平面向量及加減運(yùn)算【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級 下冊重難點(diǎn)突破（含答案解析）

核心考點(diǎn)06平面向量及加減運(yùn)算目錄考點(diǎn)一：平面向量考點(diǎn)二：平面向量的加法考點(diǎn)三：平面向量的減法考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向1.平面向量2.平面向量的運(yùn)算考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：平面向量考點(diǎn)精講一、單選題1．（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①任一向量與它的相反向量都不相等；②長度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|；⑤兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】根據(jù)相等向量的概念逐一判斷可得選項(xiàng).解：零向量與它的相反向量相等，①錯(cuò)；由相等向量的定義知，②正確；兩個(gè)向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③錯(cuò)；a≠b，可能兩個(gè)向量模相等而方向不同，④錯(cuò)；兩個(gè)向量相等，是指它們方向相同，大小相等，向量可以在空間自由移動，故起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，⑤錯(cuò).所以正確的命題的個(gè)數(shù)為1，故選：B.2．（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）下列各量中是向量的是（

）A．時(shí)間 B．速度 C．面積 D．長度【答案】B【詳解】根據(jù)向量的概念進(jìn)行判斷即可.解：既有大小，又有方向的量叫做向量；時(shí)間、面積、長度只有大小沒有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故選：．此題是個(gè)基礎(chǔ)題，本題的考點(diǎn)是向量的概念，純粹考查了定義的內(nèi)容．注意數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活之間的聯(lián)系．3．（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）在下列說法中正確的有（

）①在物理學(xué)中，作用力與反作用力是一對共線向量；②溫度有零上溫度和零下溫度，因此溫度也是向量；③方向?yàn)槟掀鞯南蛄颗c北偏東的向量是共線向量

；④平面上的數(shù)軸都是向量.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【詳解】利用向量的定義可判斷②④的正誤，利用共線向量的定義可判斷①③的正誤.解：既有大小，又有方向的量統(tǒng)稱為向量，結(jié)合向量的定義可知僅有②④錯(cuò)誤，結(jié)合向量的概念以及共線向量的定義可知①③正確，故選：B.4．（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量②零向量沒有方向③向量的模一定是正數(shù)

④非零向量的單位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.①錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量．②錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的．③錯(cuò)誤，④錯(cuò)誤，非零向量的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)與反向．故選：A.5．（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）如果，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】B【詳解】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義．長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由，可知四邊形是平行四邊形，根據(jù)相等向量的定義即可作出判斷．解：，四邊形是平行四邊形，A.長度相等，方向相反，不相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.長度相等且方向相同，相等，正確；C.長度不一定相等，方向不同，不相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.長度不一定相等，方向不同，不相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．6．（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線段能表示的不同向量有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【詳解】本題考查了相等向量的定義，向量的幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．本題考查了相等向量的定義，向量的幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．可畫出圖形，然后寫出以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線段能表示的不同向量，然后即可得出正確的選項(xiàng)．解：如圖，以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線段能表示的不同向量為：，共個(gè)．故選：7．（2022春·上海·八年級期末）如果，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．與是相等向量C．與是相反向量 D．與是平行向量【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以判定四邊形是平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)和相等向量、平行向量的定義作出判斷．【詳解】解：，，．四邊形是平行四邊形．A、當(dāng)平行四邊形是矩形時(shí)，該結(jié)論才成立，故不符合題意．B、由四邊形是平行四邊形得到：，且，則與是相等向量，故符合題意．C、如圖所示，與不是相反向量，故不符合題意．D、如圖所示，與不是平行向量，故不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判定四邊形是平行四邊形．二、解答題8．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，、、分別為等邊三角形的邊、、的中點(diǎn)，在以、、、、、為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，求出與平行的向量．【答案】與平行的向量有、、、、、．【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)和平行向量的定義即可寫出與平行的向量.【詳解】解：∵、分別為等邊三角形的邊、的中點(diǎn)，∴EF∥BC∴與平行的向量有、、、、、．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)和平行向量，掌握三角形的中位線平行于第三邊和平行向量的定義是解決此題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二：平面向量的加法一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）化簡（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由向量加法法則，求即可.，故選：C2．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）式子化簡結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.由.故選：B.3．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）點(diǎn)是平行四邊形的兩條對角線的交點(diǎn)，等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)幾何圖形，結(jié)合向量線性運(yùn)算的幾何含義，即可知所表示的向量.由題意，如上圖示，又，∴.故選：A4．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖是平行四邊形，則在向量（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，進(jìn)而根據(jù)向量加法的三角形法則求解即可.解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，，所以故選：D5．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，已知向量，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)向量加法的三角形法則，向量首尾順次相連，所以根據(jù)圖形可知，與向量反向且相等，所以.故選擇B.6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在正六邊形中，等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)相等向量和向量加法運(yùn)算直接計(jì)算即可.，.故選：A.7．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┮阎叫蔚倪呴L為1，設(shè)，那么的模為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】先得出，然后計(jì)算其模即可．【詳解】解：在正方形中，，，則由勾股定理，得．所以．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識，先計(jì)算出是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在平行四邊形中，設(shè)，，點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn)，那么向量可以表示為（

）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及三角形法則計(jì)算即可．【詳解】解：∵ABCD為平行四邊形，∴∴∴故答案選:A【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．二、解答題9．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：如圖，在等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，設(shè)，．（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）（2）在圖中求作．（不要求寫出作法，只需寫出結(jié)論即可）【答案】（1）；；（或）；（2）圖見解析，．【分析】（1）利用即可求出,首先根據(jù)已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出；（2）首先根據(jù)已知可知，然后利用三角形法則即可求出．【詳解】（1）．∵，，∴，∴．；（2）作圖如下：∵，為的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算，掌握向量的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知向量、

求作：．【答案】見解析【分析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，分別作出，，利用向量運(yùn)算的平行四邊形法則即可得到答案．【詳解】解：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，作，則即為所求．如下圖．

【點(diǎn)睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一點(diǎn)，先分別作出與基底共線的向量，再利用向量加法的平行四邊形法則作出和向量．考點(diǎn)三：平面向量的減法一、單選題1．（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在梯形中，AD∥BC，向量（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：由題意可知，，故選：．根據(jù)向量減法的三角形法則可得答案．本題主要考查的是向量的減法及其幾何意義，掌握向量減法的三角形法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)校考期中）計(jì)算：______．【答案】【分析】根據(jù)平面向量的加減法計(jì)算即可．【詳解】解：=，=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的加減法計(jì)算法則．3．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）已知在平行四邊形ABCD中，設(shè)，,那么用向量、表示向量=_____．【答案】【分析】由在平行四邊形ABCD中，可得，即可得，又有，即可求得答案．【詳解】如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，故答案是：.【點(diǎn)睛】考查了平面向量的知識與平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題4．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求AE的長；（2）設(shè)，，求向量（用向量、表示）．【答案】（1）4；（2）.【分析】（1）由平行線截線段成比例求得AE的長度；（2）利用平面向量的三角形法則解答．【詳解】（1）如圖，∵DE∥BC，且DE=BC，∴．又AC=6，∴AE=4．（2）∵，，∴．又DE∥BC，DE=BC，∴【點(diǎn)睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法則和平行向量的定義．5．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知向量，（如圖），請用向量的加法的平行四邊形法則作向量（不寫作法，畫出圖形）【答案】見解析.【分析】利用向量的加法的平行四邊形法則即可解決問題．【詳解】如圖:即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的加法的平行四邊形法則，屬于中考常考題型．6．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）一條漁船距對岸4km，以2km/h速度向垂直于對岸的方向劃去，到達(dá)對岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速.【答案】【分析】由題意知，由勾股定理求出水流的距離，然后求解河水的流速.【詳解】解：如圖，設(shè)表示船垂直于對岸的速度，表示水流的速度，則由，就是漁船實(shí)際航行的速度，航行的時(shí)間為在中，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在物理中的應(yīng)用，直角三角形以及勾股定理模型的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.7．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB．(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)如果AD＝1，請直接寫出向量和向量的模．【答案】(1)∠ACB＝90°；(2)模分別為1和2．【分析】（1）證明四邊形ABCD是等腰梯形即可解決問題；（2）求出線段CD、AB的長度即可；【詳解】(1)∵CD∥AB，AD＝BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB＝∠B＝60°，∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴∠B+∠CAB＝90°，∴∠ACB＝90°．(2)∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝BC＝1，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝2，∵，∴向量和向量的模分別為1和2．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、等腰梯形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．鞏固鞏固提升一．選擇題（共11小題）1．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）以下描述和的關(guān)系不正確的是（）A．方向相反 B．模相等 C．平行 D．相等．【分析】利用單位向量的定義和性質(zhì)直接判斷即可．【解答】解：A、和的關(guān)系是方向相反，正確；B、和的關(guān)系是模相等，正確；C、和的關(guān)系是平行，正確；D、和的關(guān)系不相等，錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)評】此題考查平面向量問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意單位向量、零向量、共線向量的定義和的性質(zhì)的合理運(yùn)用．2．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）下列關(guān)于向量的運(yùn)算，正確的是（）A． B． C． D．【分析】由三角形法則直接求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、＝+＝，故本選項(xiàng)正確；B、﹣＝，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識．注意掌握三角形法則的應(yīng)用．3．（2022春?靜安區(qū)期中）如果是非零向量，那么下列等式正確的是（）A．＝ B．＝ C．+＝0 D．+＝0【分析】長度不為0的向量叫做非零向量，本題根據(jù)向量的長度及方向易得結(jié)果．【解答】解：∵是非零向量，∴||＝||．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是非零向量的長度及方向的性質(zhì)，注意熟練掌握平面向量這一概念．4．（2022春?虹口區(qū)校級月考）已知正方形ABCD的邊長為1，設(shè)，那么的模為（）A． B． C． D．2【分析】先得出，然后計(jì)算其模即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝1，∠B＝90°，則由勾股定理，得AC＝＝．所以＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的知識，先計(jì)算出是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022春?閔行區(qū)校級期末）平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，設(shè)＝，＝，下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)與三角形法則求出即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝DO．∵＝，∴＝＝，∵＝，∴＝+＝+，∴．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平面向量，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．（2022春?閔行區(qū)校級月考）下列等式正確的是（）A．+＝+ B．﹣＝ C．++＝ D．+﹣＝【分析】根據(jù)三角形法則即可判斷；【解答】解：∵+＝，∴+﹣＝﹣＝，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的三角形法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考常考題型．7．（2022春?青浦區(qū)校級期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AB∥DE，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．與是相等向量 B．+＝0 C．與是相反向量 D．與是平行向量【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，即可得AC＝BD，然后根據(jù)相等向量與相反向量，以及平行向量的定義，即可求得答案．【解答】解：A、AB＝CD，但AB不平行于CD，在與是不相等的向量，故本選項(xiàng)不符合題意；B、+＝，故本選項(xiàng)不符合題意；C、與方向相反，但AD≠BC，則與不是相反向量，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由AD∥CE知，與是平行向量，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是熟記相等向量與相反向量，以及平行向量的定義．8．（2022春?長寧區(qū)校級期末）下列等式中錯(cuò)誤的是（）A．+＝ B．+＝+＝ C．+（﹣）＝0 D．（）+＝（）+【分析】根據(jù)平面向量的加法法則一一判斷即可．【解答】解：A、+＝，正確．本選項(xiàng)不符合題意；B、+＝+＝，正確．本選項(xiàng)不符合題意；C、+＝，錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意；D、（+）+＝（+）+，正確，本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的加法法則，屬于中考?？碱}型．9．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知，非零向量，且|+|＝||+||，則一定有（）A．＝ B．∥，且，方向相同 C．＝﹣ D．∥，且，方向相反【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用平方法進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵，非零向量，且|+|＝||+||，∴平方得||2+||2+2?＝||2+||2+2||?||，即?＝||?||，∴||?||cos＜，＞＝||?||，則cos＜，＞＝1，即∥，且，方向相同．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用平方法是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)O是對角線AC與BD的交點(diǎn)．下列四種說法：①向量與向量是相等的向量；②向量與向量是互為相反的向量；③向量與向量是相等的向量；④向量與向量是平行向量．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4．【分析】利用矩形的性質(zhì)，相等向量，平行向量的定義一一判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，∴①向量與向量是相等的向量，正確．②向量與向量是互為相反的向量，正確．③向量與向量是相等的向量，錯(cuò)誤．④向量與向量是平行向量，正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平面向量，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．11．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）在?ABCD中，+等于（）A． B． C． D．【分析】利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)和共線向量的性質(zhì)得到＝，然后在△ABC中，利用三角形法則解答．【解答】解：在?ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴＝．∴+＝+＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量和平行四邊形的性質(zhì)，利用“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質(zhì)推知＝是解題的突破口．二．填空題（共7小題）12．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如果||＝5，||＝3，則||的取值范圍是2≤||≤8．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析求解．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得5﹣3＜||＜5+3，即2＜||＜8．當(dāng)向量與向量共線時(shí)，2≤||≤8．故答案為：2≤||≤8．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量和三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．13．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如果在平行四邊形ABCD中，如果＝，＝，那么向量為．（用和表示）【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則即可寫出答案．【解答】解：如圖，＝+＝．故答案是：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量加減法的集合意義，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則＝．【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)作答．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴＝﹣．∴＝．故答案是：．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向．15．（2022春?閔行區(qū)校級月考）計(jì)算：＝．【分析】由三角形法則，即可求得的值，繼而即可求得的值．【解答】解：＝+＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識．解題的關(guān)鍵是注意三角形法則的應(yīng)用與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．（2022春?靜安區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O．已知，，那么＝﹣（用含有、的式子表示）．【分析】利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)和共線向量的性質(zhì)推知＝；然后利用三角形法則求得；最后再次利用共線向量的性質(zhì)解答．【解答】解：在平行四邊形