湖南省益陽(yáng)市桃江縣第二中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

湖南省益陽(yáng)市桃江縣第二中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A．橢圓

B．雙曲線

C．拋物線

D．雙曲線的一支參考答案：A2.橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是(

)

A．3

B．

C．

D．參考答案：D3.若，則等于

（

）A、-1

B、1

C、

D、

參考答案：C略4.下列求導(dǎo)正確的是（

）A.，則；

B.，則；C.，則；D.，則參考答案：B略5.設(shè)，，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．[－1,0)∪(0,1]

B．(－∞,－1]∪[1,+∞)C．[－2,0)∪(0,2]

D．(－∞,－2]∪[2,+∞)參考答案：D函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，在]上的值域?yàn)?，由題意可得當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，在]上的值域?yàn)椋深}意可得當(dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，值域?yàn)?，不符合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選D.

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“時(shí)，從“到”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：拋物線y=2x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=y，故拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，），故選：C8.把標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球全部放入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，不許有空盒且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中，則不同的方法種數(shù)是（）A．36 B．48 C．60 D．84參考答案：D【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】由題意可以分兩類(lèi)，第一類(lèi)第5球獨(dú)占一盒，第二類(lèi)，第5球不獨(dú)占一盒，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得到答案．【解答】解：第一類(lèi)，第5球獨(dú)占一盒，則有4種選擇；如第5球獨(dú)占第一盒，則剩下的三盒，先把第1球放旁邊，就是2，3，4球放入2，3，4盒的錯(cuò)位排列，有2種選擇，再把第1球分別放入2，3，4盒，有3種可能選擇，于是此時(shí)有2×3=6種選擇；如第1球獨(dú)占一盒，有3種選擇，剩下的2，3，4球放入兩盒有2種選擇，此時(shí)有2×3=6種選擇，得到第5球獨(dú)占一盒的選擇有4×（6+6）=48種，第二類(lèi)，第5球不獨(dú)占一盒，先放1﹣4號(hào)球，4個(gè)球的全不對(duì)應(yīng)排列數(shù)是9；第二步放5號(hào)球：有4種選擇；9×4=36，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，不同的方法有36+48=84種．故選：D．9.若變量x，y滿(mǎn)足，則x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，然后結(jié)合x(chóng)2+y2的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，聯(lián)立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故選：C．10.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過(guò)F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，若∠PF2Q=90°，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．2

C．﹣1 D．1+參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)PQ是經(jīng)過(guò)F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，從而可得e的方程，即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：∵PQ是經(jīng)過(guò)F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列具有性質(zhì)：為整數(shù)；對(duì)于任意的正整數(shù)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．（1）若為偶數(shù)，且成等差數(shù)列，求的值；（2）若為正整數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，都有．參考答案：：（1）設(shè)，成等差數(shù)列，

…………3分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)………5分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)

……………7分綜合上述，可得的值為或

………………8分（2），，

………………10分又由定義可知，略12.三棱錐P﹣ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2，PC=2，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為．參考答案：12π【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】可得△PAC是Rt△．PBC是Rt△．可得三棱錐P﹣ABC的外接球的球心、半徑，即可求出三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積．【解答】解：∵AP=2，AC=2，PC=2，∴AP2+AC2=PC2∴△PAC是Rt△．∵PB=2，BC=2，PC=2，∴∴△PBC是Rt△．∴取PC中點(diǎn)O，則有OP=OC=OA=OB=，∴O為三棱錐P﹣ABC的外接球的球心，半徑為．∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為4πR2=12π．故答案為：12π13.雙曲線﹣=1的漸近線方程是．參考答案：y=±x【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0即得漸近線方程，化簡(jiǎn)即可得到所求．【解答】解：∵雙曲線方程為﹣=1的，則漸近線方程為線﹣=0，即y=±，故答案為y=±．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0即得漸近線方程．14.已知（x+a）2（x﹣1）3的展開(kāi)式中，x4的系數(shù)為1，則a=

．參考答案：2【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由（x+a）2（x﹣1）3=（x2+2ax+a2）（x3﹣3x2+3x﹣1），求出它的展開(kāi)式中x4的系數(shù)即可．【解答】解：（x+a）2（x﹣1）3=（x2+2ax+a2）（x3﹣3x2+3x﹣1），所以它的展開(kāi)式中，x4的系數(shù)為：﹣3+2a=1，解得a=2．故答案為：2．15.的否定是

．（原創(chuàng)題）參考答案：16.已知雙曲線(＞0,＞0)的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，那么，它的兩條漸近線方程為

．參考答案：17.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，并且在上是增函數(shù)，若，則不等式的解集是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（14分）一個(gè)截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時(shí)只能挖土，不準(zhǔn)向河道填土．(Ⅰ)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)試求當(dāng)截面梯形的下底（較長(zhǎng)的底邊）長(zhǎng)為多少米時(shí)，才能使挖出的土最少？

參考答案：解：（1）如圖：以?huà)佄锞€的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系則

設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入得

所以?huà)佄锞€弧AB方程為（）（2）解法一：設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于

則過(guò)的切線的斜率為

所以切線的方程為：，即

令，得，

令，得，所以梯形面積

當(dāng)僅當(dāng)，即時(shí)，成立

此時(shí)下底邊長(zhǎng)為

答：當(dāng)梯形的下底邊長(zhǎng)等于米時(shí)，挖出的土最少．

解法二：設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于

則過(guò)的切線的斜率為

所以切線的方程為：，即

運(yùn)用定積分計(jì)算拋物線與等腰梯形間的面積：

-----10分

當(dāng)僅當(dāng)，即時(shí)，成立，此時(shí)下底邊長(zhǎng)為

答：當(dāng)梯形的下底邊長(zhǎng)等于米時(shí)，挖出的土最少．

解法三：設(shè)等腰梯形上底（較短的邊）長(zhǎng)為米，則一腰過(guò)點(diǎn)，可設(shè)此腰所在直線方程為，

聯(lián)立，得，

令，得，或（舍），

故此腰所在直線方程為，

令，得，

故等腰梯形的面積：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有

此時(shí)，下底邊長(zhǎng)

答：當(dāng)梯形的下底邊長(zhǎng)等于米時(shí)，挖出的土最少．19.22．（12分）某廠生產(chǎn)A產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，若A產(chǎn)品的年產(chǎn)量為萬(wàn)件，則需另投入成本（萬(wàn)元）。已知A產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過(guò)80萬(wàn)件時(shí)，；A產(chǎn)品年產(chǎn)量大于80萬(wàn)件時(shí)，。因設(shè)備限制，A產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過(guò)200萬(wàn)件?，F(xiàn)已知A產(chǎn)品的售價(jià)為50元/件，且年內(nèi)生產(chǎn)的A產(chǎn)品能全部銷(xiāo)售完。設(shè)該廠生產(chǎn)A產(chǎn)品的年利潤(rùn)為L(zhǎng)（萬(wàn)元）。（1）寫(xiě)出L關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該廠生產(chǎn)A產(chǎn)品所獲的利潤(rùn)最大？參考答案：20.在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B.求：(1)的值；(2)過(guò)點(diǎn)且與直線AB平行的直線l的極坐標(biāo)方程．參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）把曲線C1和曲線C2的方程化為直角坐標(biāo)方程，他們分別表示一個(gè)圓和一條直線．利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離為d的值，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|的值．

（2）用待定系數(shù)法求得直線l的方程為直線l的方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式求得l的極坐標(biāo)方程試題解析：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圓心(0,0)到直線的距離為∴．（2）∵曲線的斜率為1，∴過(guò)點(diǎn)且與曲線平行的直線的直角坐標(biāo)方程為，∴直線的極坐標(biāo)為，即．21.求經(jīng)過(guò)直線的交點(diǎn)且平行于直線的直線方程

參考答案：略22.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：（1）a1=3；（2）an+1=2n2﹣n（3an﹣1）+an2+2（n∈N*）．（Ⅰ）求a2、a3、a4；（Ⅱ）猜測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）試比較an與2n的大小．參考答案：【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式；RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（Ⅰ）把n=1，2，3分別代入an+1=2n2﹣n（3an﹣1）+an2+2（n∈N*），得a2=5，a3=7，a4=9．（Ⅱ）猜測(cè)an=2n+1，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=3＞2n；當(dāng)n=2n=2時(shí)，a2=5＞22；當(dāng)n=3時(shí)，a3=7＜23；當(dāng)n=4時(shí)，a4=9＜24．猜想n≥3（n∈N*）時(shí)，an＜2n．然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．【解答】解：（Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9；（3分）（Ⅱ）猜測(cè)an=2n+1，（1分）證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，a1=3=2×1+1，結(jié)論成立；（1分）若n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=2k+1，則n=k+1時(shí)，ak+1=2k2﹣k（3ak﹣1）+ak2+2=2k2﹣k（6k+2）+（2k+1）2+2=2k+3，（2分）于是n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．故對(duì)所有的正整數(shù)n，an=2n+1．（1分）（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=3＞2n；當(dāng)n=2n=2時(shí)，a2=5＞22；當(dāng)n=3時(shí)，a3=7＜23；當(dāng)n=4時(shí)，a4=9＜24；（1分）猜想n≥3（n∈N