數值計算中習題+答案

第1章數值計算中的誤差一、填空題1.計算方法主要研究截斷誤差和舍入誤差。2.設x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數字。3.要使的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取4位有效數字。4.x*=1.1021是經過四舍五入得到的近似值，有5位有效數字，其誤差限。二、單項選擇題1.舍入誤差是(A)產生的誤差。A．只取有限位數B．模型準確值與用數值方法求得的準確值C．觀察與測量D．數學模型準確值與實際值2.用1+x近似表示ex所產生的誤差是(C)誤差。A．模型B．觀測C．截斷D．舍入3.用近似表示所產生的誤差是(D)誤差。A．舍入B．觀測C．模型D．截斷4.3.141580是π的(B)位有效數字的近似值。A．6B．5C．4D．75.－324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效數字。A．5B．6C．7D．86.(D)的3位有效數字是0.236×102。A．0.0023549×103B．2354.82×10－2C．235.418D．235.54×10－1三、判斷1.精確解與實際計算結果之間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。()2.如果某近似值的誤差限是ε，我們就說，在允許誤差ε的條件下，近似值是準確的。（）3.用四舍五入方法得到的近似值，稱為有效數字。()4.有效數字的末位到第一位非零數字的個數，稱為該有效數字的位數。()5.一個近似值的有效位數越多，這個近似值就越逼近真值。()6.用近似表示cosx產生舍入誤差。(×)7.絕對誤差和相對誤差都是無量綱的，也可正可負。(×)8.用四舍五入方法得到的近似值，若近似值的誤差小于某一位的半個單位，便稱近似值準確到這一位。()9.絕對誤差并不能完全反應數值的精度。（）第2章解線性方程組的直接方法一、填空題1.解線性方程組的數值方法可分為直接方法和迭代法。2.順序Gauss消去法求解線性方程組的條件是系數矩陣的各階順序主子式都不為零或消元過程中得到的主元必須全不為0。3.常用的主元素法有列主元消去法和全主元消去法。4.設矩陣的分解為，則U=。5.設，，5，3。6.向量，矩陣，則16。7.設，，則（譜半徑）=。（此處填小于、大于、等于）二、單項選擇題1.用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為(A)。A．－4B．3C．4D．－92.解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A)。A．控制舍入誤差B．減小方法誤差C．防止計算時溢出D．簡化計算3.求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(D)。A．對稱陣B．正定矩陣C．任意陣D．各階順序主子式均不為零4.設，則為(C)．A．2B．5C．7D．3三、判斷1.順序Gauss消去法通過逐次消元，將一般線性方程組的求解轉化為等價的下三角形方程組的求解。(×)2.順序Gauss消去法數值穩(wěn)定性差。()3.若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b一定可以使用Gauss消去法求解。（×）4.消元過程中，應避免選取絕對值較小的數作主元。（）5.列主元素法的精度優(yōu)于全主元素法。（×）6.Rn中任意兩個范數等價。()7.只要detA≠0，則A總可分解為A=LU，其中L為單位下三角陣，U為非奇上三角陣。（×）

8.只要detA≠0，則總可用列主元消去法求得線性方程組Ax=b的解。（）

9.矩陣A的譜半徑不超過它的任何一種由向量范數誘導出的范數。（）10.線性方程組“病態(tài)”與否只與系數矩陣有關,而與右端項無關。（）11.系數矩陣的元素間數量級很大且無一定規(guī)律，則線性方程組可能是病態(tài)的。（）12.若在主元素消元過程中出現數量級很小的主元，則線性方程組可能是病態(tài)的。（）13.線性方程組解的相對誤差主要由殘量和條件數決定。（）五、計算題1.順序Gauss消去法解線性方程組。解：由線性方程組消去后兩個方程的x1得，再消去最后一個方程的x2得，回代得解:。2.用列主元素法求解線性方程組，計算過程保留三位小數。解，回代得。3.用直接三角分解法解方程組。解：由得。先求Ly=b得y：得，再求Ux=y得x：得。4.已知向量，求向量x的1、2和-范數。解：；；。第3章解線性方程組的迭代法一、填空題1.設，則0。2.求解方程組的Gauss-Seidel迭代矩陣為，該迭代矩陣的譜半徑為。3.方程組的Gauss-Seidel迭代矩陣為，此迭代矩陣的譜半徑為0.64。二、單選題1.Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（C）。A．的各階順序主子式不為零B．C．的對角線元素不為零D．2.解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（B）。A．B．C．D．三、判斷題1.Gauss-Seidel迭代法比用Jacobi迭代法效果好。(×)2.向量序列和矩陣序列的收斂可歸結為對應分量或對應元素序列的收斂性。()五、計算題1.用Jacobi迭代法求解線性方程組，迭代兩次。解：將方程組改寫成等價形式，Jacobi迭代法計算公式為。設初始向量取，第一次迭代；第二次迭代，，。2.用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組，迭代兩次。解：將方程組改寫成等價形式，得Gauss-Seidel迭代法計算公式。設初始向量取，第一次迭代，第二次迭代。3.設有方程組，其中。求Jacobi迭代法解該方程組時的收斂性。解由Jacobi迭代矩陣得到對應的特征方程，所以特征值為，由譜半徑的定義得迭代矩陣的。由迭代法收斂的充分必要條件知Jacobi迭代法發(fā)散。第5章插值法一、填空題1.由6個節(jié)點所確定的插值多項式的次數最高是5次。2.，，，則過這三點的二次插值多項式中的系數為，拉格朗日插值多項式為。3.若，則差商=1。1.若，1，0。4.已知，，，則二次Newton插值多項式中系數為0.15。二、單項選擇題1.設，，，則拋物插值多項式中的系數為(A)。A．–0.5B．0.5C．2D．–22.由下列數據確定的唯一插值多項式的次數為(A)。0123412436A．4B．3C．2D．1三、判斷1.給定插值節(jié)點，則無論用何種插值方法得到的插值多項式均是相同的。()2.表示在節(jié)點的二次Lagrang插值基函數。(?)3.Newton插值多項式克服了“增加一個節(jié)點時整個計算工作重新開始”的缺點.(?)四、計算題1.已知，，，求拉格朗日插值多項式及的近似值，取5位小數。解：2.已知數據如下表所示，分別用Lagrange插值法和Newton插值法求的三次插值多項式，并求的近似值。13452654解：（1）Lagrange三次插值多項式為（2）Newton插值法具體差商表如下：一階差商二階差商三階差商1236245–1–154–100.25因此（3）3.取節(jié)點，，，求函數在區(qū)間上的二次Lagrange插值多項式，并估計誤差。解：因為，，故截斷誤差4.以100，121，144為插值節(jié)點，用Newton插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。解：1）構造如下差分表：一階差商二階差商1001211441011120.04761900.0434783–0.0000941136所以令x=115，代入上式，得10.722762）因，所以結合得5.已知，，，，則2次Newton插值多項式中的系數為?3次Newton插值多項式為？答：差商計算表如下一階差商二階差商三階差商–12042110622261651因為所以二次Newton插值多項式中的系數為2。3次Newton插值多項式即是在2次Newton插值多項式基礎上增加一項：第6章函數逼近一、單選題1.以下不屬于可線性化函數的是（D）。A．指數函數B．冪函數C．D．拋物線函數二、計算題1.已知數據表如下所示，求其一次最小二乘擬合多項式。解：列數據表正則方程組為：解得。所以。2.已知數據組如下表所示，求的二次最小二乘擬合多項式，并求的近似值。－2－101242135解：ixiyixi2xi3xi4xiyixi2yi1－244－816－8162－121－11－22301000004131113352548161020∑01510034341正則方程組為，解得。所以，，。第7章數值微分與數值積分一、填空題1.設，，，用三點公式求2.5。2.已知，，，用Simpson求積公式求得≈2.367，用三點公式求得0.25。3.計算積分，取4位有效數字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268，用Simpson公式計算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數精度為1，Simpson公式的代數精度為3。4.已知，，，用Simpson求積公式求得12。5.若用復化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用477個求積節(jié)點。,，，二、單選題1.等距二點求導公式(A)。A．B．C．D．2.Newton-Cotes求積公式的系數是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證。所以實際應用中，當（A）時的Newton-Cotes求積公式不使用。A．B．C．D．3.5個節(jié)點的Newton-Cotes求積公式，至少具有(A)次代數精度。A．5B．4C．6D．3三、判斷題1.代數精度越高，求積公式的精度越高。（∨）2.當時，Newton-Cotes求積公式會產生數值不穩(wěn)定性。（∨）四、計算題1.求積公式為。(1)求A、B使求積公式的代數精度盡量高,并求其代數精度；(2)利用此公式求(保留四位小數)。解：(1)時，求積公式精確成立，即得。求積公式為。當時，公式顯然精確成立；當時，左，右。所以代數精度為3。(2)。2.已知數值積分公式為，試確定積分公式中的參數λ，使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度。解：顯然精確成立；時，；時，；時，；時，。所以，其代數精確度為3。3.用梯形公式和Simpson公式計算積分。解：。梯形公式:。Simpson積分公式：。4.n=3，用復化梯形公式求的近似值（取四位小數），并求有效數字的位數。解：，因此。已知,由，，，得。所以，至少有兩位有效數字。五、綜合題1.數值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數精度是多少？解：1）是。因為在節(jié)點1、2處的插值多項式為已知，所以。2）時，求積公式精確成立，當時，左=9，右7.5，求積公式不成立。所以其代數精度為1。2.取5個等距節(jié)點，分別用復化梯形公式和復化Simpson公式計算積分的近似值（保留4位小數）。解：5個點對應的函數值列表如下所示xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111(1)復化梯形公式：將n=4，h=2/4=0.5及上表帶入得。(2)復化Simpson公式：將m=n/2=2，h=2/4=