河北省衡水市中學東校區(qū)高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

河北省衡水市中學東校區(qū)高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設i為虛數(shù)單位，則復數(shù)=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i參考答案：A【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】通過將分子、分母同乘以i進行分母有理化，計算即得結論．【解答】解：===2+i，故選：A．2.設函數(shù)（，）的最小正周期為π，且，則（

）A．在單調遞減

B．在單調遞減

C.在單調遞增

D．在單調遞增參考答案：A3.湖面上飄著一個小球，湖水結冰后講球取出，冰面上留下一個半徑為，深的空穴，則取出該球前，球面上的點到冰面的最大距離為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：【知識點】球的截面性質G8B解析：設球半徑為R，則有,解得R=10，所以球面上的點到冰面的最大距離為R+R－2=18cm，則選B.【思路點撥】一般遇到球的截面問題，通常利用球的截面性質尋求截面圓的半徑與球半徑的關系進行解答.4.已知sin2α=?，α∈，則sinα＋cosα=(

)

A.－

B.

C.－ D.參考答案：B5.在等比數(shù)列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列．則{an}的前5項和為（）A．31 B．62 C．64 D．128參考答案：A【考點】89：等比數(shù)列的前n項和；88：等比數(shù)列的通項公式．【分析】設等比數(shù)列{an}的公比為q，a4=8a1，可得a1q3=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，可得2（a2+1）=a1+a3，當然解得a1，再求和即可【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a4=8a1，∴a1q3=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2∴{an}的前5項和為=31，故選：A．6.在A，B兩個袋中都有6張分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4，5的卡片，現(xiàn)從每個袋中任取一張卡片，則兩張卡片上數(shù)字之和為7的概率為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：7.對于任意的實數(shù)a、b，記max{a,b}=.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函數(shù)y=f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，且在x=1處取得極小值-2，函數(shù)y=g(x)(x∈R)是正比例函數(shù)，其圖象與x≥0時的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則下列關于函數(shù)y=F(x)的說法中，正確的是(

)A．y=F(x)為奇函數(shù)B．y=F(x)有極大值F(-1)C．y=F(x)的最小值為-2，最大值為2D．y=F(x)在(-3,0)上為增函數(shù)參考答案：【知識點】函數(shù)的圖象；命題的真假判斷與應用．A2

B8【答案解析】B

解析：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定義域為R，f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，畫出其圖象如圖中實線部分，由圖象可知：y=F（x）的圖象不關于原點對稱，不為奇函數(shù)；故A不正確y=F（x）有極大值F（﹣1）且有極小值F（0）；故B正確y=F（x）在（﹣3，0）上不為單調函數(shù)；故C不正確y=F（x）的沒有最小值和最大值.故D不正確故選B．【思路點撥】在同一個坐標系中作出兩函數(shù)的圖象，橫坐標一樣時取函數(shù)值較大的那一個，如圖，由圖象可以看出選項的正確與否．8.設集合，集合，則A∩B=（

）A.[0,1] B.(0,1] C.[0,+∞) D.(－∞,1]參考答案：D∵，，∴，故選D.9.若復數(shù)（α∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)α的值為（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6參考答案：A【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】把已知復數(shù)利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后由實部等于0且虛部不等于0求得a的值．【解答】解：∵=為純虛數(shù)，∴，解得：a=﹣6．故選：A．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎題．10.在平面直角坐標系中，當P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為；當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題：①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；②若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱；③單位圓的“伴隨曲線”是它自身；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】利用新定義，轉化求解判斷4個命題，是否滿足新定義，推出結果即可．【解答】解：對于①，若令P（1，1），則其“伴隨點”為，而的“伴隨點”為（﹣1，﹣1），而不是P，故①錯誤；對于②，設曲線f（x，y）=0關于x軸對稱，則f（x，﹣y）=0與方程f（x，y）=0表示同一曲線，其“伴隨曲線”分別為與也表示同一曲線，又曲線與曲線的圖象關于y軸對稱，所以②正確；對于③，設單位圓上任一點的坐標為P（cosx，sinx），其“伴隨點”為P'（sinx，﹣cosx）仍在單位圓上，故③正確；對于④，直線y=kx+b上任一點P（x，y）的“伴隨點”為，∴P′的軌跡是圓，故④錯誤，所以正確的為序號為②③．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設集合，，若A∩B=B，則實數(shù)m的取值范圍為

．參考答案：12.在的邊上隨機取一點,記和的面積分別為和，則的概率是

．參考答案：13.設，則

參考答案：略14.將圓沿x軸正向平移1個單位后所得到圓C，則圓C的方程是________,若過點（3，0）的直線和圓C相切，則直線的斜率為_____________.參考答案：【答案】,【解析】易得圓C的方程是,直線的傾斜角為,所以直線的斜率為15.已知命題，．若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略16.在正三棱錐S-ABC中，側面SAB、側面SAC、側面SBC兩兩垂直，且側棱，則正三棱錐外接球的表面積為____________.參考答案：因為側面SAB、側面SAC、側面SBC兩兩垂直，所以把正三棱錐補成一個正方體，則正方體的體對角線等于外接球的直徑，正方體的體對角線長，設外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為.17.若函數(shù)f(x)=sin(ωπx－)(ω＞0)的最小正周期為，則f()的值為．參考答案：

【考點】正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用正弦函數(shù)的周期性求得ω，再利用誘導公式求得的值．【解答】解：∵函數(shù)的最小正周期為=，∴ω=10，則=sin（10π?﹣）=sin=sin=﹣sin=﹣，故答案為：．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，利用誘導公式求三角函數(shù)的值，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓E：（a＞b＞0）的離心率為，直線l：y=與橢圓E相交于A，B兩點，AB=2，C，D是橢圓E上異于A，B兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．（1）求a，b的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值．參考答案：解：（1）因為e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故橢圓方程為+=1；由題意，不妨設點A在第一象限，點B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C（x0，y0），顯然k1≠k2；從而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直線AD的方程為y﹣1=k2（x﹣2），直線BC的方程為y+1=﹣（x+2）；由解得；從而點N的坐標為（，）；用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直線MN的斜率為定值﹣1；

…（14分）②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據(jù)題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，﹣1）；仍然設DA的斜率為k2，由①知kDB=﹣；此時CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它們交點M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它們交點N（2﹣，﹣1），從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2；顯然k1≠k2；直線AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；設點C的坐標為（x1，y1），則2?x1=，從而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直線BC的方程為y+1=﹣（x+2）；又直線AD的方程為y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；從而點N的坐標為（，）；用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直線MN的斜率為定值﹣1；

…（14分）②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據(jù)題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，﹣1）；仍然設DA的斜率為k2，則由①知kDB=﹣；此時CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它們交點M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它們交點N（2﹣，﹣1），從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1．

…（16分）考點：橢圓的簡單性質．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質，利用離心率e以及AB的長，求出a、b的值；（2）方法一：結合橢圓E的方程，求出A、B的坐標，討論：①CA，CB，DA，DB斜率都存在時，利用斜率的關系，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出M、N的坐標，計算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，求出M、N的坐標，計算kMN的值；從而得出正確的結論．方法二：利用橢圓E的方程，求出A、B的坐標，討論：①CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設出直線的斜率，由直線與橢圓聯(lián)立，求出M、N點的坐標，計算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，求出M、N點的坐標，計算kMN的值，即可得出正確的結論．解答：解：（1）因為e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故橢圓方程為+=1；由題意，不妨設點A在第一象限，點B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C（x0，y0），顯然k1≠k2；從而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直線AD的方程為y﹣1=k2（x﹣2），直線BC的方程為y+1=﹣（x+2）；由解得；從而點N的坐標為（，）；用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直線MN的斜率為定值﹣1；

…（14分）②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據(jù)題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，﹣1）；仍然設DA的斜率為k2，由①知kDB=﹣；此時CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它們交點M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它們交點N（2﹣，﹣1），從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2；顯然k1≠k2；直線AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；設點C的坐標為（x1，y1），則2?x1=，從而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直線BC的方程為y+1=﹣（x+2）；又直線AD的方程為y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；從而點N的坐標為（，）；用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直線MN的斜率為定值﹣1；

…（14分）②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據(jù)題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，﹣1）；仍然設DA的斜率為k2，則由①知kDB=﹣；此時CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它們交點M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它們交點N（2﹣，﹣1），從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1．

…（16分）點評：本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，也考查了直線與橢圓的綜合應用問題，考查了分類討論思想的應用問題，是較難的題目19.如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，F(xiàn)為BA延長線上一點，且滿足BD?BE=BA?BF．求證：（1）EF⊥FB；（2）∠DFB+∠DBC=90°．參考答案：【考點】綜合法與分析法(選修）．【分析】（1）利用BD?BE=BA?BF，可得，從而可知△ADB∽△EFB，可得∠EFB=∠ADB，利用AB是⊙O的直徑，即可得到結論；（2）先證明E、F、A、D四點共圓，從而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直徑，可證結論成立．【解答】（1）證明：連接AD，則∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°在△ADB和△EFB中，∵BD?BE=BA?BF，∴…．．又∠DBA=∠EBF，∴△ADB∽△EFB…．．則∠EFB=∠ADB=90°，∴EF⊥FB…．．（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°又∠EFB=90°∴E、F、A、D四點共圓；

…∴∠DFB=∠AEB…．．又AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°…20.（本小題滿分12分）為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國內發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡稱金卡），向省內人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡稱銀卡）。某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內游客。在省外游客中有持金卡，在省內游客中有持銀卡。（I）在該團中隨機采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；（II）在該團的省內游客中隨機采訪3名游客，設其中持銀卡人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望。參考答案：解析：（Ⅰ）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內游客有9人，其中6人持銀卡。設事件為“采訪該團3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，

事件為“采訪該團3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，

事件為“采訪該團3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。

所以在該團中隨機采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是?！?分（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3

,

，，

所以的分布列為0123

所以，

……12分

21.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥側面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=（Ⅰ）求證：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）設=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為30°，試求λ的值．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能證明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B為原點，BC、BA、BC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．利用向量法能求出λ的值．解答： （Ⅰ）證明：∵AB⊥側面BB1C1C，BC1?側面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC?CC1?cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos=3，∴BC1=，∴BC2+=C，∴BC⊥BC1，∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1兩兩垂直，以B為原點，BC、BA、BC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖．則B（0，0，0），A（0，1，0），B1（﹣1，0，），C1（0，0，），C（1，0，0），∴=（﹣1，0，），∵=λ（0≤λ≤1），∴=（﹣λ，0，λ），∴E=（1﹣λ，0，λ），則=（1﹣λ，﹣1，λ），=（﹣1，﹣1，），設平面AB1E的法向量為=（x，y，z），則，∴，令z=，則x=，y=，∴=（，，），∵AB⊥側面BB1C1C，∴=（0，1，0）是平面BEB1的一個法向量，∴|cos＜，＞|=||=，兩邊平方并化簡得：2λ2﹣5λ+3=0，解得：λ=1或λ=（舍去），∴λ的值是1．點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的實數(shù)