剛體的角動(dòng)量

設(shè)剛體繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，體元mi對(duì)軸的角動(dòng)量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量

Lz等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。

一、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量(Angularmomentum)riviOiz·mi§5-3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律1.注意：2.在剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的表達(dá)式中，所涉及的三個(gè)物理量都是相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的，所以不用寫(xiě)成矢量式。3.對(duì)于密度均勻、形狀對(duì)稱(chēng)、且繞幾何對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)的剛體。整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動(dòng)量L必定沿轉(zhuǎn)軸并與角速度的方向相同，故可寫(xiě)成矢量式1.與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量表達(dá)式對(duì)比2.二、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理將轉(zhuǎn)動(dòng)定理Mz=Ja

寫(xiě)成下面的形式:實(shí)驗(yàn)表明,此式更具普遍性。由上式得到

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率，等于剛體相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸所受外力的合力矩。3.角動(dòng)量定理也可以寫(xiě)為

Mz

dt稱(chēng)為沖量矩,等于力矩與力矩作用于剛體的時(shí)間的乘積。對(duì)上式積分得到角動(dòng)量定理的積分形式

該式表示：動(dòng)量的增量等于力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的時(shí)間累積效應(yīng)4.

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時(shí),剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量不隨時(shí)間變化。

剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改,角速度的大小也同時(shí)改變但兩者的乘積保持不變。恒量如果Mz=0,則三、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律5.注意：1.該定律的應(yīng)用條件，是剛體或剛體組必須滿(mǎn)足所受外力的合力矩為零；2.角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度必須相對(duì)同一軸；3.若將該定律應(yīng)用于剛體組，剛體組中各個(gè)剛體之間可以發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但是它們必須是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動(dòng).6.1.轉(zhuǎn)動(dòng)定理2.力矩作的功3.動(dòng)能定理

小結(jié)

在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,剛體相對(duì)于某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積,等于作用于剛體的外力相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的合力矩

7.

設(shè)剛體繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，體元mi對(duì)軸的角動(dòng)量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整個(gè)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量

Lz等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。

一、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量(Angularmomentum)riviOiz·mi§5-3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律8.二、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理將轉(zhuǎn)動(dòng)定理Mz=Ja

寫(xiě)成下面的形式:實(shí)驗(yàn)表明,此式更具普遍性。由上式得到

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率，等于剛體相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸所受外力的合力矩。9.角動(dòng)量定理也可以寫(xiě)為

Mz

dt稱(chēng)為沖量矩,等于力矩與力矩作用于剛體的時(shí)間的乘積。對(duì)上式積分得到角動(dòng)量定理的積分形式

該式表示：動(dòng)量的增量等于力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的時(shí)間累積效應(yīng)10.

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時(shí),剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量不隨時(shí)間變化。

剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改,角速度的大小也同時(shí)改變但兩者的乘積保持不變。恒量如果Mz=0,則三、剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律11.

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒是經(jīng)?？梢砸?jiàn)到的，如人手持啞鈴的轉(zhuǎn)動(dòng),芭蕾舞演員和花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員作各種快速旋轉(zhuǎn)動(dòng)作,都利用了對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律。12.花樣滑冰中常見(jiàn)的例子花樣滑冰收臂大小Iw張臂Jw大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)收臂大小Jw13.LwJ萬(wàn)向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱(chēng)分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動(dòng)量守恒LwJ恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理wJ其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響基座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）Jw14.

例1:一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，一端有一固定的光滑水平軸，可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。

解:棒下擺為加速過(guò)程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。重力作用在棒的重心,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，重力矩為：l/2xO）P15.棒處于θ角時(shí)的角加速度為：由角加速度的定義

重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。因?yàn)榘衾@軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：l/2xO）P16.作如下變換將上式兩邊積分角速度為17.例題2

一個(gè)質(zhì)量為100kg的圓盤(pán)狀平臺(tái)，以1.05rads-1的角速度繞通過(guò)中心的豎直軸自由旋轉(zhuǎn)，在平臺(tái)的邊緣站著一個(gè)質(zhì)量為60kg的人。問(wèn)當(dāng)人從平臺(tái)邊緣走到盤(pán)的中心時(shí)，平臺(tái)的轉(zhuǎn)速時(shí)多少？解：因?yàn)閹说钠脚_(tái)是自由轉(zhuǎn)動(dòng)的，即不受外力矩的作用。若把人和平臺(tái)看成一個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)滿(mǎn)足角動(dòng)量守恒定律，則當(dāng)人站在平臺(tái)的邊緣時(shí)，剛體組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：18.

當(dāng)人站在平臺(tái)中心時(shí)，剛體組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于平臺(tái)本身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即將J1和J2代入角動(dòng)量守恒定律19.質(zhì)點(diǎn)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度角速度加速度角加速度位移角位移vrr1t2r()tr()r1t2()t()qqqwddtwddtqaaddtvddt勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)srvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)qwt勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)s021+vt2atqw0+t21a2t2vv022asw2w022aqvv0+atww0+at20.剛體的平動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)能牛頓定律功力矩的功動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理21.剛體的平動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)沖量沖量矩Mz

dt動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒定律恒量機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律22.

一、固體在外力作用下的一般情形

形變固體受外力作用所發(fā)生的形狀變化，分為彈性形變和塑性形變。

應(yīng)力固體橫截面單位面積上內(nèi)力的改變量。應(yīng)力是固體在單位橫截面上產(chǎn)生的彈性力。

應(yīng)變固體在外力作用下所發(fā)生的相對(duì)形變量。

固體受力作用而被拉伸的整個(gè)過(guò)程如圖所示。BCEPσPσEσBoo′σε§5-4固體的形變和彈性23.

曲線(xiàn)OP為直線(xiàn)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，點(diǎn)P的應(yīng)力是滿(mǎn)足比例關(guān)系的最大應(yīng)力，稱(chēng)比例極限（

P）。點(diǎn)E的應(yīng)力E是發(fā)生彈性形變的最大應(yīng)力，稱(chēng)彈性極限。當(dāng)應(yīng)力

>E時(shí)，發(fā)生塑性形變。

點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為C，若把外力撤除，固體的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系沿OC變化，留下一定的剩余形變OO。

當(dāng)應(yīng)力達(dá)到點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的應(yīng)力

B時(shí)，固體就斷裂，

B稱(chēng)強(qiáng)度極限。BCEPσPσEσBoo′σε24.

有些固體的彈性極限與強(qiáng)度極限十分接近，因而塑性形變很小，稱(chēng)為脆體；有些固體的彈性極限與強(qiáng)度極限相距較遠(yuǎn)，可以產(chǎn)生很大的塑性形變，稱(chēng)為可塑體。

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，固體發(fā)生塑性形變后的硬度增大了，若再要使它發(fā)生塑性形變，需要的外力比先前要大。稱(chēng)為加工硬化。二、固體的彈性形變(Elasticdeformation)彈性形變有多種，最簡(jiǎn)單的是長(zhǎng)變和剪切。長(zhǎng)變固體在外力作用下沿縱向拉伸或壓縮。

25.設(shè)有一均勻棒，如圖所示。

拉力規(guī)定為正力，形變L也是正的，固體被拉伸，如圖(a)。

壓力規(guī)定為負(fù)力，形變L也是負(fù)的，固體被壓縮，如圖(b)。

在長(zhǎng)變的情況下，固體的拉伸應(yīng)變n為

固體受到力Fn發(fā)生長(zhǎng)變，在任一橫截面上出現(xiàn)的應(yīng)力

n為L(zhǎng)L+LFnFn(a)L+LFnFn(b)26.

根據(jù)胡克定律，在比例極限內(nèi)，

n與

n間存在線(xiàn)性關(guān)系

n

=Y

n

比例系數(shù)Y稱(chēng)為材料的長(zhǎng)變彈性模量，或楊氏模量，它決定于固體材料自身的性質(zhì)。

剪切當(dāng)固體受到大小相等、方向相反、相距很近的兩個(gè)平行力作用時(shí)，在兩力間的固體各橫截面將沿外力方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。物體錯(cuò)動(dòng)的角度稱(chēng)為剪切角

，如圖所示。FtFt）A′B′SψABCD27.固體的剪應(yīng)變

t為當(dāng)很小時(shí)，近似有

t=

根據(jù)胡克定律，應(yīng)有

t=G

t

比例系數(shù)G稱(chēng)為固體材料的剪切模量，簡(jiǎn)稱(chēng)剪模量。若橫截面的面積為S，則剪應(yīng)力

由于外力

與作用面是平行的，故固體橫截面上產(chǎn)生的應(yīng)力都與該截面相切，因而稱(chēng)為剪應(yīng)力，如圖所示。ψψ））σtσtFtFtSFtFt）A′B′SψABCD28.思考題：外力、內(nèi)力和應(yīng)力，這三個(gè)力的區(qū)別與聯(lián)系。