北航數(shù)值b第二章課件ch

§3迭代法的收斂性3.1一階定常迭代法的基本定理設有Ax=b，其中為非奇異陣，記為精確解，

且設有迭代矩陣B滿足什么條件時，有1、誤差向量：于是由（3.2）減去（3.1）式得到誤差向量的遞推公式則有

于是得一階定常迭代法研究問題:稱為k步迭代的誤差向量。為初始向量的誤差，2、矩陣序列的極限定義2設有矩陣序列個數(shù)列極限存在，且有收斂于A，記例4

設且有矩陣序列顯然，當時，則3、矩陣序列收斂的充要條件定理1證明：

由范數(shù)的等價性，只證定理2

對任意向量證明：是顯然的?，F(xiàn)證“”，由設對任意的都有，則有或對都有定理3B所有特征值滿足或B譜半徑數(shù)列收斂證明：若B為一般矩陣，即存在非奇異陣P使為B特征值。B為可對角化矩陣，對任意n階矩陣B都可化為Jordan標準型，即存在非奇異矩陣p，使其中J為Jordan標準型，4、一階定常迭代法的基本定理（1）設有方程組（2）有迭代法對任意選取初始向量，迭代法（*）收斂的充要條件是

B的所有特征值滿

足證明

充分性則有唯一解于是，近似解誤差向量有公式

再由定理3，得由定理2，對任意取，有必要性

由設對任意取，都有且（3.3）,由（*）及(3.3)式得到又由題設對任意都有由定理2，則有定理4又由定理3，得到說明：迭代法的基本定理在理論上是重要的，它是迭代法收斂大時是有困難的，如果有B某種范數(shù)，則（1）迭代法收斂，即（2）（3）誤差估計證明，由P281定理25，知

給出利用B范數(shù)判別迭代法收斂的充分條件。及一階定常迭代法定理5

設有方程組

性的基本準則，但在實際計算中要驗證是否成立，當n較（1）因為再由定理4(迭代法基本定理)得例5考察用Jacobi迭代法，G-S迭代法解例2中的方程組的收斂性。解首先將A寫為：解

Jacobi迭代法迭代矩陣為所以用Jacobi方法解例2方程組收斂。的G-S迭代法的迭代矩陣為所以用G-S迭代法解例2方程組收斂。(1)由定理5可知當愈小,迭代法收斂愈快。（3）可利用誤差估計式（3）事先確定迭代次數(shù)，以保證誤差說明：則G-S迭代法收斂較快。(2)當時，迭代法收斂將是緩慢的。事實上，欲使迭代次數(shù)應取成立的最小正整數(shù)。3.螞2關于抹解特赴殊線歌性方圣程組種迭代俊法的策收斂屋性主要袖討論夏：不可磁約陣，A為對稱墾正定瓜矩陣等時鄙的解民法的議收斂亞性。定義3（1）如果A的元素滿足則稱A為嚴格的系數(shù)矩陣A為對角占優(yōu)陣，A為

方程組1、對戲角占說優(yōu)陣對角覆占優(yōu)弦陣（或強占優(yōu)陣）。且上式至少（2）如果A的元素滿足有一臉個不穴等式辯是嚴銜格成辣立，混則稱A為弱對零角占艘優(yōu)陣。2、可基約與柏不可拍約陣定義4如果禽存在n階置謙換矩臥陣P，使（3.4）階方陣，則勻稱A為可橋約矩寺陣，階方陣，A22為n-r其中為否則柳，如訴果不撫存在養(yǎng)這樣尼的置換爺陣p使（3.輔4）式裝成立帖，則瀉稱A為不凱可約托矩陣哭。矩陣A為可定約陣撫，即俯對A施行主若干澇次行嗽列重津排（騾即對A在交競換兩舞行的爐同時抗，交換A相應濤的兩奸列元爹素，趨稱為至對A施行倦一次究行列重塑排）寄能化天為（3.各4）式象。求解朽。說明襪：1、例7

設

則為可約陣。解：所以A為可戰(zhàn)約陣竹。說明層：2、若A可約，求解可化為兩個獨立的低階方程組事實上，求解（3.4）或求央解由上震式第2個方雙程組求y2，再絮代入張第1個方恐程組疾求y1。如果A所有輪元素破都非嫩零，狗則A為不抓可約墳陣。例6設注：A為強對費角占局優(yōu)陣瞎，但A為不鴉可約陣要。事實上，求解定理6（對豬角占酸優(yōu)定填理）殊設A為n階嚴絕格對啟角占疲優(yōu)陣只，或典為弱左對3、Ja犁co洪bi迭代四法G-棗S迭代鄰法的信收斂歡條件角占槍優(yōu)矩坦陣且豪為不咳可約琴陣，規(guī)則A為非敲奇異杜矩陣茫。定理7其中G-脅S迭代濱法均胖收斂伙。（1）如果A為嚴鋒格對現(xiàn)角占曾優(yōu)陣雨，則劍解Ax=b的Ja再co喬bi迭代果法、Ja忙co納bi迭代般法、G-隙S迭代鬧法均招收斂慢。（2）如果A為弱且對角少占優(yōu)干矩陣煎且為時不可胸約陣嶄，則撇解Ax=b的證明擾：先證描（1）的Ja矩co會bi迭代些法收斂呼。只要犯證Ja裹co具bi迭代法迭磁代陣莫的特梳征值絕仰對值嘴小于1。解Ax奪=b的Ja點co綱bi迭代址法的干迭代爹陣為因為A為嚴格對角婆占優(yōu)啞陣，由定顆理5知Ja駛co惱bi迭代瘋法收斂召。證明勢：解Ax說=b的G-農S迭代槳法的松迭代證陣為G的特征壓方程情的根滿足虜：由設，則G的特征印值滿足壺：以下證明，當用反薯證法宰。且至蘇少有嗎一個器不等房誠式嚴籃格成界立。再證嚴（2）的G-蹲S迭代櫻法的猛收斂芹，其到他可南作習閥題。矩陣C為弱專對角烤占優(yōu)嚴陣且越為不仁可約緞陣。由定現(xiàn)理6，知且至澤少有階一個獸不等正式嚴途格成鍬立。故解Ax=b的G-搞S迭代郊法收斂陸。證明由設有SOR方法收斂，于是解的SOR方法迭代陣為（3.5）另一夸方面，推論定理9當時，則解Ax=b的SOR方法不收斂。（1）設Ax=b，其中對稱正定陣，（2），則解Ax=b的SOR方法收斂。推論定理10（1）設A為強兇對角賠占優(yōu)菊陣（順或A為弱鳳占優(yōu)葬陣且A