專題1-4一元二次不等式及其他不等式7大考點

專題1-4一元二次不等式及其他不等式7大考點知識點一一元二次不等式的概念1、概念：我們把只有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式。2、一元二次不等式的一般形式：或，其中均為常數(shù)，知識點二一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??一、解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫出相應(yīng)的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.二、含參數(shù)的一元二次不等式討論依據(jù)1、對二次項系數(shù)進(jìn)行大于0，小于0，等于0分類討論；2、當(dāng)二次項系數(shù)不等于0時，再對判別式進(jìn)行大于0，小于0，等于0的分類討論；3、當(dāng)判別式大于0時，再對兩根的大小進(jìn)行討論，最后確定出解集。三、分式、高次、絕對值不等式的解法1、分式不等式的解法：解分式不等式的實質(zhì)就是講分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式。設(shè)A、B均為含x的多項式（1）（2）（3）（4）【注意】當(dāng)分式右側(cè)不為0時，可過移項、通分合并的手段將右側(cè)變?yōu)?；當(dāng)分母符號確定時，可利用不等式的形式直接去分母。2、高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：（1）標(biāo)準(zhǔn)化：通過移項、通分等方法將不等式左側(cè)化為未知數(shù)的正式，右側(cè)化為0的形式；（2）分解因式：將標(biāo)準(zhǔn)化的不等式左側(cè)化為若干個因式（一次因式或高次因式不可約因式）的乘積，如的形式，其中各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正；（3）求根：求如的根，并在數(shù)軸上表示出來（按照從小到大的順序標(biāo)注）（4）穿線：從右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點，（奇穿偶回：經(jīng)過偶次根時應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)仍回到這一側(cè)，經(jīng)過奇數(shù)次根時應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)穿過到達(dá)數(shù)軸的另一側(cè)）（5）得解集：若不等式“>0”，則找“線”在數(shù)軸上方的區(qū)間；若不等式“<0”，則找“線”在數(shù)軸下方的區(qū)間3、絕對值不等式：（1）的解集是，如圖1．（2）的解集是，如圖2．（3）．（4）或考點一解不含參數(shù)的一元二次不等式【例1】（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)?？级＃┘褐?，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,所以.故選：A.【變式1-1】（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，，，所以故選：B【變式1-2】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解不等式，得，即，而，所以.故選：D【變式1-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）設(shè)集合，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，集合，，可得，所以.故選：C．考點二解含參數(shù)的一元二次不等式【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（）A．[－4，3]B．[－4，2]C．[－1，3]D．[－2，2]【答案】A【解析】原不等式可化為.當(dāng)a＜1時，不等式的解集為[a，1]，此時只要即可，即；當(dāng)a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；當(dāng)a＞1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要即可，即.綜上可得：.故選：A.【變式2-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）若，則實數(shù)的一個取值為__________.【答案】（答案不唯一）【解析】因為，且當(dāng)時，即時，，當(dāng)時，即時，才有可能使得，當(dāng)?shù)膬筛鶆偤檬菚r，即，此時的解集為剛好滿足，所以，所以實數(shù)的一個取值可以為.故答案為:【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析【解析】由題意知，①當(dāng)，即或時，方程的兩根為，所以解集為；②若，即時，當(dāng)時，原不等式可化為，即，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，即，所以；③當(dāng)，即時，原不等式的解集為；綜上，當(dāng)或時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．【答案】答案見解析【解析】當(dāng)時，原不等式為，解集為；當(dāng)時，原不等式為，解集為；當(dāng)時，原不等式為，若，即時，解集為或；若，即時，解集為；若，即時，解集為或；綜上，解集為；解集為；解集為或；解集為；解集為或.考點三三個“二次”之間的關(guān)系【例3】（2022秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集為，則不等式的解集是（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】不等式的解集為，則方程的兩根為和3，所以，解得，不等式為，即，或．故選：D．【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，則ab＝________.【答案】24【解析】由一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系知：，或為方程的兩個根，即，∴.故答案為：24【變式3-2】（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的解集為______________．【答案】【解析】因為關(guān)于x的不等式的解集為，所以且方程的解為，則，所以，即，所以不等式的解集為．故答案為：．【變式3-3】（2022秋·遼寧·高三本溪高中校聯(lián)考階段練習(xí)）命題關(guān)于x的不等式的解集為的一個必要不充分條件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式的解集為，則，得，所以命題的必要不充分條件表示的集合需真包含，所以是其必要不充分條件．故選：C考點四解分式、高次不等式【例4】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合．集合，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，故，因此，.故選：B.【變式4-1】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）不等式的解集為（）A．B．C．D．或，【答案】C【解析】不等式等價于，等價于，解集為．故選：C【變式4-2】（2022秋·安徽亳州·高三亳州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式可化為，即或，解得：或．∴不等式解集為：．故選：D．【變式4-3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）不等式的解集是__________．【答案】【解析】，即，即，則，根據(jù)穿根法解得，故答案為：.【變式4-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為___________.【答案】【解析】不等式等價于，的解集為，，所以的解集為，所以，所以.故答案為：考點五解含絕對值的不等式【例5】（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可得集合，，故，故選：A【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則的非空真子集的個數(shù)為（）A．14B．6C．7D．8【答案】B【解析】由可得或，故集合或，所以，所以，所以的非空真子集的個數(shù)為.故選：B.【變式5-2】（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，若中有且僅有三個整數(shù)，則正數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得，，若中有且僅有三個整數(shù)，則只能是，故，解得，故選：B．【變式5-3】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，不等式的解集為__________．【答案】【解析】由已知可得，則，，當(dāng)時，，解之得；當(dāng)時，，即，顯然無解；綜上解集為：故答案為：【變式5-4】（2023·上海黃浦·格致中學(xué)校考三模）“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】，當(dāng)時，，即，解得，與取交集，得，當(dāng)時，，即，成立，故，當(dāng)時，，解得，與取交集，得，綜上：的解集為，因為，但，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A考點六一元二次方程根的分布問題【例6】（2022秋·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令由題可知：則，即，故選：C【變式6-1】（2022秋·廣東深圳·高三深圳市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有兩個正根，那么兩個根的倒數(shù)和最小值是（）A．-2B．C．D．1【答案】B【解析】由題意可得，解得或，設(shè)兩個為，，由兩根為正根可得，解得，綜上知，.故兩個根的倒數(shù)和為，，，，故，，故兩個根的倒數(shù)和的最小值是.故選：B【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側(cè)，故時，，即，解得，故，故選：D【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，的取值范圍為__．【答案】【解析】令，圖象恒過點，方程0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，，解得.故答案為：考點七一元二次不等式恒成立問題【例7】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】關(guān)于的不等式的解集為R，則，解之得，則“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件對應(yīng)的a的范圍應(yīng)包含，則僅選項C符合題意.故選：C【變式7-1】（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考三模）命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，為真命題，則或，解得，對于A，，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，A錯誤；對于B，是命題“，”為真命題的充要條件，B錯誤；對于C，，是命題“，”為真命題的必要不充分條件，C正確；對于D，，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，D錯誤；故選：C【變式7-2】．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知命題：，，若p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為命題：，，所以：，，又因為為假命題，所以為真命題，即，恒成立，所以，即，解得，故選：D．【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對一切恒成立，則的最小值為________．【答案】－4【解析】∵當(dāng)時，恒成立，