第三章一元函數(shù)積分學(xué)9廣義

定義1fx在區(qū)間,+￥babfi

fx)dx存在，則稱(chēng)此極fx在無(wú)窮區(qū)間,+￥記作 fxf(x)dx= f(bfi類(lèi)似地fx在區(qū)間￥,abafi-

fx)dx存在，則稱(chēng)此極fx在無(wú)窮區(qū)間￥,b bb

xf(

=lim

f(b afi-￥bfx在區(qū)間￥+￥ 分-

fxx和

fxfx在無(wú)窮區(qū)間￥+￥廣義積分，記作-￥fx

f(x)dx0

f(x)dx+0 f(b=lim f(x)dx+lim f(afi- bfi

+￥1sin1 pp+￥1sin1

=

b1 解p

bfi

p

x2sinxb=-

1d1

1bfi

p

x

bfi+￥

xp=limcos1-cosp

=bfi+￥ 222

-￥1+ =

+01-￥1+01

-￥1+

1+=afi-

a1+x2

dx+bfi0

01+x2b1bb1arctanxaarctanx0afi- bfi=-limarctana+limarctanafi- bfi22 22 例3

+￥1dx當(dāng)p當(dāng)p￡時(shí)發(fā)散證(1p

x1dx

+￥

dx

nx

x

+￥

x1-p

+￥ p<(2)p?

dx=

= 1 x1

1-p

,p>因此當(dāng)p

x

p-當(dāng)p￡時(shí)發(fā)散例4a當(dāng)p0時(shí)發(fā)散

epxdx當(dāng)p0

e-px證 e-px

=lim

e-px

=lim- bfi+￥

bfi+￥ - -pb

e-ap,p>=lim -e = bfi+￥

￥ p<當(dāng)p0時(shí)收斂，當(dāng)p0時(shí)發(fā)散例5判斷廣義積分 b解+￥sinxdxb bfi

0sinb=limcosx)=lim1-cosbfi

bfi 定義2設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間a,上連續(xù)，而在點(diǎn) .取e>0,如果極限befi

fx)dx存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)fxba,b

xb f(b

aa

f(類(lèi)似地fx在區(qū)間a,上連續(xù)，而在點(diǎn)的左鄰域 .取e>0,如果極限efi

f(b存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的廣義積分，記作a fx.bbf(b

=

f( efi0+設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間a,上除點(diǎn)ca<c<b外連 .如果兩個(gè)廣義積分 fx和 fx都收斂，則定 fxdx= fxdx+ fx = efi

x

+fib

c+e￠fx否則，就稱(chēng)廣義積分

fx發(fā)散例6

a (a>0).a2a2-a2-解a2-xfi

xa為被積函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)a a2a2-

=

0

a2- xa2-

a-e =

= - =efi0+ a0

efi0+

例7當(dāng)q時(shí)發(fā)散

11dx當(dāng)q0xq(1)q

11dx

1dx

n1 xq

+￥,q> q? 1

dx

= xq

1-q

,q<因此當(dāng)q時(shí)廣義積分收斂，且其值為當(dāng)q時(shí)發(fā)散.

1- 例8

2 . xln2

dx 解

xln

=lim1

+xln d(ln=

ln

=efi

ln(lnln(lnefi￥ 例9

11-1x2解由于lim1=+￥,故該積分 函數(shù)廣義積分xfi011 0

1\-1x2dx

-1x2dx+

x2因?yàn)?1dx=lim-1 =lim1-1=

+

+

x

e所以11dx-1x2 計(jì)算廣義積分

x1+xx+￥

1

+￥ x解x

x1+xx

x1+xx

1+x=

2d( x11+ 1

2d( x 1+=

xx+xx =

xx+xx

-

-2plimefi0+

limeb bfi+￥ 4eb=2p-0+2p-2p=p. 4 計(jì)算廣義積分

2 3x-分析因?yàn)楸环e函數(shù)在點(diǎn)x=的鄰域內(nèi) 122 12 dx dx+ 3x- 3x- 3x-=

1-

dx+

3x-

3x-=

1-

dx+lim

3x-3x-3x-

2 =lim x- +lim x-

3

3 222= 13- +22

1-e3

2

2201+1

的斂散性0x-x-1分析:因?yàn)樵?上 xfi時(shí)

x-x-

fi￥,)解

=-1

x-x-3)2x- x-3 \

=-1

dx-

dx 0x-1x-3)

2

x-

x- 1=-11

x-

dx+

dx2