控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性

關(guān)于控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性第1頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三5.1穩(wěn)定性和快速性的基本概念

穩(wěn)定性指控制系統(tǒng)在外作用消失后自動恢復(fù)原有平衡狀態(tài)或自動地趨向于一個新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力。

如果系統(tǒng)不能恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，則認(rèn)為系統(tǒng)不穩(wěn)定。第2頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三單擺系統(tǒng)穩(wěn)定倒擺系統(tǒng)不穩(wěn)定第3頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三設(shè)線性控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為特征方程式的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。

第4頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三

系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部分布在s平面的左半平面；系統(tǒng)不穩(wěn)定，至少有一個極點分布在s平面的右半平面；系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在s平面上的右半平面無極點，至少有一個極點在虛軸上。

第5頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三5.2Routh-Hurwitz判據(jù)一.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件假設(shè)特征方程為根據(jù)代數(shù)理論中韋達(dá)定理所指出的方程根和系數(shù)的關(guān)系可知，為使系統(tǒng)特征方程的根都為負(fù)實部，其必要條件：特征方程的各項系數(shù)均為正。含義：1各項系數(shù)符號相同（即同號）

2各項系數(shù)均不等于0（即不缺項）第6頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三二.控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件Routh陣列

第7頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三

特征方程全部為負(fù)實部根的充分必要條件是Routh表中第一列各值為正，如Routh表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各數(shù)符號的改變次數(shù)，代表特征方程式的正實部根的數(shù)目。第8頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例5-1判別特征方程為

的某系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解

利用Routh判據(jù)

符號改變兩次，則說明系統(tǒng)有兩個正實部的特征根，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。第9頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三三.Routh判據(jù)的特殊情況Routh表中某行的第一個元素為零，而其余各元素均不為零或部分不為零。這時用一個很小的正數(shù)來代替零元素，Routh表繼續(xù)進(jìn)行。第10頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三2.如果Routh表中出現(xiàn)全零行，表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根，這時，可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程，對輔助方程求導(dǎo)，用所得導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代替全零行，便可按Routh穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運算下去，直到得出全部Routh計算表。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同、符號相反的根數(shù)。所有這些數(shù)值相同、符號相反的根，都可以從輔助方程中求出。第11頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三5.3Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)若開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面無極點時，當(dāng)從0變化時，如果Nyquist曲線不包圍臨界點(-1,j0)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。如果Nyquist曲線包圍臨界點(-1,j0)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)的Nyquist曲線經(jīng)過(-1,j0)點，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第12頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三

如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有P個開環(huán)極點位于s右半平面，當(dāng)從0變化時，開環(huán)幅相曲線包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為N(反時針方向為正，順時針方向為負(fù))和開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面上的極點個數(shù)P的關(guān)系為

M=P－2N

M：閉環(huán)極點在s右半平面的個數(shù)如果M為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，假設(shè)為型，則繪制開環(huán)幅相曲線后，頻率再從開始，反時針補畫個半徑為無窮大的圓。第13頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例1一個單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用Nyquist判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖所示。

從Nyquist曲線上看到，曲線順時針包圍(-1,j0)點一圈，

即N=-1，而開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)P=0，因此閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)故系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第14頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三5.4Bode圖上的穩(wěn)定性判據(jù)第15頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三Bode圖上的穩(wěn)定性判據(jù)可定義為一個反饋控制系統(tǒng),其閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)為Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)s右半平面極點的個數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性大于0dB的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線與-π線的正負(fù)穿越之差N=N+-N-來確定,即

若Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定Z為閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)。第16頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例：如圖5-17所示的四種開環(huán)Bode曲線，試用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù),判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知P=0，在L(ω)≥0的范圍內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第17頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三已知P=1，在L(ω)≥0時

相頻曲線有一次從負(fù)到正穿越-π線

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第18頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三已知P=2,在L(ω)≥0的范圍內(nèi),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

第19頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三5.7穩(wěn)定裕度根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)可以判別一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但是要使一個實際控制系統(tǒng)能夠穩(wěn)定可靠的工作，剛好滿足穩(wěn)定性條件是不夠的，還必須留有余地。穩(wěn)定裕度可以定量地確定一個系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。它包括相位裕度和幅值裕度。第20頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三1.幅值裕度Kg定義為Nyquist曲線與負(fù)實軸(-π)交點處的頻率所對應(yīng)的幅值的倒數(shù)，即ω=ωg

稱為交點頻率。Kg含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)增益增大到原來的Kg倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

第21頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三穩(wěn)定系統(tǒng)

第22頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三Kg相同但穩(wěn)定程度不同的兩條開環(huán)Nyquist曲線它們具有相同的幅值裕度，但系統(tǒng)I的穩(wěn)定性不如系統(tǒng)II的穩(wěn)定性。因此需要增加穩(wěn)定性的性能指標(biāo)，即相位裕度

第23頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三2.

相位裕度定義為π加上Nyquist曲線上幅值為1這一點的相角，此時ω=ωc

稱為截止頻率。相位裕度的含義為：如果系統(tǒng)截止頻率ωc信號的相位遲后再增大度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，這個遲后角稱為相位裕度。

第24頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三由于故在Bode圖中，相角裕度表現(xiàn)為L(ω)=0dB處的相角Φ(ωc)與-180度水平線之間的角度差。第25頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三不穩(wěn)定系統(tǒng)

第26頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三二階系統(tǒng)頻域與時域的關(guān)系二階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標(biāo)與動態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為

開環(huán)幅頻特性：開環(huán)相頻特性：在ω=ωc

時，A(ωc)=1第27頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三解得二階系統(tǒng)的相位裕度為：

第28頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三γ與σ%都只是阻尼比ξ的函數(shù)。γ

增加時σ%減小。相位裕度γ可反映時域中超調(diào)量σ%的大小，是頻域中的平穩(wěn)性指標(biāo)。通常為使二階系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下引起的過程不至于振蕩得太厲害，以及調(diào)節(jié)時間不致太長1相位裕度γ與超調(diào)量σ%的關(guān)系第29頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三2γ、ωc

與ts關(guān)系二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間若γ一定，ωc

與ts

成反比。ωc

越大，ts

越短。開環(huán)頻域指標(biāo)ωc

可反映系統(tǒng)響應(yīng)快速性，是頻域中的快速性指標(biāo)。第30頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三二階系統(tǒng)閉環(huán)頻域指標(biāo)與動態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系圖示為1類系統(tǒng)所對應(yīng)的典型閉環(huán)幅頻特性。零頻幅值A(chǔ)(0)：指ω=0時的閉環(huán)幅頻特性值。2)諧振頻率指系統(tǒng)產(chǎn)生峰值時對應(yīng)的頻率。3)諧振峰值指在諧振頻率處對應(yīng)的幅值。4)頻寬指系統(tǒng)的頻率從0開始，對數(shù)幅頻特性下降-3dB(或幅值下降為)時所對應(yīng)的頻率范圍。

第31頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三1諧振峰值Mr