積分變換第講2

積分變換

第3講傅氏變換的性質(zhì)這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時,不再重述這些條件.線性性質(zhì)設(shè)F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],

a,b是常數(shù),則

F

[a

f1(t)+b

f2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)

這個性質(zhì)的作用是很顯然的,它表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等于各函數(shù)傅氏變換的線性組合.它的證明只需根據(jù)定義就可推出.

同樣,傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì),即

F

-1[aF1(w)+bF2(w)]=a

f1(t)+bf2(t)(1.14)2.

位移性質(zhì)證由傅氏變換的定義,可知微分性質(zhì)

如果f(t)在(-,

+)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點(diǎn),

且當(dāng)|t|+時,f(t)0,則

F[f'(t)]=jwF[f(t)]. (1.17)

證由傅氏變換的定義,并利用分部積分可得推論

F[f(n)(t)]=(jw)n

F[f(t)].

(1.18)同樣,我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,設(shè)

F[f(t)]=F(w),

則4.

積分性質(zhì)例2求微分積分方程的解,其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì),且記F[x(t)]=X(w),

F[h(t)]=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,

可得

運(yùn)用蒸傅氏候變換恢的線濃性性凝質(zhì),微分絞性質(zhì)乖以及謙積分粗性質(zhì),可以察把線景性常庫系數(shù)溜微分萬方程脅轉(zhuǎn)化嚷為代舒數(shù)方詳程,通過謎解代破數(shù)方郵程與般求傅釣氏逆梁變換,就可告以得償?shù)酱税⒎织煼匠膛驳慕?另外,傅氏憤變換迎還是醒求解課數(shù)學(xué)喪物理首方程粗的方禾法之改一.此外疲還有性質(zhì)斤小結(jié):若F[f(t)]撤=F(w),F[g(t)]目=G(w)乘積用定理若F(w)=F[f(t)]艇,G(w)=F[g(t)],則能量覺積分銀若F(w)=F[f(t)]米,則有這一岡等式愛又稱旋為帕塞賽瓦爾(P饞ar芹se織rv靠al杠)等式證在(1詢.2憤0)式中,令f(t)=g(t),則實(shí)際隔上,只要途記住尸下面時四個外傅里旱葉變勒換,則所辱有的桿傅里彼葉變妻換都條無須院從公簽式直嫌接推麻導(dǎo)而示從傅茄里葉提變換班的性賺質(zhì)就捉可導(dǎo)繞出.注意畜第一怪類間喜斷點(diǎn)遲處的亞求導(dǎo)鼠數(shù),首先障有d(t)u(t)ttOOa假設(shè)冠函數(shù)f(t)在t0處有椒一個睬上升甲了a的第衣一類矮間斷洪點(diǎn),則f(t)可以清分為灰在此啞處連膨續(xù)的續(xù)一個悔函數(shù)f1(t)加上a牙u(t-t0)a=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)a腰u(t-t0)例求方博波的燙傅氏膝變換t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf麻'(t)-E推導(dǎo)綿過程負(fù)為求如癥圖所捎示的公頻譜閃函數(shù)t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf玻'(t)t/2-t/2aOtf徑''(t)a-2a-a因此寄有習(xí)題伯二,2繳.(惰1)tOf(t)1-1tOf頓'(t)1-12-2f(t)的二臺階導(dǎo)扁和三篩階導(dǎo)段如下蘇圖:tOf霸''(t)1-12-2tOf摟''膊'(t)1-12-2因此瓜有習(xí)題富二2.民(2粥)習(xí)題紋二2.擋(3榨)-1-111f(t)tO-121f減'(t)tO-1-1因此習(xí)題該二3.奮(1輪)f(t)=天e-b|t|(b>0后)令g(t)=u(t)e-bt,則f(t)=g(t)+我g(姿-t)tg(t)tg(-t)tf(t)OOO因此沈有習(xí)題紛二3.決(2磚)f(t)=祖e-|t|co監(jiān)st習(xí)題摘二3.頭(3縱)習(xí)題闊二4題習(xí)題不二5.F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]習(xí)題鞏二6f(t)=己sg敲nt1-1tf(t)2tf災(zāi)'