。(×)7.絕對誤差和相對誤差都是無量綱的，也可正可負(fù)。(×)8.用四舍五入方法得到的近似值，若近似值的誤差小于某一位的半個單位，便稱近似值準(zhǔn)確到這一位。()9.絕對誤差并不能完全反應(yīng)數(shù)值的精度。（）第2章解線性方程組的直接方法一、填空題1.解線性方程組的數(shù)值方法可分為直接方法和迭代法。2.順序Gauss消去法求解線性方程組的條件是系數(shù)矩陣的各階順序主子式都不為零或消元過程中得到的主元必須全不為0。3.常用的主元素法有列主元消去法和全主元消去法。4.設(shè)矩陣的分解為，則U=。5.設(shè)，，5，3。6.向量，矩陣，則16。7.設(shè)，，則（譜半徑）=。（此處填小于、大于、等于）二、單項(xiàng)選擇題1.用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為(A)。A．－4B．3C．4D．－92.解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A)。A．控制舍入誤差B．減小方法誤差C．防止計(jì)算時(shí)溢出D．簡化計(jì)算3.求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(D)。A．對稱陣B．正定矩陣C．任意陣D．各階順序主子式均不為零4.設(shè)，則為(C)．A．2B．5C．7D．3三、判斷1.順序Gauss消去法通過逐次消元，將一般線性方程組的求解轉(zhuǎn)化為等價(jià)的下三角形方程組的求解。(×)2.順序Gauss消去法數(shù)值穩(wěn)定性差。()3.若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b一定可以使用Gauss消去法求解。（×）4.消元過程中，應(yīng)避免選取絕對值較小的數(shù)作主元。（）5.列主元素法的精度優(yōu)于全主元素法。（×）6.Rn中任意兩個范數(shù)等價(jià)。()7.只要detA≠0，則A總可分解為A=LU，其中L為單位下三角陣，U為非奇上三角陣。（×）

8.只要detA≠0，則總可用列主元消去法求得線性方程組Ax=b的解。（）

9.矩陣A的譜半徑不超過它的任何一種由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的范數(shù)。（）10.線性方程組“病態(tài)”與否只與系數(shù)矩陣有關(guān),而與右端項(xiàng)無關(guān)。（）11.系數(shù)矩陣的元素間數(shù)量級很大且無一定規(guī)律，則線性方程組可能是病態(tài)的。（）12.若在主元素消元過程中出現(xiàn)數(shù)量級很小的主元，則線性方程組可能是病態(tài)的。（）13.線性方程組解的相對誤差主要由殘量和條件數(shù)決定。（）五、計(jì)算題1.順序Gauss消去法解線性方程組。解：由線性方程組消去后兩個方程的x1得，再消去最后一個方程的x2得，回代得解:。2.用列主元素法求解線性方程組，計(jì)算過程保留三位小數(shù)。解，回代得。3.用直接三角分解法解方程組。解：由得。先求Ly=b得y：得，再求Ux=y得x：得。4.已知向量，求向量x的1、2和-范數(shù)。解：；；。第3章解線性方程組的迭代法一、填空題1.設(shè)，則0。2.求解方程組的Gauss-Seidel迭代矩陣為，該迭代矩陣的譜半徑為。3.方程組的Gauss-Seidel迭代矩陣為，此迭代矩陣的譜半徑為0.64。二、單選題1.Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（C）。A．的各階順序主子式不為零B．C．的對角線元素不為零D．2.解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（B）。A．B．C．D．三、判斷題1.Gauss-Seidel迭代法比用Jacobi迭代法效果好。(×)2.向量序列和矩陣序列的收斂可歸結(jié)為對應(yīng)分量或?qū)?yīng)元素序列的收斂性。()五、計(jì)算題1.用Jacobi迭代法求解線性方程組，迭代兩次。解：將方程組改寫成等價(jià)形式，Jacobi迭代法計(jì)算公式為。設(shè)初始向量取，第一次迭代；第二次迭代，，。2.用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組，迭代兩次。解：將方程組改寫成等價(jià)形式，得Gauss-Seidel迭代法計(jì)算公式。設(shè)初始向量取，第一次迭代，第二次迭代。3.設(shè)有方程組，其中。求Jacobi迭代法解該方程組時(shí)的收斂性。解由Jacobi迭代矩陣得到對應(yīng)的特征方程，所以特征值為，由譜半徑的定義得迭代矩陣的。由迭代法收斂的充分必要條件知Jacobi迭代法發(fā)散。第5章插值法一、填空題1.由6個節(jié)點(diǎn)所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是5次。2.，，，則過這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為，拉格朗日插值多項(xiàng)式為。3.若，則差商=1。1.若，1，0。4.已知，，，則二次Newton插值多項(xiàng)式中系數(shù)為0.15。二、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)，，，則拋物插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為(A)。A．–0.5B．0.5C．2D．–22.由下列數(shù)據(jù)確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為(A)。0123412436A．4B．3C．2D．1三、判斷1.給定插值節(jié)點(diǎn)，則無論用何種插值方法得到的插值多項(xiàng)式均是相同的。()2.表示在節(jié)點(diǎn)的二次Lagrang插值基函數(shù)。(?)3.Newton插值多項(xiàng)式克服了“增加一個節(jié)點(diǎn)時(shí)整個計(jì)算工作重新開始”的缺點(diǎn).(?)四、計(jì)算題1.已知，，，求拉格朗日插值多項(xiàng)式及的近似值，取5位小數(shù)。解：2.已知數(shù)據(jù)如下表所示，分別用Lagrange插值法和Newton插值法求的三次插值多項(xiàng)式，并求的近似值。13452654解：（1）Lagrange三次插值多項(xiàng)式為（2）Newton插值法具體差商表如下：一階差商二階差商三階差商1236245–1–154–100.25因此（3）3.取節(jié)點(diǎn)，，，求函數(shù)在區(qū)間上的二次Lagrange插值多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。解：因?yàn)?，，故截?cái)嗾`差4.以100，121，144為插值節(jié)點(diǎn)，用Newton插值法計(jì)算的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。解：1）構(gòu)造如下差分表：一階差商二階差商1001211441011120.04761900.0434783–0.0000941136所以令x=115，代入上式，得10.722762）因，所以結(jié)合得5.已知，，，，則2次Newton插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為?3次Newton插值多項(xiàng)式為？答：差商計(jì)算表如下一階差商二階差商三階差商–12042110622261651因?yàn)樗远蜰ewton插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為2。3次Newton插值多項(xiàng)式即是在2次Newton插值多項(xiàng)式基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)：第6章函數(shù)逼近一、單選題1.以下不屬于可線性化函數(shù)的是（D）。A．指數(shù)函數(shù)B．冪函數(shù)C．D．拋物線函數(shù)二、計(jì)算題1.已知數(shù)據(jù)表如下所示，求其一次最小二乘擬合多項(xiàng)式。解：列數(shù)據(jù)表正則方程組為：解得。所以。2.已知數(shù)據(jù)組如下表所示，求的二次最小二乘擬合多項(xiàng)式，并求的近似值。－2－101242135解：ixiyixi2xi3xi4xiyixi2yi1－244－816－8162－121－11－22301000004131113352548161020∑01510034341正則方程組為，解得。所以，，。第7章數(shù)值微分與數(shù)值積分一、填空題1.設(shè)，，，用三點(diǎn)公式求2.5。2.已知，，，用Simpson求積公式求得≈2.367，用三點(diǎn)公式求得0.25。3.計(jì)算積分，取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為0.4268，用Simpson公式計(jì)算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為1，Simpson公式的代數(shù)精度為3。4.已知，，，用Simpson求積公式求得12。5.若用復(fù)化梯形公式計(jì)算，要求誤差不超過，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用477個求積節(jié)點(diǎn)。,，，二、單選題1.等距二點(diǎn)求導(dǎo)公式(A)。A．B．C．D．2.Newton-Cotes求積公式的系數(shù)是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證。所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)（A）時(shí)的Newton-Cotes求積公式不使用。A．B．C．D．3.5個節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes求積公式，至少具有(A)次代數(shù)精度。A．5B．4C．6D．3三、判斷題1.代數(shù)精度越高，求積公式的精度越高。（∨）2.當(dāng)時(shí)，Newton-Cotes求積公式會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。（∨）四、計(jì)算題1.求積公式為。(1)求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；(2)利用此公式求(保留四位小數(shù))。解：(1)時(shí)，求積公式精確成立，即得。求積公式為。當(dāng)時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)時(shí)，左，右。所以代數(shù)精度為3。(2)。2.已知數(shù)值積分公式為，試確定積分公式中的參數(shù)λ，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度。解：顯然精確成立；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，。所以，其代數(shù)精確度為3。3.用梯形公式和Simpson公式計(jì)算積分。解：。梯形公式:。Simpson積分公式：。4.n=3，用復(fù)化梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)），并求有效數(shù)字的位數(shù)。解：，因此。已知,由，，，得。所以，至少有兩位有效數(shù)字。五、綜合題1.數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：1）是。因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為已知，所以。2）時(shí)，求積公式精確成立，當(dāng)時(shí)，左=9，右7.5，求積公式不成立。所以其代數(shù)精度為1。2.取5個等距節(jié)點(diǎn)，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值（保留4位小數(shù)）。解：5個點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值列表如下所示xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111(1)復(fù)化梯形公式：將n=4，h=2/4=0.5及上表帶入得。(2)復(fù)化Simpson公式：將m=n/2=2，h=2/4=