線性代數(shù)研究型綜合型應(yīng)用型題目樣本

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除?！毒€性代數(shù)與空間解析幾何》研究型、應(yīng)用型、綜合型題目1.一般的數(shù)字可看作零維數(shù)組,向量可看作一維數(shù)組,矩陣可看作二維數(shù)組,那么三維數(shù)組能作為一個(gè)代數(shù)概念來(lái)看待嗎?其相應(yīng)運(yùn)算如何定義?變換如何執(zhí)行?有何應(yīng)用?提示:可參照矩陣的運(yùn)算作相應(yīng)的定義。2.類似于行列式的定義我們定義新的代數(shù)概念如下:一階:二階:三階:………………類似地可對(duì)n階的情況給出定義。請(qǐng)問(wèn)這一個(gè)新的代數(shù)概念,其性質(zhì)如何?有何應(yīng)用?提示:可類比行列式的性質(zhì)作相應(yīng)的討論。3.設(shè)方陣定義其中為元素在矩陣A中的余子式,試問(wèn)有什么性質(zhì)?提示:可類比伴隨矩陣作出討論。4.任意給定一個(gè)2階實(shí)矩陣,能否找出所有與A可交換相乘的矩陣?如果給定的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣,結(jié)論如何?提示:(1)根據(jù)可交換條件AB=BA作討論;(2)考慮A的特征值與相似對(duì)角化,將一般矩陣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)角矩陣來(lái)討論.5.設(shè)n階矩陣A的各行各列都只有一個(gè)元素是1或-1,其余均為0。是否存在正整數(shù)k,使得Ak=I?若是,請(qǐng)給出你的證明;若否,請(qǐng)舉出反例。提示:先觀察二、三階矩陣的情況;對(duì)一般矩陣,可考察A2,A3…的元素特點(diǎn),找到與A的關(guān)系。6.矩陣乘法是線性代數(shù)中的基本算法之一。對(duì)兩個(gè)n階矩陣其乘積計(jì)算往往需要次乘法和次加法,很長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)人們對(duì)此深信不疑。然而,1969年Strassen經(jīng)過(guò)對(duì)矩陣乘積元素之間的關(guān)系分析,構(gòu)造出了一種只需次乘法的矩陣相乘運(yùn)算。其原理是首先將階的矩陣和進(jìn)行2X2分塊:然后采用如下7次矩陣乘法和18次矩陣加法:,;,;,;.在上述計(jì)算中,對(duì)各子塊遞歸使用該Strassen算法,最后獲得矩陣。請(qǐng)仔細(xì)分析一下上述過(guò)程,獲得新型的矩陣乘法計(jì)算方案,使得計(jì)算總量更少。提示:利用分塊和遞歸技術(shù),并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理劃分。7.設(shè)A是n×n矩陣,則A可逆的充分必要條件是存在常數(shù)項(xiàng)不為0的多項(xiàng)式g(x),使得g(A)=0。提示:利用A的特征多項(xiàng)式證明。8.矩陣的Kronecker積是一種新的矩陣運(yùn)算,在信號(hào)傳輸預(yù)處理,自動(dòng)控制,規(guī)劃理論,圖像處理等工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。其定義如下:定義:設(shè)則稱為矩陣與的Kronecker積(或稱直積,張量積)。試證明Kronecker積滿足下面的幾個(gè)性質(zhì):;;;;;;提示:根據(jù)Kronecker積的定義和分塊矩陣的乘法證明。9.設(shè)階矩陣,其中表示的第i列。定義算符試經(jīng)過(guò)Kronecker積的定義和該算符將矩陣方程轉(zhuǎn)換成線性方程組的形式,其中,提示:利用Kronecker積和向量化算符將原方程轉(zhuǎn)換為:從而將原矩陣方程轉(zhuǎn)換為線性方程組,方便求解。10.對(duì)于同型矩陣,定義一種乘法運(yùn)算,使得任意都有并按照第一題的形式盡可能給出這種矩陣運(yùn)算的性質(zhì)。提示:驗(yàn)證Hadamard積交換律,分配率,結(jié)合律,推導(dǎo)其轉(zhuǎn)置運(yùn)算,逆運(yùn)算等性質(zhì)。11.(Cayley-Hamilton定理)若是的特征值,證明若可逆,經(jīng)過(guò)該式寫出的表示式。提示:利用伴隨矩陣的性質(zhì)及的特征多項(xiàng)式。12.行隨機(jī)矩陣是指矩陣的行和均等于1的非負(fù)矩陣,列隨機(jī)矩陣是指列和等于1的非負(fù)矩陣,而同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的非負(fù)矩陣就是雙隨機(jī)矩陣。請(qǐng)嘗試給出隨機(jī)矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用。13.(LU分解)設(shè)A是矩陣,我們能夠經(jīng)過(guò)初等行變換將A化為階梯形矩陣。由此證明:A能夠分解為(或)。其中L是一個(gè)對(duì)角線元素全為1的下三角矩陣,U是階梯形矩陣,P是一個(gè)m階置換矩陣(單位矩陣經(jīng)過(guò)若干次行交換得到的矩陣)。提示:(1)利用矩陣初等變換與初等矩陣的關(guān)系;(2)對(duì)矩陣的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法。14.利用矩陣的LU分解給出線性方程組的較為簡(jiǎn)便的求解方法。設(shè)A為4階方陣,且,請(qǐng)給出方程組解的公式。提示化為兩個(gè)容易求解的(三角形)方程組,逐層代入求解。15.求所有滿足的三階方陣。提示易得不等式,再分情況討論。16.設(shè)A是矩陣,則以A的列向量確定的平行四邊形的面積等于|detA|;設(shè)A是矩陣,則以A的列向量確定的平行六面體的體積等于|detA|。提示先討論對(duì)角形行列式,一般情況化為對(duì)角形。17.行列式的定義有兩種常見(jiàn)的方式:一種用排列的”逆序數(shù)”方式,一種用按行展開(kāi)的”歸納法”方式,請(qǐng)?zhí)角髢煞N方式的等價(jià)性,并給出你的證明。提示:可對(duì)行列式的階數(shù)用歸納法。18.關(guān)于矩陣行列式的計(jì)算有很多常見(jiàn)方法,例如:化三角形法、按行(列)展開(kāi)法、遞推法、拆元法以及利用線性代數(shù)方程組的解、利用方陣特征值與行列式的關(guān)系等等。請(qǐng)?jiān)囍鴮?duì)其歸納總結(jié),舉例說(shuō)明各種方法的適用情況并比較其優(yōu)劣。19.已知:(2)若,其中互不相等,令,則,。試?yán)蒙厦鎯蓚€(gè)結(jié)果推導(dǎo)下面行列式的計(jì)算公式:.提示:20.設(shè)(1)由數(shù)生成的范德蒙矩陣記為,即;(2)設(shè),令,,則矩陣稱為由實(shí)數(shù)生成的等冪和矩陣.試證明:(1)(2)實(shí)數(shù)僅有個(gè)互異的充要條件是提示:(1)利用矩陣乘積的定義容易得到證明;(2)利用結(jié)果(1)以及即可得到證明。21.矩陣分塊是處理階數(shù)較高的矩陣時(shí)常見(jiàn)的方法。我們把各子塊當(dāng)作數(shù)一樣處理,從而把高階矩陣轉(zhuǎn)換為了較低階的矩陣,以問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化。分塊矩陣的初等變換在線性代數(shù)中有非常廣泛的應(yīng)用。請(qǐng)參照教材中對(duì)一般矩陣初變換的概念給出分塊矩陣初等變換的定義,并討論分塊矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系。22.利用分塊矩陣初等變換的性質(zhì),證明下列等式:(2).提示:利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系,再取行列式。23.利用分塊矩陣的初等變換,證明下列等式:(1);(2);(3).24.設(shè)為階分塊矩陣,可逆,,證明:(1);(2).提示用初等變換把化為塊對(duì)角矩陣,再計(jì)算。25.設(shè)為階方陣,,且,若,求證:.提示:考察是否為0。26.我們知道,若階方陣滿足,則。試猜想,若階方陣滿足,則會(huì)滿足怎樣的不等式?請(qǐng)給出你的證明。提示對(duì)矩陣的個(gè)數(shù)作歸納。27.向量的數(shù)量積(內(nèi)積)和向量積(外積)是線性代數(shù)中的重要概念,在理論與應(yīng)用上都有及其重要的意義。教材中也給出了混合積的計(jì)算。請(qǐng)結(jié)合這些概念,給出三向量外積的計(jì)算公式,并試從幾何空間中對(duì)其意義進(jìn)行解釋。28.設(shè)空間兩條異面直線L1,L2分別為:,.L1與L2的距離的計(jì)算能夠有多種不同的方法。試給出空間兩條異面直線距離公式的各種形式及簡(jiǎn)略證明;(2)結(jié)合《微積分》中所學(xué)的函數(shù)最值問(wèn)題,以及《線性代數(shù)》中所學(xué)的知識(shí),如Crammer法則等,給出其它的計(jì)算方法。提示:可將該距離視為某平行四邊形的高或某平行六面體的高,也可將該距離視為滿足一定條件的點(diǎn)到直線的距離或兩點(diǎn)間的距離。29.線性方程組當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解。若需求出方程組的一個(gè)近似解,其最好的方法就是求x使Ax盡可能的接近b,即使盡可能小(最優(yōu)解)。試給出你的一個(gè)求解方法,并給出證明。提示:(1)在歐氏空間中,考慮取得最小值的等價(jià)敘述;(2)考慮方程組與之間的關(guān)系.30.矩陣的秩與向量組的秩有何異同?試討論它們的區(qū)別與聯(lián)系。提示:從兩者的定義與性質(zhì)方面作考慮。31.矩陣的等價(jià)與向量組的等價(jià)有何異同?試討論它們的區(qū)別與聯(lián)系。提示:同上題。32.設(shè),根據(jù)特征值定義證明:的特征值均滿足對(duì)某個(gè)k:即其中提示:對(duì)進(jìn)行不等式的放縮。33.設(shè)A是m×n矩陣,B是n×m矩陣,試討論AB的特征值與BA的特征值的關(guān)系。提示:(1)從兩矩陣的特征多項(xiàng)式是否相等作考慮;(2)從兩矩陣是否相似作考慮。34.試證:矩陣任一特征值的幾何重?cái)?shù)不超過(guò)其代數(shù)重?cái)?shù)。提示:將對(duì)應(yīng)的特征向量擴(kuò)展為空間的一組基,以該組基為矩陣對(duì)原矩陣作相似變換,再利用相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式可得。35.試證:實(shí)對(duì)稱矩陣任一特征值的幾何重?cái)?shù)都等于其代數(shù)重?cái)?shù)。提示:同上題;利用對(duì)稱性。36.設(shè)矩陣A與B相似或合同,你能用矩陣的初等變換給出由A計(jì)算B的方法嗎?若能請(qǐng)給出你的有效方法。提示:利用矩陣相似或合同的定義結(jié)合初等變換與初等矩陣的關(guān)系作思考。37.方陣在無(wú)零特征值時(shí),因而為滿秩矩陣,即。但已知零特征值的代數(shù)重?cái)?shù),卻無(wú)法利用它確定矩陣的秩,或在已知矩陣秩時(shí)也無(wú)法確定零特征值的代數(shù)重?cái)?shù)。試就矩陣零特征值代數(shù)重?cái)?shù)與矩陣的秩之間的關(guān)系做出些討論。提示:(1)從矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系方面做些討論;(2)根據(jù)矩陣的特征多項(xiàng)式的展開(kāi)式作些討論。38.提示:探求A的特征值與特征向量。39.提示:考察A的特征值以及對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)。40.設(shè)A為正定矩陣,則(1),這里是A的n-1階順序主子式;(2)提示:設(shè),易得。41.設(shè)階矩陣正定,證明:(1),,正定;(2),正定.提示:(1)利用正定矩陣的定義;(2)用合同變換把化為塊對(duì)角矩陣,再討論.42.設(shè)A,B,C為三角形的三內(nèi)角,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z,有提示:利用二次型的半正定性。43.設(shè)半正定矩陣,其中為方陣,則。提示:作合同變換將A化為塊對(duì)角形。44.設(shè)單位圓的坐標(biāo)向量為,為階正定矩陣,且,則以為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成什么圖形?寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程。提示:作正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型。45.(1)設(shè)是矩陣,且,,列舉矩陣的性質(zhì);(2)令,,,求向量,并分析向量與的位置關(guān)系;(3)令,,,求向量,并分析向量與的位置關(guān)系;(4)對(duì)于任意為向量,討論向量與的位置關(guān)系。提示:由正交變換的幾何意義作討論。46.設(shè)是n階可逆矩陣,則的列向量組可用Schmidt正交化方法化為與之等價(jià)的單位正交向量組。有此方法可得到矩陣的正交分解,即,其中是正交矩陣,是上三角矩陣。(1)請(qǐng)給出矩陣正交分解的嚴(yán)格證明;(2)利用正交分解給出計(jì)算的方法,并用C語(yǔ)言編程予以實(shí)現(xiàn).;分析這一算法與一般的初等行變換求逆算法的優(yōu)劣。47.我們知道,在二維空間中,旋轉(zhuǎn)能夠用一個(gè)單一的角定義。把笛卡爾坐標(biāo)的列向量關(guān)于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角的矩陣是。能否類似考察三維向量空間中的旋轉(zhuǎn)矩陣,并給出其在曲線、曲面理論中的應(yīng)用。48.旋轉(zhuǎn)曲面是日常生活、工程技術(shù)中常見(jiàn)的圖形。它能夠看作由一條空間曲線(稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線)繞某一定直線(稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸)旋轉(zhuǎn)一周而得到。課堂教學(xué)中,僅給出了坐標(biāo)面上的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面,未涉及到更一般的空間曲線繞空間直線旋轉(zhuǎn)的情況。對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面而言,母線上任一點(diǎn)的軌跡為中心在軸上的圓,它所在的平面與軸垂直。這樣,旋轉(zhuǎn)曲面又可看作是”中心在軸上移動(dòng)且與母線相交的平行圓所生成的”,能否以此為思路,根據(jù)平行圓的方程給出一般的旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法。提示:利用上面平行圓的思想以及空間空間曲線的方程、與軸垂直的條件列一個(gè)方程組,由方程組化簡(jiǎn)解得旋轉(zhuǎn)曲面方程。49.設(shè)100只昆蟲分布在有四個(gè)格子的密閉盒子內(nèi),格子間有如圖所示通道。每個(gè)格子的60%昆蟲經(jīng)過(guò)通道每分鐘離開(kāi)原來(lái)的格子,均勻的進(jìn)入和它相連的格子。若1分鐘后四個(gè)格子昆蟲數(shù)量分別為12,25,26和37,初始狀態(tài)各個(gè)格子多少只?提示:建立線性方程組求解。50.考察氨水氧化為二氧化碳的化學(xué)反應(yīng),反應(yīng)式為:求出表述此系統(tǒng)所需的最少獨(dú)立化學(xué)反應(yīng)式.提示:利用線性相關(guān)性劃去多余的方程.51.在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中,射彈的推動(dòng)力取決于在不同的速度下測(cè)量到的空氣阻力:速度t(100英尺／秒)0246810阻力p(100磅)02.9014.839.674.3119求這些數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式,而且估計(jì)射彈以750英尺／秒的速度飛行時(shí)的推動(dòng)力.使用如果嘗試使用次數(shù)小于5的多項(xiàng)式將會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題?試用3次多項(xiàng)式舉例說(shuō)明.提示:射彈的推動(dòng)力與空氣阻力相等。????600500400????600500400100300300NDCBANx5x4x3x2x1South街Pratt街Lombard街Calvert街圖1-2提示:考察每個(gè)街口的交通流量建立線性方程組。53.一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道,她在軌道平面內(nèi)建立以太陽(yáng)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系,在兩坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位(一天文單位為地球到太陽(yáng)的平均距離:1.4959787×1011x1x2x3x4x5X6x坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.4087.714y1y2y3y4y5y5y坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5263.3604.162由開(kāi)普勒第一定律知,小行星軌道為一橢圓.請(qǐng)建立小行星軌道的方程:,并確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),長(zhǎng)軸,短軸的長(zhǎng)度.提示:方程組無(wú)嚴(yán)格解,用題的方法求最優(yōu)解54.一種昆蟲按周齡分為三組,第一組為幼蟲(0-2周齡)不產(chǎn)卵;第二組為成蟲(2-4周齡),每個(gè)成蟲在兩周內(nèi)平均產(chǎn)卵100個(gè);第三組(4-6周齡)每個(gè)成蟲在兩周內(nèi)平均產(chǎn)卵150個(gè)。假設(shè)每個(gè)卵的成活率為0.09;第一、二組的昆蟲順利進(jìn)入下一成蟲組的存活率分別為0.1與0.2。六周后昆蟲自然死亡。(1)假設(shè)開(kāi)始時(shí)每個(gè)周齡的昆蟲數(shù)相同,計(jì)算2周、4周、6周后三組昆蟲數(shù)的分布。(2)討論三組昆蟲數(shù)的變化趨勢(shì),各周齡組的昆蟲數(shù)目變化的比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值?(3)如果有一種除蟲劑能夠控制昆蟲的數(shù)目,使得各組昆蟲的存活率減半,問(wèn)這種除蟲劑是否有效。提示以兩周為一個(gè)時(shí)間段,建立相鄰兩時(shí)間段不同組類昆蟲數(shù)量的關(guān)系式,求矩陣高次方冪時(shí)用相似對(duì)角化。55.伴性基因是一種位于染色體上的基因.例如,紅綠色盲基因是一種隱性的伴性基因.為給出一個(gè)描述給定的人群中色盲的數(shù)學(xué)模型,需要將人群分為兩類――男性和女性.令,分別為男性與女性中有色盲基因的比例,由于男性從母親處獲得一個(gè)染色體,且不從父親處獲得染色體,因此下一代的男性中色盲的比例將和上一代的女性中含有隱性色盲基因的比例相同.由于女性從雙親處分別得到一個(gè)染色體,因此下一代女性中含有隱形基因的比例將為和的平均值,寫出第代男性和女性中色盲的比例,并分析變化趨勢(shì).提示:先建立相鄰兩代男、女色盲比例的關(guān)系式,再作討論。求矩陣方冪時(shí)用