江蘇省常州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

江蘇省常州市新橋高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一

次學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：___________班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4=兇他(》一2)<1},集合8=卜,一2."3<0},則4U6等于().

A.(2,12)B.(-1,3)C.(-1,12)D.(2,3)

2

2.函數(shù)/(x)=lnx——+1的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

x

A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,-H?)

3.函數(shù))fcosx+sia?在區(qū)間［-it,用的圖象大致為()

4.大西洋鞋魚(yú)每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵.記鞋魚(yú)的游速為v

(單位："7/S),鞋魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為。.科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)V與log；焉成正比.當(dāng)

u=l/〃/s時(shí)，蛙魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為900.當(dāng)v=2m/s時(shí)，其耗氧量的單位數(shù)為

()

A.1800B.2700C.7290D,8100

22

5.已知4=(；",/,=(；),C=log3,r,則a,b,C的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

6.已知定義在&上的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),滿足/(x)>/'(x),且

/（0）=2,則不等式f（x）>2e，的解集為（)

A.(-00,0)B.(O、+8)C.(-00,2)D.(2,+oo)

7.已知函數(shù)“X)是定義在H上的奇函數(shù)，且/(x+4)=-/(x),當(dāng)xe[-2,0)時(shí),

F(x)=er,則/(2018)+〃2021)+/(2022)等于()

11

A.-B.C.—eD.?

ee

*i

2xY<0

8.已知函數(shù)〃x)=<,'一，若|"x)|Nar,則a的取值范圍是()

ln(x+l),x>0

A.B.(□/]C.[-2,1]D.[-2,0]

二、多選題

9.己知函數(shù)=x+f]-:的定義域?yàn)榭?,〃]（“<〃），值域?yàn)橐籙

V3J4L24

則〃一〃?的值可能是（）

5兀17t3兀11乃

A.B.—C.—D.——

1212412

10.己知x>y>0,卜列不等式成立的是（)

Inx12B.：凸身23

A.—十—>4

3InxX+1

11

c.x+—>y+—八yy+4

y-Xxx+4

11.對(duì)于函數(shù)“xbiVtaeR）,下列判斷正確的是（）

1+因

A./（-X+1）+/（X-1）=O

B.當(dāng)〃"（0,1）時(shí)，方程/（x）=m有唯一實(shí)數(shù)解

C.函數(shù)/（X）的值域?yàn)椋?，+°°）

D.V為RK,-v*<-<>0

%一工2

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/（一x）+/（x）=x。且當(dāng)xMO時(shí),f（x）<x.

己知存在且七為函數(shù)

g(x)=e'-JEx-a(。eRe為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可能是

()

A.—B.—C.-D.Je

222V

三、填空題

13.己知tana=2,貝i]cos(2a+/)=.

14.已知x>0,y>0,且x+3y=盯，若-+f<x+3y恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范

圍是________.

15.函數(shù)y=e'—在區(qū)間(0,3]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍是________

f/(x)J(x)Ng(x)

16.已知函數(shù)/(刈=/—ax+1,g(x)=3x—2,若函數(shù)F(x)=《有三

[g(X)J(X)<g(X)

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題

17.已知集合A={x|V-x-2>0},集合6={x|2x2+(2k+5)x+5k<o},&eR

(1)求集合8；

(2)若“xe5”是“xeA”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

:x+*)(a>0),且滿足

18.已知函數(shù)/(x)=asiii[2x---|-2cos

I6)

(I)求函數(shù)f(x)的解析式及最小正周期；

(II)若關(guān)于x的方程f(x)=l在區(qū)間上有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)，”的取值范闈.

從①〃x)的最大值為1，②/(x)的圖象與直線)，=一3的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于右

③/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(?,0).這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.

19.已知。，夕e(0,1)，且tan(a-0=g,tan/7=-y

求：(1)求tana的值.

(2)求的角2a-/7

20.設(shè)函數(shù)/(.即=。/+(/?-2)x+3

14

(1)若f(l)=3,且a>0,〃>0,求一+7的最小值；

ab

(2)若/'(1)=2,且/(x)>2在(—1,1)上恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

21.設(shè)。，beR.函數(shù)/(x)=lnx-ar,g(x)=-.

X

(I)若/(x)=lnx—ar與8(*)=彳有公共點(diǎn)P(l,/〃)，且在P點(diǎn)處切線相同，求該

切線方程；

(II)若函數(shù)/(X)有極值但無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(III)當(dāng)a>0,b=l時(shí),求尸(x)=/(x)—g(x)在區(qū)間口,2]的最小值.

22.已知函數(shù)/(xXx'-Bx'Q-Ox,/'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，其中feR.

(1)當(dāng)/=2時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若方程〃x)=0有三個(gè)互不相同的根0,a,夕，其中。<夕.

①是否存在實(shí)數(shù)f,使得工乎=/儂成立？若存在，求出r的值：若不存在，說(shuō)明

理由.

②若對(duì)任意的xe[a，切，不等式〃x)K16-，恒成立，求f的取值范圍.

參考答案

1.c

【分析】

解不等式化簡(jiǎn)集合A5,再進(jìn)行并集運(yùn)算，即可得答案；

【詳解】

A={x1g(x-2)<1}={x[2<x<12},8={4二-2x-3<o}={x|-l<x<3},

/.AU5=(T,12),

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查解不等式及集合的并運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【分析】

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理結(jié)合/(1)<0、/(2)>0,即可得解.

【詳解】

2

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx-7+l在(0,+a)上單調(diào)遞增，

22

且/(l)=lnl-[+l=-l<0,/(2)=lii2--+l=lii2>0,

所以函數(shù)〃刈的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(1,2).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本即考查了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)期.

3.A

【分析】

首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在x=/r處的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖

象.

【詳解】

因?yàn)?(x)=ACOSx+sinx,則f(―A)=—xcosx—sinx=—/(x),

即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,

據(jù)此可知選項(xiàng)。錯(cuò)誤;

且x=;r時(shí)，y=^cos^+sin^=-^<0,據(jù)此可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以卜方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置：從函數(shù)的

值域，判斷圖象的上下位置.（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì).（3）從函數(shù)的奇偶

性，判斷圖象的對(duì)稱性.（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、

篩選選項(xiàng).

4.D

【分析】

沒(méi)丫=女匕目3-^,利用當(dāng)v=l/〃/s時(shí)，鞋魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為900求出k后可計(jì)算

3100

v=2m/s時(shí)鞋魚(yú)耗氧量的單位數(shù).

【詳解】

設(shè)丫=女1。83^^，因?yàn)関=b〃/s時(shí)，。=900,Hil=klog3=2k,

所以k=L,故v=2m/s時(shí)，2=Log、2即0=8100.

225100

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用，解題時(shí)注意利用已知的公式來(lái)求解，本題為基礎(chǔ)題.

5.D

【分析】

容易得出《戶,從而得出。，b.C的大小關(guān)系.

【詳解】

,?*?

由題得（1）3<（；戶<（g）°=lJog/>1嗎3=1；

..c>b>a■

故選：O.

【點(diǎn)睛】

本期主要考查幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握

水平，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

分析：先構(gòu)造函數(shù)g(x)=綽，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.

e

詳解：令g(x)=4?,因?yàn)間'(x)=/(""')<0,g(0)=2

ee

所以/(x)>2e'=g(x)>g(0)=>x<0

因此解集為(一8,0),

選A.

點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而時(shí)應(yīng)函數(shù)需要

構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如r(x)</(X)構(gòu)造g(x)=/段，

e

_f(x)+/(x)<0構(gòu)造g(x)=e了(x),xf\x)<f(x)構(gòu)造g(x)=區(qū)2.W)+/(x)<0

X

構(gòu)造g(x)=xf{x}等

7.A

【分析】

根據(jù)函數(shù)滿足f(x+4)=-〃x),得到函數(shù)/(x)的周期是8,再由x4-2,0)時(shí)，

f(x)=ex,且函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，將/(2018)+/(2021)+/(2022)轉(zhuǎn)

化求解.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)滿足/(x+4)=-〃x),

所以/(x+8)=-f(x+4)=/(x),

所以函數(shù)/(x)的周期是8,

又當(dāng)xe[-2,0)時(shí)，f(x)=ex,且函數(shù)〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以〃2018)+/(2021)+/(2022),

=/(2)+/(5)+/(6),

=/(2)-/(1)-/(2),

=/(-!)---

e

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【分析】

作出函數(shù)y=|/(x)|的圖像，和函數(shù)y=M的圖像，結(jié)合圖像可知直線＞'=?介于/與x軸

之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線/的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

由題意可作出函數(shù)y=/(x)|的圖像，和函數(shù)y=?的圖像.

由圖像可知：函數(shù))'=依的圖像是過(guò)原點(diǎn)的直線，

當(dāng)直線介于/與工軸之間符合題意，

直線/為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)y=|/(x)|在第二象限的部分的解析式為

y=x2-2x,

求其導(dǎo)數(shù)可得y'=2x-2,因?yàn)閄WO,故y'4-2,

故直線/的斜率為-2，

故只需直線y=4*的斜率。c[-2,O].

故選：D

【點(diǎn)睛】

本眶考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.

9.AB

【分析】

把函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，由正弦函數(shù)性質(zhì)確定機(jī),〃的可能值.

【詳解】

f(x)=sinx?sin(x+g)一:=sinx(sinxcosy+cosxsiny)-

1-2V3.1G「1,1c巴

=—sinx+——sinxcosx——=——sinlx——cos2x=—sm(2x)，

224442'6，

由一』wLsm(2x-2)K」得一1Wsm(2x-2)，

226462

由周期性，在一個(gè)周期內(nèi)有2〃----=—,H=—,--------<2m——<-----,<m<----,

66666226

7Z24

??一K〃-"7V---,

33

只有A、8滿足.

故選：AB.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的值域問(wèn)題，解題方法是把函數(shù)化為y=4sin(ox+e)形式，然后結(jié)合正

弦函數(shù)性質(zhì)求解.

10.BCD

【分析】

舉反例判斷A選項(xiàng)錯(cuò)誤：分離常數(shù)并利用基本不等式判斷B選項(xiàng)正確：利用不等式的性質(zhì)

判斷C、D選項(xiàng)正確.

【詳解】

[1]G12r7

A選項(xiàng)，令X=-，得————=--<4,故A不成立；

e3-Ine3

B選項(xiàng)，因?yàn)閤+l>0.

C-...xz+3x+3(x+ir+(x+l)+lIIIcT

所以-----：————~：——'—=(x+l)+——+l>2J(x+l)——+1=3-B正

x+1x+1x+1Vx+1

確；

c1111

C選項(xiàng)，因?yàn)閤>y>。，則一>一,所以x*i—>>>■<?—,C正確；

yxyx

D選項(xiàng)，因?yàn)閤>y>0,所以4.x+w>4y+xy即x(y+4)>y(x+4),

,、x(y+4)y(x+4)vv+4

因?yàn)?x+4)x>0,所以/,八/>9~~~片■即上——，D正確.

''(x+4)x(x+4)xxx+4

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的性質(zhì)、基本不等式，屬于中檔題.

11.ABD

【分析】

先根據(jù)奇函數(shù)的定義證得函數(shù)為奇函數(shù)，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得單調(diào)性及值域，逐

項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

解：+=+=0,故/(X)為奇函數(shù)，對(duì)于A,令f=x-l,即

/H)+/(O=o,正確，故A正確：

X1

當(dāng)x>0時(shí)，/(*)=----=1-------->

1+x1+x

.??/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又"0)=0，=且/(x)是奇函數(shù)，

??.“X)的值域?yàn)?一1,1).

.?J(X)的單調(diào)增區(qū)間為(YO,y).

故B正確，C錯(cuò)誤，

???/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(-00,田)，故Vxrx,,/(*)+'(三)〉0正確D正確；

占一公

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本^考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性值域等性質(zhì)，屬于中檔題.

12.BCD

【分析】

構(gòu)造函數(shù)函數(shù)7(x)=f(x)-g.p,利用定義可知，T(x)為奇函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可知T(X),T(x)

在R上單調(diào)遞減.結(jié)合己知可得利用導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)g(x)在時(shí)單調(diào)遞減，根

據(jù)函數(shù)g(x)=e*—JZx-a在(-s,有一個(gè)零點(diǎn)求出手，+s，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可得答

案.

【詳解】

令函數(shù),因?yàn)?(-X)+f(X)=%2,

..T(x)+T(-x)=/(x)-1x2+/(-x)-：(-x)2=f(x)+f(-x)-x2=O,

22

T(x)為奇函數(shù),

當(dāng)x40時(shí)，r(x)=r(x)-x<0,

.T(x)在(y,0］上單調(diào)遞減，

.T(x)在R上單調(diào)遞減.

；存在％e{x17(x)》7(l-x)},

,7(x)))》7(l—x°)，x0Wl-X。，即x()W~，

vg(x)=e'-yfex-a；(x《!),

為函數(shù)y=g(x)的一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)xW；時(shí)，g'(x)=e'-無(wú)40,

.1?函數(shù)g(x)在xW1時(shí)單調(diào)遞減，

由選項(xiàng)知。>0,取x=-=<?,

又Tg=e丁>0,

要使g(x)在xW9時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),

2

只需使g(；)=&-g五-"W0,

解得碎立，

2

。的取值范圍為

2

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本意考查了由定義判斷函數(shù)的奇偶性，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,

考查了由函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

4

13.——

5

【分析】

利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式以及齊次式即可求解.

【詳解】

cos2a+—i=-sin2a=-2sinacosa=-2sinacosa

I2SHI2a+cos2a

一2tana-2x24

tan2a+122+15

4

故答案為：-2

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式以及齊次式求三角函數(shù)值，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)

題.

14.(-4,3).

【分析】

在等式x+3y=孫兩邊同時(shí)除以“，得到將代數(shù)式x+3)，和相乘'展開(kāi)

后利用基本不等式求出x+3y的最小值12,由題意得出產(chǎn)+/<(x+3y)1nm=12,解出該

不等式即可得出實(shí)數(shù)，的取值范圍.

【詳解】

31

vx>0,y>0,且x+3y=Ay,在等式*+3丫=孫兩邊同時(shí)除以得一+—=1,

Xy

由基本不等式得x+3y=(x+3y)(2+_L]=6+

12

(xy)

當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí)，等號(hào)成立，所以，x+3y的最小值為12,

由于不等式/+f<x+3y恒成立，則產(chǎn)+f<(x+3yL=12,即/+，一12<0，

解得-4<f<3,因此，實(shí)數(shù)，的取值范圍是(-4,3),故答案為(T,3).

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式處理不等式恒成立問(wèn)即，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法，在利用

基本不等式求最值時(shí)，要?jiǎng)?chuàng)造出定值條件，并對(duì)代數(shù)式進(jìn)行配湊，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，

屬于中等題.

(eJl

15.C,—

<3_

【解析】

試題分析：由題意得y=e"-mx=0,得”?=乙，設(shè)

/(x)=—=>f'(x)=?可得〃x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增：在區(qū)

XX"X"

間(0,1)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)/(X)取得極小值，同時(shí)也是最小值/(l)=e,

因?yàn)楫?dāng)XT0時(shí)，/(x)->+8,當(dāng)x=3時(shí)，/(3)=y,所以要使得函數(shù))，=-一〃優(yōu)在

3

區(qū)間(0,3］上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)川的取值范闈是e<〃?<e

3

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值(最值).

【分析】

當(dāng)兇)時(shí)，函數(shù)人刈在R上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)至多兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.當(dāng)”>0時(shí)，根據(jù)圖

像可知：當(dāng)貝J|jNO時(shí)，所以F(x)至多兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)K欄)VO,即0>時(shí),

列式八|)<0或者，

可解得結(jié)果.

【詳解】

易得/Xx)=3.F—a.

當(dāng)吧)時(shí)，f\x)>0,函數(shù)Kx)在R上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)至多兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.

當(dāng)。>0時(shí)，令/(x)=3x2—。=0,解得x=±J；

由f'(x)>0,得x<或x〉C，由/(x)<0,得_仁-<福

所以函數(shù)在(-8,—,+8)上單調(diào)遞增，在(一)上單調(diào)遞減,

在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)/(X),g(X)的圖像，根據(jù)圖像可知:

當(dāng)人)2。時(shí)，所以尸(x)至多兩個(gè)零點(diǎn);

22即a>至或士<aW土4

即(§)，一針+1<0或《解得

18318

又,〉逑且逑>匕所以八逑.

2232

故答案為:

本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

零點(diǎn)，屬于中檔題.

17.(1)當(dāng)人>?時(shí)，8=(-*，-：)：當(dāng)&=：時(shí)，5=0：當(dāng)時(shí)，B=；

(2)k>l.

【分析】

(1)分類(lèi)討論解不等式可得集合8：

(2)求解集合A,根據(jù)充分不必要條件與集合包含之間的關(guān)系可求解.

【詳解】

(1)2x2+(2k+5)x+5k<0,則(2x+5)(x+k)<0,

:?k>—時(shí)，一k<x<—,火=二時(shí)，不等式無(wú)實(shí)解，當(dāng)&<二時(shí)，一二<x<—k.

22222

?時(shí)，5=(—k,—/)：當(dāng)k=j時(shí)，6=0：當(dāng)后</時(shí)，8=(—5，—女)：

(2)由已知A={x|x<-1或x>2}

若“xw6”是“xeA”的充分不必要條件，則

kN*時(shí)，顯然滿足&時(shí)，-kW-l，：.—k〈).

222

綜上

【點(diǎn)睛】

本題考查解一元二次不等式，考查由充分不必要條件與集合包含之間的關(guān)系求參數(shù)范圍.屬

于基礎(chǔ)題.解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)注意分類(lèi)討論.

、兀4乃7兀、

18.滿足①或②或③；(I)/(x)=2sm2x-----1，最小正周期為產(chǎn)；(II)

6

【分析】

(I)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)y=f(x)的解析式，根據(jù)①或②或③中的條件求得

可得出；

a=lf(x)=2sii2x/-1,利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正

周期；

川)令/(x)=l,得sm(2x-3)=1,解得x=：+k/r,k&Z,可得出方程〃x)=l

在區(qū)間［0*6］上的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】

(I)函數(shù)/(x)=asin(2x-?卜2cos二1+')

n

=asin2x--+sin2x---1

66)

=m+i)sm2f1,

若滿足①〃x)的最大值為1,則。+1=2,解得a=l.

所以〃x)=2sin；2x-3卜1，則函數(shù)〃x)的最小正周期為了二年

(II)令f(x)=l,得sin(2x-3

=1,

解得2x-2=2+2女萬(wàn)，keZ,即》=2+*乃，keZ：

623

若關(guān)于x的方程〃x)=l在區(qū)間[0,問(wèn)上有兩個(gè)不同解，則x=g或f:

4萬(wàn)上］

所以實(shí)數(shù)，”的取值范圍是T'Tj

若滿足②，f(x)的圖象與直線y=-3的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于兀,

且/(x)的最小正周期為T(mén)=g=”，所以一(。+1)-1=-3,解得。=1：

以卜解法均相同.

若滿足③，〃x)的圖象過(guò)點(diǎn)(，)，則dV=(a+l)sm/l=0,解得《=1：

以卜,解法均相同.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了利用正弦型函數(shù)方程的根

的個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

19.(1)—；(2)2a—(3=---.

34

【分析】

(1)tana=tan[(a—夕)+〃],利用兩角和的正切公式展開(kāi)即可求解.

(2)根據(jù)tana的值先求tan2a值，再求tan(2a-/7)的值，再利用2a一尸的范圍即可求

解.

【詳解】

tan(a-77)+tan夕

(1)taila=taii[(a-P)^P\-

1-tan(a-/?)-taii>0

-2”tana2x-?3

(2)tanzct=-----；-=-------

laira呢、-4

一3+一1

tan(2atan(2a)-tan夕_47

Ma-)-i+tan2ata"一,(3]1一1

?；tana=；e（0,1）且ae（0,幻二ae10,?卜.2ae[0,/j

Vtan/7=-3€（-1,0）且Z?e（0,乃）（彳，不）/.~Pe（-%,一~—

2a一0e1一乃,一工la-p——

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角和與差的正切公式，以及正切的二倍角公式，考查了給值求值、給值求

角題型，屬于中檔題.

9

20.（1）-I（2）[-1,1].

【分析】

（1）由/（1）=3可得a+b=2,再利用基本不等式中乘“1”法的應(yīng)用計(jì)算可得：

（2）依題意可得。+占=1,即。/一（。+1〉+1>0在（-1,1）上恒成立，等價(jià)于是不

等式8（》）=（依一1）（》-1）>0解集的子集，再對(duì)參數(shù)〃分類(lèi)討論，分別計(jì)算可得；

【詳解】

解：（1）函數(shù)/（乃=公^+儂一？）*+?,由/（1）=。+6-2+3=3,可得a+〃=2,所

h4a24

當(dāng)巳=；時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)閍+b=2，a>0,b>0,解得“=士，力=工時(shí)等號(hào)成立,

ab33

149

此時(shí)一+的最小值是一.

ab2

(2)由/(I)=a+b-2+3=2,即a+Z?=l,

又由ar2+(b-2)x+3>2在(-1,1)上恒成立，即ax,-(a+l)x+1>0在(-1,1)上恒成立,

等價(jià)于(-1,1)是不等式g(x)=(ax-l)(x-l)>0解集的子集，

①當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為(《』)，滿足題意；

②當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為(5.1),則1,解得故有一lWa<0：

③當(dāng)0<aKl時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為(-8,1)=(+8),滿足題意；

④當(dāng)。>1時(shí)，即：<1時(shí)，不等式的解集為(口,^)11(1,+8)，不滿足題意，(舍去)，

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-L1].

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，以及不等式恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.

-a-lj0<?<1112+—|

21.(1)x-2y-2=0(2)a>-(3)F(x)=｛,..

e1(1A

1112--a>ln2+yI

【詳解】

試題分析：(1)利用切線的幾何意義求切線的斜率；(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合

極值，只需極小值大于0或極大值小于。即可求出：(3)利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性及極

值，再結(jié)合定義域分析函數(shù)再區(qū)間上的最小值.

r(l)=g'(l)\-a=-b

試題解析：(【)由｛,,；，,得｛.

/(l)=g(l)-a=b

1

U----

???{21;

b=--

2

(i\1i

在點(diǎn)PL-彳的切線方程為y+-=—(x-1).即x-2y-2=0.

k2/22

(11)當(dāng)a40時(shí)，由r(x)=9—a>0恒成立，可知函數(shù)〃x)在定義域(O,+8)單調(diào)遞

X

增，此時(shí)無(wú)極值.

當(dāng)々>0時(shí)，由/'(工)=!一4=0得x=1>0：由/'(x)=L-a>0得xw[

xax\aJ

<0得x￡(：,一).

于是，X=—為極大值點(diǎn)，且/max(x)=/]7)=—Inn—1.

由于函數(shù)〃X)無(wú)零點(diǎn)，因此鼠(工)=/(5)=-11工一1<0,解得a〉;

(III)不妨設(shè)/(x)=ll以一—1得尸'(X)=L-4+1T=G1).

XXX-X-

設(shè)人(x)=cur-x-1,?/a>0,.?.△=1+4a>0

設(shè)〃(x)=0的兩根為用,x,：且由/.乂=一一＜0得玉＜0,占＞0且

a

1+Jl+4a

居=:

2a

???尸(x)=—-----可-----」

X'

當(dāng)尸'(x)=0時(shí)x=&：

當(dāng)尸'(》)>0時(shí)，x2>x>0；

當(dāng)尸'(x)<0時(shí)，x>x2.

??/(x)在(0,毛］遞增，［毛,+8)遞減.

_L<i

①當(dāng)0<&?1時(shí)，即｛2a解得心2時(shí)，［1,2仁值,”)，尸(x)在［1,2］遞減；

A(l)>0

.?.尸(工)3=尸(2)=必2—；一2a.

②當(dāng)占22時(shí)，即6(2)40解得0<。4：時(shí)，［1,2］=0,可，尸(x)在［1,2］遞增：

???尸("nun=/(1)=-。-「

③當(dāng)1<七<2時(shí)，即［〈avZ時(shí)，尸(x)在［16］遞增，卜,2］遞減；

.".F(2)-F(l)=ln2-；-2a+a+l=ln2+；-a.

(i)當(dāng)1112+^4“<2時(shí)，F(xiàn)(2)<F(1),

.-.F(x)mn=F(2)=hi2-1-2?.

(ii)當(dāng)(<a<ln2+1■時(shí)，尸(2)>/⑴，

?■-F(xL=F(1)=-?-i-

綜合①、②