浙江省溫州市2023屆高三下學(xué)期5月第三次適應(yīng)性考試(三模)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)溫州市普通高中2023屆高三第三次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題卷2023.5一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列舉法寫出全集，再利用并集、補(bǔ)集的定義求解作答.【詳解】依題意，全集，而，有，所以故選：B2.已知直線，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，利用兩直線的垂直關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)橹本€，且，則，所以.故選：B3.某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10km處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在距離車站（）A.4km B.5km C.6km D.7km【答案】B【解析】【分析】據(jù)題意用待定系數(shù)法設(shè)出兩個(gè)函數(shù)y1=，y2=k2x，將兩點(diǎn)（10，2）與（10，8）代入求出兩個(gè)參數(shù)．再建立費(fèi)用的函數(shù)解析式．用基本不等式求出等號(hào)成立的條件即可．【詳解】解：由題意可設(shè)y1=，y2=k2x，∴k1=xy1，k2=，把x=10，y1=2與x=10，y2=8分別代入上式得k1=20，k2=08，∴y1=，y2=0.8x（x為倉(cāng)庫(kù)與車站距離），費(fèi)用之和y=y1+y2=0.8x+≥2×4=8，當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=，即x=5時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站5km處兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。蔬xB．【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)應(yīng)用中費(fèi)用最少的問(wèn)題，考查學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力及選定系數(shù)求解析式，基本不等式求最值的相關(guān)知識(shí)與技能，屬于中檔題．4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，利用單調(diào)性可解不等式，然后可得.【詳解】設(shè)，則，所以在R上單調(diào)遞增，所以不等式.即“”是“”的充要條件.故選：C5.已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】C【解析】【分析】分析可知數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，由已知條件可得出，結(jié)合等差中項(xiàng)法判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，故對(duì)任意的，，則，所以，數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以，，可得，由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故選：C.6.四面體滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.【詳解】四面體滿足，即兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線的正方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)椋瑒t，于是，，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：A7.如圖，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，是上不同于的動(dòng)點(diǎn)，線段與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，得到和，兩式相除即可求解.【詳解】設(shè)，則，，兩式相乘得,①因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的角是直角,所以所以,②①除以②得，故，故選：D8.已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)使得成立，若正整數(shù)的最大值為6，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分類討論的值域，然后根據(jù)值域端點(diǎn)的倍數(shù)關(guān)系可解.【詳解】記因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，所以顯然存在任意正整數(shù)，使得成立；當(dāng)時(shí)，，所以要使正整數(shù)的最大值為6，則，解得；當(dāng)時(shí)，，所以顯然存在任意正整數(shù)，使得成立；當(dāng)時(shí)，，所以要使正整數(shù)的最大值為6，則，解得綜上，的取值范圍為故選：C二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，下列命題正確的是（）A. B.若，則C. D.若，則為實(shí)數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的乘方，結(jié)合舉反例，可得答案.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，，，當(dāng)或時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.近年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)消費(fèi)新業(yè)態(tài)?新應(yīng)用不斷涌現(xiàn)，消費(fèi)場(chǎng)景也隨之加速拓展，某報(bào)社開展了網(wǎng)絡(luò)交易消費(fèi)者滿意度調(diào)查，某縣人口約為萬(wàn)人，從該縣隨機(jī)選取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)滿意度得分分成以下組：、、、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.由頻率分布直方圖可認(rèn)為滿意度得分（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，且，，，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.則（）A.由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)約為B.由直方圖可估計(jì)樣本的中位數(shù)約為C.由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人D.由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人【答案】ABD【解析】【分析】利用頻率分布直方圖計(jì)算出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)，可判斷AB選項(xiàng)；利用正態(tài)分布原則可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積為，前三個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，由中位數(shù)的定義可得，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以，，所以，由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，，所以，由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人，D對(duì).故選：ABD.11.已知函數(shù)，其中是其圖象上四個(gè)不重合的點(diǎn)，直線為函數(shù)在點(diǎn)處的切線，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱B.函數(shù)的極大值有可能小于零C.對(duì)任意的，直線的斜率恒大于直線的斜率D.若三點(diǎn)共線，則.【答案】AD【解析】【分析】由奇偶性和圖象平移可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求出極大值點(diǎn)，再由單調(diào)性與比較可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求出，然后作差比較，即可判斷C；根據(jù)化簡(jiǎn)即可判斷D.【詳解】設(shè)因?yàn)樗詾槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，A正確；令，解得，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，由單調(diào)性可知，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又，所以因?yàn)椋?，即，C錯(cuò)誤；同上，可得，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則有整理得因?yàn)?，所以，即又，所以，整理得因?yàn)椋?，即，所以，D正確.故選：AD12.如圖，圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為圓柱底面圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為圓柱的母線，點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面與線段交于點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（）A.B.若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則直線過(guò)定點(diǎn)C.若平面與平面所成角為，則的最大值為D.若分別為線段的中點(diǎn)，則平面與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)到平面距離的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷A；根據(jù)兩平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，則這個(gè)公共點(diǎn)一定在它們的交線上可判斷B；取特例驗(yàn)證可判斷C；利用圓柱的對(duì)稱性可知RF即為所求，然后求解可判斷D.【詳解】連接，由為圓柱底面圓弧兩個(gè)三等分點(diǎn)可知，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以平面ABCD，又，同理可得平面ABCD，因?yàn)?，平面所以，平面平面ABCD，因?yàn)槠矫?，平面，所以，A正確；記平面，則平面，且，又平面，所以必過(guò)點(diǎn)M，B正確；當(dāng)平面為平面時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作直線HF的垂線，垂足為N，連接DN，易知，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以所以為平面與平面所成二面角的平面角，在等腰梯形中，，易得其高為，即，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn)，則由圓柱的對(duì)稱性可知，平面與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)中，點(diǎn)R到平面BCF的距離最小，記EF的中點(diǎn)為T，連接TQ.易知，所以，得所以，即平面與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)到平面距離的最小值為，D正確.故選：ABD三?填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.13.在平行四邊形中，若，則___________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可解.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以又所以所以故答案為：414.展開式的常數(shù)項(xiàng)為___________.（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再求出常數(shù)項(xiàng)作答.【詳解】展開式通項(xiàng)公式，令，解得，則，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：15.已知內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，則___________.【答案】##【解析】【分析】先用已知角表示出，然后利用正弦定理可解.【詳解】如圖，易知，又所以則由正弦定理得，解得故答案為：16一位飛鏢運(yùn)動(dòng)員向一個(gè)目標(biāo)投擲三次，記事件“第次命中目標(biāo)”，，，，則___________.【答案】【解析】【分析】由題意，計(jì)算條件概率，利用全概率公式，求得答案.【詳解】由題意，，，則；，，則；故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，其中為正整數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)情況列出不等式求解作答.（2）由（1）求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出，再利用正切函數(shù)的單調(diào)性求解作答.【小問(wèn)1詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，于是，解得，而為正整數(shù)，因此，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由，得，即有，因此，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.18.如圖，已知四棱臺(tái)的體積為，且滿足，為棱上的一點(diǎn)，且平面.（1）設(shè)該棱臺(tái)高為，求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行條件求AE，再結(jié)合等腰梯形可求得，然后利用棱臺(tái)的體積公式求出h可證；（2）利用三角形可求，再用等體積法求出點(diǎn)E到平面的距離，然后可得.【小問(wèn)1詳解】連接，由棱臺(tái)性質(zhì)可知，，可得，又，，所以，所以四點(diǎn)共面又因?yàn)槠矫?，平面平面，平面所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又四邊形為等腰梯形，易知為梯形的高，即所以易得上下底面的面積分別為：，由體積公式有，解得所以

【小問(wèn)2詳解】連接由（1）知，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面ABCD，又，平面平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫妫砸椎糜浫忮F的高為，則由得，解得又，所以所以直線與平面所成角的正弦值為19.某校開展“學(xué)習(xí)二十大，永遠(yuǎn)跟黨走”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽.每人可參加多輪答題活動(dòng)，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對(duì)，方可進(jìn)行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束.已知甲同學(xué)第一組每道題答對(duì)的概率均為，第二組每道題答對(duì)的概率均為，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章.（1）記甲同學(xué)在一輪比賽答對(duì)的題目數(shù)為，請(qǐng)寫出的分布列，并求；（2）若甲同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問(wèn)獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.【答案】（1）分布列見解析，（2）4【解析】【分析】（1）由題意可得可取0，1，2，3，4，進(jìn)而分別求出概率即可求解；（2）先求得每一輪獲得紀(jì)念章的概率，由每一輪相互獨(dú)立，則每一輪比賽可視為二項(xiàng)分布，進(jìn)而可得，，，由，解出即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，可取0，1，2，3，4.,，，，，則的分布列為：01234.【小問(wèn)2詳解】每一輪獲得紀(jì)念章的概率為，每一輪相互獨(dú)立，則每一輪比賽可視為二項(xiàng)分布，設(shè)10輪答題獲得紀(jì)念章的數(shù)量為，則，，.由，得，解得，又，得，則獲得4枚紀(jì)念章的概率最大.20.圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù).（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）設(shè)出第一行從左到右成等差數(shù)列的公差，再結(jié)合已知列出方程組求解，然后用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)作答.（2）由（1）的信息結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，再按奇偶分類討論求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，第一行從左到右成等差數(shù)列公差為，則，由，得，即有，于是，又，解得，因此，，所以，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式等價(jià)于恒成立，而恒成立，則；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),不等式等價(jià)于恒成立，而恒成立，則，因此,所以存在，使得恒成立.21.已知拋物線與雙曲線相交于兩點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，直線分別交于（不同于點(diǎn)），直線分別交軸于兩點(diǎn).（1）設(shè)，求證：是定值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立即可計(jì)算作答.（2）由（1）求出直線的方程并求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，借助直線求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再列式求出范圍作答.【小問(wèn)1詳解】由是直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，顯然直線不垂直y軸，點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，所以為定值.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，直線的斜率，方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)，由消去得，，，而直線的方程為，依題意，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．22.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（3）設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，且不等式兩端等號(hào)均能取到，求的最大值.【答案】（1）證明過(guò)程見詳解（2）（3）【解析】【分析】（1）將證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).