南京大學(xué)2020年和2020年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答

南京大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析考研試題-設(shè)f(x)為R｝上的周期函數(shù)，且limfM=0,證明f恒為0。A—二設(shè)概念在R'上的二元函數(shù)/(x,y)關(guān)于x,〉的偏導(dǎo)數(shù)均恒為零，證明/為常值函數(shù)。三設(shè)M)(歸2…)為疋上的一致持續(xù)函數(shù)，且limfn(x)=f(x),XR',n—問：是不是為持續(xù)函數(shù)？假設(shè)答案為“是“，請(qǐng)給出證明；假設(shè)答案為"否”，請(qǐng)給岀反例。四是不是存在［0,1］區(qū)間上的數(shù)列｛X”｝，使得該數(shù)列的極限點(diǎn)(即聚點(diǎn))集為［0,1］，把極限點(diǎn)集換成(0,1)，結(jié)論如何？請(qǐng)證明你的所有結(jié)論。五設(shè)/(x)為|0,+s)上的非負(fù)持續(xù)函數(shù)，且J；X/(x)Jx<+oo，問/(X)是不是在［0,P)上有界？假設(shè)答案為"是”，請(qǐng)給岀證明；假設(shè)答案為“否"，請(qǐng)給岀反例。六計(jì)算由函數(shù)./；(x)=|x2和f2(x)=-X2+啲圖像在平面R2上所圍成區(qū)域的面積。七計(jì)算積分皿心+如訕血。R2八計(jì)算積分，其中。為如下區(qū)域:G=｛(x,y.z)e:x>0,>'>0,>0,x+y+^<6z｝,。為正常數(shù)。九設(shè)5>0(”=1,2,...), 證明：級(jí)數(shù)乞呂?是收斂的。1-1 n-1?十方程x2+2y2+3z3+2xy^z=7在(1,一2,1)周圍決定了隱函數(shù)z=z(x.y),求—^(1,-2)的值。oxoy十一求函數(shù)/(X,y,z)=X3+b+在約束條件x+y+z=2fx2+y2+z2=n下的極值,并判定極值的類型。十二設(shè)/eC*［0J］,且/(0)=/(1)=0,證明：J*［/(x)］2Jx<1￡［/V)］2Jxo十三設(shè)/(X)為［0“］上的持續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)h>1,均有￡/(x)cos/?xJx=0,證明：/為常值函數(shù)。南京大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析考研試題解答一證明設(shè)/⑴的周期為八7>0,那么有f(x+nT)=f(x)9由條件知,/(x)=limf(x+nT)=0,結(jié)論得證。丄在斤上持續(xù)，對(duì)任意(x,y)e/?~,有f(x,y)-f(a0)=?(的ey)?X+色(敗ey)y=0,ox dy因此f(x,y)=/(0,0),即f(x9y)為常值函數(shù)。三解fM未必為持續(xù)函數(shù)。反例：￡(兀)=」4刁，1+國￡(x)在尺上持續(xù)，又lim九(對(duì)=1,因此人⑴在(yo,p)上一致持續(xù),牙TJC0,卜|vllim/,(x)=/(%)=<lim/,(x)=/(%)=<2111川>1顯然/(%)在(Y>,2)上不持續(xù)。四解⑴存在。取［0,1］中的有理數(shù)形成的點(diǎn)集/=”；},那么有廠=［0,1］。(2)不存在。假假設(shè)存在/={x?},使得廠=(0,1),由于廠是閉集，而(0,1)為開集，矛盾，因此如此的點(diǎn)列不存在。五未必有/⑴在［0,2)上有界，未必有l(wèi)im/(x)=0o六解顯然兩曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為召[(-x[(-x2+1)-|x2Wa-\)dx=2(—=2(—卜5)_4>/6= o9七解顯然那個(gè)二重廣義積分是收斂的。由匚e~xdx=a/tt,J#心+22辺購，=rdxCe^e-^dyJ-xJ-xJ—X J—X=y/^r?刼=兀o八解jfjxyzdxdydz.Qf>a Afl-x-v=Idx\dy\xyzdz十解2x+9z,2zx+2y-zx=0,4+9z2Zy+2x-zy=0,1迄金+9舟“+2-備=0。4-一解L=(x3+y3+z3)+^(x+y+z-2)+p(x2+y2+z2-i2)一=3x2+2+2//x=0,dxoo一一=yz2a2a++++22yz33一一=弘￥弘&3?12+3幾+2“?2=0,36+32+4/7=0o十二證明f(x)=/(O)+[/(『)/=￡ ,1/(期qim)M<」(j;|/(X)|2<xf|/X0|2dt< 1/W|2dt,于是嘉商皿號(hào))訕廣商心，/(x)=/(l)-J*f\t)dt=-J*/f(/)Jr,|/(a-)|<J廣a)M§(i—|m)「加，|/(X)|2<(l-X)J*|/W|2JZ,j；I/v)|\；x<1(1)2￡|/v)|\/a-,■故有仃(X)「dx<JJ|/(x)|2^+J；|/(x)|2dx<y(：")fdx。十三證明作函數(shù)F(x),F(x)是周期為2龍的偶函數(shù)，當(dāng)xe(O^)時(shí)，F(xiàn)(x)=/(x),那么F(x)在(-不O)U(O,;r)上持續(xù)，在|-不刃可積。°”=丄J*”F(x)cosnxdx=—￡F(x)cosnxdx=0,(n=1,2,...)h^o=-\^fMdxfw/?,=—F(x)sinnxdx=0,nJysinnx)F(x),asinnx)F(x),寸cosnx+bnL/r-lSn(x)=牛+￡(5COSnx+bnsinnx)=牛,—i 2{Sn(x)}在芒［-不刃中收斂于F(x)9鯉(x)M=0‘2「"■(X)-魚厶=0,22f/?-y如o,2由/(x)在［0,刃上持續(xù)，知-牛=0,即得/⑴晉，在［0,兀］上為常值函數(shù)。南京大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析考研試題1開區(qū)間(0,1)內(nèi)的有理數(shù)可否依照從小到大的順序排成一列，請(qǐng)說明理由。TOC\o"1-5"\h\z□0 002假設(shè)級(jí)數(shù)亍?收斂，那么是不是有收斂，是請(qǐng)證明；否請(qǐng)舉反例。H-l H-1設(shè)a9b>09求lim”/+b“°“TOO求lim(丄 !—)ox~xsinx5假設(shè)函數(shù)/(x)在［0,1］上可導(dǎo)，那么廣(x)是不是必然有界，是請(qǐng)證明；否請(qǐng)舉反例。6函數(shù)f：2R持續(xù)，且有唯一的極值點(diǎn)，證明：那個(gè)唯一的極值點(diǎn)必然是最值點(diǎn)。7函數(shù)在［0,1］上有二階導(dǎo)數(shù)，/(o)=o,/(i)=i,ruxo.求證：/(x)>x,xe［O,l］o8函數(shù)/(x,y)是一個(gè)L函數(shù)，％=(無，兒)，計(jì)算lim滬［厶fff(x,y)dxdy-f(x^y0)］<>9計(jì)算\\xdydz^ydzdx+zdxdy.其中工是八分之一球面V{(x,y,Z):X,y,Z20,F+y2+F=尺2},方向朝外。10、已知/⑴是［一兀刃上有界變差函數(shù)，求證：％仇=0(丄)，n其中?O是/(")的傅里葉系數(shù)。南京大學(xué)2020年數(shù)學(xué)分析考研試題解答1解盡管(0,1)中的有理數(shù)的個(gè)數(shù)是可數(shù)的，但(0,1)中的有理數(shù)不能按從小到大的順序排成一列，理由如下：由于(0,1)中無最小的有理數(shù)，也無最大的有理數(shù)；用反證法，假假設(shè)(0,1)中的有理數(shù)按由小到大的順序排成了一列(斤必)中應(yīng)沒有有理數(shù)了，而(斤屯)中仍有有理數(shù)耳2,矛盾。厶2解由級(jí)數(shù)工?收斂，未必退出工",收斂。TOC\o"1-5"\h\z/(-! n-1反例：設(shè)an=(-\y-Lt00 X顯然工勺收斂，但工",發(fā)散。n-1 n-13解設(shè)M=max{a,Z?}那么有M5目疋+b“5匝M,lim呃M=M,n—>oc由夾逼定理，知limyja1+b11=M=max{a.b}o“TOO解20xsmxsinx-x=inn— zjtsina

=lim=limsinx-x.?cosx-1=lim ；—z3；rv-sinx=lim z6x_1= o65解由/（x）在［0,1］上可導(dǎo)，即廣⑴在［0,1］上存在,但廣⑴未必在［0,1］上有界。反例:/（心廣憐心°川0,x=0反例:/（心廣憐心°川0,x=0)=_2祈(_1兒廣⑴在［0,1］上無界。6證明不妨設(shè)X。是/⑴的唯一的極小值點(diǎn)，那么存在J>0,當(dāng)0<卜-對(duì)<5時(shí)，有/（x）>y（x0）,咱們要斷言，對(duì)所有xe/?,/（x）>/（x0）o用反證法，假假設(shè)存在A-已心使得/（A-）</（Xo）,不妨設(shè)期<無，由持續(xù)函數(shù)的介值性，存在壯（心西），使得f^）=f（X0）,_/G）在［心，切的內(nèi)部達(dá)到最大值，因此也是極大值，這與有唯一性的極值點(diǎn)相矛盾，因此/（兀）是最小值，結(jié)論得證。7證明由r?<0,知/（X）在［0,1］上是上凸函數(shù)，對(duì)任意xpx2e［0J］,0<2<1,有/（（I-幾）州+九丫2）n（1一兄）/（州）+久/（吃），對(duì)“［0,1］,有m（（i—x）?o+x?i）>(l-x)/(0)+#(l)=xo

8解V』嚴(yán)叫"Z=￡[f(+rcos6>,y0+rsin<9)-/(xc,y^]rdO,lim—crI〃J7[/a。+rcos兒+rsin&)lim—cr「[/C%+"cos&,y()+hsin0)一/(x0,兒)]〃&=lim=linicos^+—sin^JJ=linicos^+—sin^JJ&

dy=—limf[(Jcos0+—sin6>)cos0+ -cos&+2sin0)sin0]d0TOC\o"1-5"\h\z?U(>dx2 oyox dxdy dy2dxdy=lim￡[%4-(z0)cos2&+2]^-(z0)sin&cos&+4^-(Z())sin'0]d0dxdy8/rox dy1d2f d2f飛(詁3尹))一19解〃=￡(兒”Rjjxdyd