無窮限反常積分

關(guān)于無窮限反常積分02.07.20231第1頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.2023210.1無窮限的反常積分

([積分區(qū)間無限]無窮積分)10.2無界函數(shù)的反常積分

([被積函數(shù)無界]瑕積分)第十章反常積分(廣義積分)第2頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.20233

引例一、無窮積分的概念二、無窮積分的性質(zhì)

三、無窮積分與數(shù)項級數(shù)的關(guān)系四、無窮積分收斂性判別法第3頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.20234

引例：問題：0xy1b即這是積分區(qū)間為[1，+∞）的積分。解：由于這個圖形不是封閉的曲邊梯形,而在x軸的正方向是開口的，第4頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.20235顯然當(dāng)b改變時，曲邊梯形的面積也隨之改變，則所求曲邊梯形的面積為1.第5頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.20236一、無窮積分的概念.

定義:設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,+)上連續(xù),任取b>a,如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在無窮區(qū)間[a,+)上的廣義積分,記作(1)第6頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.20237這時記號

不再表示數(shù)值了。

例如：oyxb1這時也稱廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱廣義積分

發(fā)散,第7頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.20238

類似地,

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,b]上連續(xù),取a<

b,如果極限存在,(2)

這時也稱廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱廣義積分

發(fā)散.即f(x)在無窮區(qū)間(,b]上廣義積分,記作則稱此極限為函數(shù)第8頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.20239設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上連續(xù),

都收斂,則稱上述兩個廣義積分之和為函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上廣義積分.(3)如果廣義積分

記作即第9頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202310

這時,也稱廣義積分收斂;

否則就稱廣義積分發(fā)散.

上述三種廣義積分統(tǒng)稱為:

無窮限的廣義積分（無窮積分）.第10頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202311解：注:為方便起見,把a(bǔ)boxy第11頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202312第12頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202313解:加第13頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202314證:

當(dāng)

p=1時當(dāng)

p1時第14頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202315結(jié)論類似于p級數(shù)第15頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202316練習(xí)1.確定下列無窮積分是否收斂，若收斂算出它的值.解：第16頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202317第17頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202318第18頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202319作業(yè)1：下列無窮積分是否收斂？若收斂，算出它們的值.作業(yè)2：求下列無窮積分：第19頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202320二、無窮積分的性質(zhì)（1）、對于無窮限積分也有換元法則.（2）、（3）、（4）、第20頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202321Cauchy收斂原理(準(zhǔn)則)：

和無窮級數(shù)類似，反常積分也有絕對收斂和條件收斂的概念：第21頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202322定理：絕對收斂的反常積分一定收斂，但收斂的卻不一定絕對收斂.(見例題8)第22頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202323三、無窮積分與數(shù)項級數(shù)的關(guān)系二者有密切的聯(lián)系:由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系知：并且有同一極限值.海涅定理第23頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202324分析:第24頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202325第25頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202326oyx12345第26頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202327四.無窮積分收斂的判別法1.比較判別法:則有:第27頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.2023282.極限形式:則:第28頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202329３.柯西判別法:第29頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.2023304.極限形式:第30頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202331例4：解：參考函數(shù)第31頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202332例5：解：第32頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202333解：加.

討論的收斂性，根據(jù)比較判別法第33頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202334例6：解：故由柯西判別法極限形式第34頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202335※第二中值定理（作用相當(dāng)于級數(shù)中的阿貝爾變換）有阿貝爾判別法判別法與狄利克雷判別法兩種判別法證明需要用如下中值定理第35頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202336特別地利用第二中值定理可以證明A-判別法和D-判別法第36頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202337*.阿貝爾判別法了解內(nèi)容第37頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202338例8：證明：∴由A-判別法知，所討論級數(shù)收斂.第38頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202339*.狄利克雷判別法了解內(nèi)容第39頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202340例7：證明：先證明此積分收斂第40頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三02.07.202341再證明此積分收斂非絕對收斂第41頁，講稿