2023屆安徽省蚌埠市高三四模數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆安徽省蚌埠市高三四模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合再求即可.【詳解】因?yàn)榧希瑒t.故選：B.2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的條件，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出即可作答.【詳解】依題意，，所以.故選：D3．已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中項(xiàng)求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，故選：A4．已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)判斷A、B，根據(jù)基本不等式可判斷C、D.【詳解】因?yàn)榍?，所以或，對A：若，則，若，則，A錯(cuò)誤；對B：∵，，∴，B錯(cuò)誤；對C：由或，知且，∴，C正確；對D：當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)，則且，∴，D錯(cuò)誤.故選：C5．將頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸的銳角的終邊繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，交單位圓于點(diǎn)，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，求得的正弦值與余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案.【詳解】由點(diǎn)在單位圓上，則，解得，由銳角，即，則，故，所以.故選：D6．如圖是函數(shù)圖象的一部分，設(shè)函數(shù)，，則可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合定義域分析判斷.【詳解】因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，為奇函數(shù).可知，為非奇非偶函數(shù)，，為奇函數(shù)，由圖可知：為奇函數(shù)，故A、C錯(cuò)誤；由于，令，可得，故的定義域?yàn)?又因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以D錯(cuò)誤；故選：B.7．在中，已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算利用表示可得，解出，再利用即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以，即，所以，故選：A8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線分別與雙曲線的漸近線平行，與漸近線的交點(diǎn)記為，若為等邊三角形，且面積為，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】作圖，分析幾何關(guān)系得到四邊形OABF是菱形，利用條件即可求出.【詳解】由題意作上圖，顯然四邊形是平行四邊形，又是等邊三角形，是菱形，由于，的AB邊上的高，即，的方程為：，A在上，，；故選：C.二、多選題9．某校在開展的“體育節(jié)”活動(dòng)中，為了解學(xué)生對“體育節(jié)”的滿意程度，組織學(xué)生給活動(dòng)打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)均在內(nèi).從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為300的樣本，并將這些數(shù)據(jù)分成6組并作出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形（如圖所示），則下列說法中正確的是（

）A．樣本中分?jǐn)?shù)落在的頻數(shù)為60人B．樣本的眾數(shù)為75分C．樣本的平均數(shù)為73.5分D．樣本的80百分位數(shù)為85分【答案】BC【分析】利用直方圖求頻數(shù)，分析樣本眾數(shù)、平均數(shù)及80百分位數(shù)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由直方圖，的頻率為，所以分?jǐn)?shù)落在的頻數(shù)為人，A錯(cuò)；而的頻率為，為各組最大，故樣本的眾數(shù)為75分，B對；樣本平均數(shù)為，C對；由，所以80百分位數(shù)在，設(shè)為，則，可得分，D錯(cuò).故選：BC10．袋中有大小相同的8個(gè)小球，其中5個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為事件，“第一次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件；“第二次摸球時(shí)摸到紅球”為事件，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】求出，，，，根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，，事件有兩種情況，①第一次摸到紅球，第二次摸到紅球；②第一次摸到藍(lán)球，第二次摸到紅球；，事件有兩種情況，①第一次摸到紅球，第二次摸到藍(lán)球；②第一次摸到藍(lán)球，第二次摸到藍(lán)球；,所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：ABCD.11．已知正方體的棱長為6，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．直線與所成角的正切值為B．直線平面C．平面平面D．到直線的距離為【答案】BCD【分析】把直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，在直角中，求得所成的角的正切值為，可判定A不正確；由，利用線面平行的判定定理，證得平面，可判定B正確；由平面，得到平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，可判定C正確；設(shè)，證得，得到即為點(diǎn)到直線的距離，在直角中求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，在正方體中，可得，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接和，在直角中，，即異面直線與所成的角的正切值為，所以A不正確；對于B中，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面，所以B正確；對于C中，在正方體中，可得平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以C正確；對于D中，設(shè)，因?yàn)槠矫?，且平面，可得，所以即為點(diǎn)到直線的距離，在直角中，，所以，即到直線的距離為，所以D正確.故選：BCD.12．設(shè)定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)分別為與，已知，，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的一個(gè)周期為8D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】AC【分析】由，可得，由的圖象關(guān)于直線對稱，則，據(jù)此可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】因，兩邊求導(dǎo)可得.的圖象關(guān)于直線對稱，則.A選項(xiàng)，由可得，由可得，則，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A正確；B選項(xiàng)，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則.又，，則.即是常函數(shù)，但不一定是常函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由可得.由可得，又，則，則函數(shù)的一個(gè)周期為8，故C正確；D選項(xiàng)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則.由可得.又，則，得的一個(gè)周期為4，但題目條件不足以說明的周期情況，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題13．已知向量，則在上的投影向量為___________.（用坐標(biāo)表示）【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合投影向量的意義求解作答.【詳解】因?yàn)椋瑒t有，所以在上的投影向量為故答案為：14．如今中國被譽(yù)為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切.若，則該模型中最小小球的半徑為___________.【答案】/【分析】設(shè)E為底面的中心，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，O為大球的球心，大正四面體的棱長為a，高為h，利用，求得正四面體內(nèi)切球的半徑為正四面體的高為四分之一求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)O為大球的球心，大正四面體的底面中心為E，CD的中點(diǎn)為F，棱長為a，高為h，連接OA，OB，OC，OD，則，大球所對應(yīng)的正四面體的高為，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榇笳拿骟w的棱長為12，所以，，，，，，故答案為：15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若三點(diǎn)共線，且的外接圓交于點(diǎn)的外接圓交于點(diǎn)，則___________.【答案】1【分析】根據(jù)，得到為外接圓的直徑，為外接圓的直徑，，從而有，再結(jié)合拋物線得到求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，所以為外接圓的直徑，為外接圓的直徑，所以，由拋物線的定義得，則，所以，所以，則，所以，故答案為：1四、雙空題16．函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則___________，___________.【答案】//【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求得，由關(guān)于函數(shù)圖象中y軸右側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)對稱確定，再，應(yīng)用平方關(guān)系、誘導(dǎo)公式即倍角余弦公式求值即可.【詳解】由題設(shè)，又，則，，則，故，由且是y軸左側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)，故，即，則，由圖知：關(guān)于函數(shù)圖象中y軸右側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)對稱，即對稱，所以，由，且，所以，而，則.故答案為：，五、解答題17．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，且滿足.(1)求角；(2)若的面積為，點(diǎn)在邊上，是的角平分線，且，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.（2）利用三角形面積公式，先求，再利用余弦定理求即可.【詳解】（1），，由正弦定理得，，又，.（2），，，由題意知，，，，，，故.的周長為.18．已知數(shù)列和，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）通過題中關(guān)系，可構(gòu)造出數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求和.（2），可利用分組求和和錯(cuò)位相減求和法解題.【詳解】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，，.（2），設(shè)，則，兩式相減得，從而.19．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成績實(shí)行“”的構(gòu)成模式，第一個(gè)“3”是語文?數(shù)學(xué)?外語，每門滿分150分，第二個(gè)“3”由考生在思想政治?歷史?地理?物理?化學(xué)?生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級性考試，每門滿分100分，高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對物理?化學(xué)?生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué)生在物理?化學(xué)?生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體，從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選考物理?化學(xué)?生物的科目數(shù)123人數(shù)104050(1)從這100名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理?化學(xué)?生物科目數(shù)量相等的概率；(2)從這100名學(xué)生中任選2名，記表示這2名學(xué)生選考物理?化學(xué)?生物的科目數(shù)量之差的絕對值，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，將其中恰好選考物理?化學(xué)?生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作，求事件“”的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題，可知總情況數(shù)為，2人選考科目數(shù)量分別為1，2，3的情況數(shù)，據(jù)此可得答案；（2）由題意可知的可能取值分別為，分別求得時(shí)概率即可得答案；（3）由題可得隨機(jī)抽取1人，選考科目數(shù)為2的概率為，又，即4人中有2人，3人，4人選考科目數(shù)為2，即可得答案.【詳解】（1）記“所選取的2名學(xué)生選考物理?化學(xué)?生物科目數(shù)量相等”為事件A，則兩人選考物理?化學(xué)?生物科目數(shù)量（以下用科目數(shù)或選考科目數(shù)指代）為1的情況數(shù)為，數(shù)目為2的為，數(shù)目為3的有，則.；（2）由題意可知的可能取值分別為.為0時(shí)對應(yīng)概率為（1）中所求概率：；為1時(shí)，1人選考科目數(shù)為1，另一人為2或1人為2，1人為3：；為2時(shí)，1人為1，1人為3：.則分布列如圖所示：012故的期望為；（3）所調(diào)查的100名學(xué)生中物理?化學(xué)?生物選考兩科目的學(xué)生有40名，相應(yīng)的頻率為，則4人中隨機(jī)1人選考2科的概率為.又，當(dāng)時(shí)，相應(yīng)概率為；當(dāng)時(shí)，相應(yīng)概率為；，相應(yīng)概率為.則20．已知三棱柱中，側(cè)面是正方形，底面是等腰直角三角形，且為線段中點(diǎn)，.(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角為，且滿足？若不存在，請說明理由；若存在，求出的長度.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）由，證得平面，得到，再由，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，取中點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，分別求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面是正方形，底面是等腰直角三角形，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由平行四邊形，且，可得四邊形為菱形，且，可得是等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，可得，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則由（1）知平面，取中點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，則取取，可得.則，整理得，解得或（舍去）.故存在滿足題意.21．已知橢圓的離心率為分別為橢圓的上?下頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且的面積為，過點(diǎn)A作直線，交橢圓于點(diǎn)，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求得它們的值，即得答案.（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，設(shè)，可得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)三角形面積可得到，繼而計(jì)算以及，推出，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：,解得,故橢圓的方程為.（2）證明：直線的方程為，代入，得，需滿足，設(shè)，則，則，點(diǎn)O到直線l的距離為，所以，即，得，滿足，所以設(shè)，則，即，得，因?yàn)?，所以，?【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：有關(guān)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的題目，解題的思路一般并不難想到，即要聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，化簡得到根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合條件進(jìn)行化簡，但難點(diǎn)在于計(jì)算的復(fù)雜性，計(jì)算量較大，且基本上都是相關(guān)參數(shù)的運(yùn)算，因此要求計(jì)算十分細(xì)心才可.22．已知函數(shù).(1)證明：；(2)證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，且.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求出最小值作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理判斷唯一零點(diǎn)，再借助