湖北省武漢市蔡甸區(qū)第二中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖北省武漢市蔡甸區(qū)第二中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.兩人約定在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間相見，且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，則兩人在約定時(shí)間內(nèi)能相見的概率是

（

）A．

B．

C． D．參考答案：B略2.已知條件：，條件：，則是成立的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：B略3.已知一長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為3，，4，若該長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則這個(gè)球的體積為（）A．288π B．144π C．108π D．36π參考答案：D【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)題意，得出長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，球的直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，由此求出球的半徑與體積．【解答】解：根據(jù)題意，長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以球的直徑為該長(zhǎng)方體的對(duì)角線；即（2R）2=32++42=36，解得R=3；所以這個(gè)球的體積為V球=πR3=×π×33=36π．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的內(nèi)接長(zhǎng)方體以及球的體積的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力，是基礎(chǔ)題．4.下列命題：①命題“若，則”的逆否命題：“若，則”②命題，則③“”是“”的充分不必要條件。④若為真命題，則均為真命題其中真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)參考答案：B5.若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的一條對(duì)稱軸是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.直線的斜率為A.

B.

C.

D.參考答案：A7.程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，log2x，則在內(nèi)滿足方程的實(shí)數(shù)為（

）A、

B、

C、

D、

參考答案：C略9.已知，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．參考答案：B略10.如果拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x－4y－12＝0上，那么拋物線的方程是（

）A.

y2＝－16x

B.

y2＝12x

C.

y2＝16x

D.

y2＝－12x參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若有極值，則的取值范圍是

.參考答案：略12.給出下列等式：×=1﹣；；…由以上等式推出一個(gè)一般結(jié)論：對(duì)于n∈N*，=

．參考答案：1﹣【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】由已知中的三個(gè)式子，我們分析等式左邊每一個(gè)累加項(xiàng)的變化趨勢(shì)，可以歸納出其通項(xiàng)為×，分析等式右邊的式子，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)式了均為兩項(xiàng)差的形式，且被減數(shù)均為1，減數(shù)為，由此即可得到結(jié)論．【解答】解：由已知中的等式：×=1﹣；；…由以上等式我們可以推出一個(gè)一般結(jié)論：對(duì)于n∈N*，=1﹣．故答案為：=1﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．13.已知直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：14.設(shè)函數(shù)，，則

。參考答案：略15.設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___________.參考答案：略16.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最小值為________________.參考答案：17.（幾何證明選講選做題）如圖所示，圓的直徑，為圓周上一點(diǎn)，．過作圓的切線，過作的垂線，分別與直線、圓交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為

．參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)F且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為的直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，若的值.參考答案：19.宇宙深處有一顆美麗的行星，這個(gè)行星是一個(gè)半徑為r（r>0）的球。人們?cè)谛行潜砻娼⒘伺c地球表面同樣的經(jīng)緯度系統(tǒng)。已知行星表面上的A點(diǎn)落在北緯60°，東經(jīng)30°；B點(diǎn)落在東經(jīng)30°的赤道上；C點(diǎn)落在北緯60°，東經(jīng)90°。在赤道上有點(diǎn)P滿足PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離。（1）求AC兩點(diǎn)間的球面距離；（2）求P點(diǎn)的經(jīng)度；（3）求AP兩點(diǎn)間的球面距離。參考答案：設(shè)球心為O，北緯60°圈所對(duì)應(yīng)的圓心為O’，（1）那么OO’=。O’A=O’C=。又因?yàn)椤螦O’C=60°。所以AC=。那么∠AOC=（）兩點(diǎn)間的球面距離為（）（2）PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離，所以PB=AB?？芍螾OB=∠AOB=60°，又P點(diǎn)在赤道上。所以P點(diǎn)的經(jīng)度為東經(jīng)90°或西經(jīng)30°。（3）顯然P點(diǎn)的兩種可能對(duì)應(yīng)的AP間的球面距離相等。不妨P所在的經(jīng)度為東經(jīng)90°。由條件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延長(zhǎng)BA與OO’交于D點(diǎn)，那么。而O’C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共線且?？芍狝C∥BP，所以A、B、C、P共面。20.如圖，圓錐中，、為底面圓的兩條直徑，，且，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求圓錐的表面積.參考答案：解：（1）連結(jié)，

、分別為、的中點(diǎn)，，，平面.（2），

，，

.

略21.夏天喝冷飲料已成為年輕人的時(shí)尚.某飲品店購進(jìn)某種品牌冷飲料若干瓶，再保鮮.（Ⅰ）飲品成本由進(jìn)價(jià)成本和可變成本（運(yùn)輸、保鮮等其它費(fèi)用）組成根據(jù)統(tǒng)計(jì)，“可變成本”y（元）與飲品數(shù)量x（瓶）有關(guān)系.y與x之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：飲品數(shù)量x（瓶）24568可變成本y（元）34445

依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；如果該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為多少元？（Ⅱ）該飲品店以每瓶10元的價(jià)格購入該品牌冷飲料若干瓶，再以每瓶15元的價(jià)格賣給顧客。如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則通過促銷以每瓶5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余冷飲料都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再購進(jìn))．該店統(tǒng)計(jì)了去年同期100天該飲料在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，制成如下表：每日前8個(gè)小時(shí)銷售量（單位：瓶）15161718192021頻數(shù)10151616151315

若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，求當(dāng)天利潤(rùn)的期望值.（注：利潤(rùn)=銷售額－購入成本－“可變本成”）參考公式：回歸直線方程為，其中參考數(shù)據(jù)：，

.參考答案：(Ⅰ)，可變成本”約為元；(Ⅱ)利潤(rùn)的期望值為元【分析】（Ⅰ）將關(guān)于之間對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求出與，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程可得出“可變成本”的值；（Ⅱ）根據(jù)利潤(rùn)公式分別算出當(dāng)銷量分別為瓶、瓶、瓶、瓶時(shí)的利潤(rùn)和頻率，列出利潤(rùn)隨機(jī)變量的分布列，結(jié)合分布列計(jì)算出數(shù)學(xué)期望值，即可得出答案。【詳解】（Ⅰ），，，，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為：當(dāng)時(shí)，，所以該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為元；（Ⅱ）當(dāng)天購進(jìn)18瓶這種冷飲料，用表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），當(dāng)銷售量為15瓶時(shí)，利潤(rùn)，；當(dāng)銷售量為16瓶時(shí)，利潤(rùn)，；當(dāng)銷售量為17瓶時(shí)，利潤(rùn)，；當(dāng)銷售量為18瓶時(shí)，利潤(rùn)，；那么的分布列為：52.162.172.182.1

的數(shù)學(xué)期望是：，所以若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，則當(dāng)天利潤(rùn)的期望值為元.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程以及隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，在求解隨機(jī)變量分布列時(shí)，關(guān)鍵要弄清楚隨機(jī)變量所服從的分布類型，掌握各分布類型的特點(diǎn)，考查分析問題能力與計(jì)算能力，屬于中等題。

22.從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問：①、能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？②、上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？③、在①中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？④、在①中任意兩偶然都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？.參