概率與統(tǒng)計水乳交融

從大漠孤煙塞北，到杏花春雨江南，從山水田園牧歌，到金戈鐵馬陽關(guān)，我們在吟誦著千古名句。PAGEPAGE1從大漠孤煙塞北，到杏花春雨江南，從山水田園牧歌，到金戈鐵馬陽關(guān)，我們在吟誦著千古名句。概率與統(tǒng)計水乳交融新課標高考卷一直把概率和統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識和方法作為必考內(nèi)容，概率與統(tǒng)計綜合類題目時常出現(xiàn)在高考題和模擬題中，而且這類題目背景新穎，求解靈活，是考查我們應(yīng)用能力的好題.

考點一古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合

例1某學校對學生的考試成績作抽樣調(diào)查，得到成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中[70，80）對應(yīng)的數(shù)值被污損，記為[x].

（1）求[x]的值.

（2）記[90，100]為[A]組，[80，90）為[B]組，[70，80）為[C]組，用分層抽樣的方法從[90，100]，[80，90），[70，80）三個分數(shù)段的學生中抽出6人參加比賽，從中任選3人為正選隊員，求正選隊員中有A組學生的概率.

[分數(shù)][O][頻率

組距][0.02

0.01][405060708090100]

分析（1）直接由頻率和等于1列式計算[x]的值.

（2）利用分層抽樣每層抽取的比例相等求出抽取的6人中三個分數(shù)段中所抽取的人數(shù)，然后利用列舉法寫出從6人中任抽3人的所有的抽法，查出3人中一定含有[A]組學生的抽法種數(shù)，最后利用古典概型概率計算公式求解.

解（1）因為（0.01×3+0.02×2+x）×10=1，

所以x=0.03.

（2）設(shè)從[90，100]分數(shù)段的學生中抽出[m]人，

依題意得，[m+2m+3m=6]，

所以[m=1].

所以從[80，90）中抽出的學生人數(shù)為2人，從[70，80）中抽出的學生人數(shù)為3人.

記從[90，100]中抽出的學生為[a]，從[80，90）中抽出的學生為[b，c]，從[70，80）中抽出的學生為[d，e，f]，

從6人中抽出3人有：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20種.

含有a的有：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，共10種.

所以正選隊員中有[A]組學生的概率[P=1020=12].

點撥有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型無論是直接描述還是利用頻率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題干中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決.

考點二互斥事件、對立事件與統(tǒng)計相結(jié)合

例2我國西部一個地區(qū)的年降水量（單位：mm）在下列區(qū)間上的概率如下表：

[年降水量＼&[600，800）＼&[800，1000）＼&[1000，1200）＼&[1200，1400）＼&[1400，1600]＼&概率＼&0.12＼&0.26＼&0.38＼&0.16＼&0.08＼&]

（1）求年降水量在[800，1200）上的概率；

（2）如果年降水量≥1200mm，就可能發(fā)生澇災(zāi)，求該地區(qū)可能發(fā)生澇災(zāi)的概率.

分析（1）本題的關(guān)鍵是找到所求事件包含哪些互斥事件，年降水量在[800，1200）上由表中兩個互斥事件構(gòu)成，只需概率求和即可.

（2）本題的關(guān)鍵是找到所求事件包含哪些互斥事件，該地區(qū)可能發(fā)生澇災(zāi)由表中兩個互斥事件構(gòu)成，只需概率求和即可.

解（1）設(shè)[A]={年降水量在[800，1200）上}，事件[A]包含兩個互斥事件：

[B]={年降水量在[800，1000）上}，

[C]={年降水量在[1000，1200）上}.

所以[P（A）=P（B）+P（C）=0.26+0.38=0.64].

所以年降水量在[800，1200）上的概率為0.64.

（2）設(shè)[D]={年降水量≥1200mm}，事件[D]包含兩個互斥事件，[E]={年降水量在[1200，1400）上}，[F]={年降水量在[1400，1600]上}，

所以[P（D）=P（E）+P（F）=0.16+0.08=0.24].

所以該地區(qū)可能發(fā)生澇災(zāi)的概率為0.24.

點撥（1）出現(xiàn)形式：通過頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖的形式給出概率的分布，求某范圍內(nèi)的概率.（2）解題策略：首先正確分析和理解頻率分布表、頻率分布直方圖和莖葉圖的意義，找到概率事件包含的互斥事件；其次，明確所含互斥事件是否是有一個發(fā)生，是否是互斥且對立的，然后確定計算的方法.

考點三樣本的數(shù)字特征與概率相結(jié)合

例3在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用[xn]表示編號為[n（n=1，2，…，6）]的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢?/p>

[編號[n]＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&成績[xn]＼&70＼&76＼&72＼&70＼&72＼&]

（1）求第6位同學的成績[x6]及這6位同學成績的標準差[s].

（2）從前5位同學中，隨機地選出2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間（68，75）上的概率.

分析（1）由這6位同學的平均成績?yōu)?5分，建立關(guān)于[x6]的方程，可求得[x6]，然后求方差，再求標準差.

（2）用列舉法可得所求古典概型的概率.

解（1）因為這6位同學的平均成績?yōu)?5分，

所以[16]×（70+76+72+70+72+[x6]）=75，解得[x6]=90.

這6位同學成績的方差

[s2=16]×[（70-75）2+（76-75）2+（72-75）2+（70-75）2+（72-75）2+（90-75）2]=49，

所以標準差[s=7].

（2）從前5位同學中，隨機地選出2位同學的成績有：（70，76），（70，72），（70，70），（70，72），（76，72），（76，70），（76，72），（72，70），（72，72），（70，72），共10種.

恰有1位同學成績在區(qū)間（68，75）上的有：（70，76），（76，72），（76，70），（76，72），共4種.

所求的概率為[410=0.4].

即恰有1位同學成績在區(qū)間（68，75）上的概率為0.4.

點撥數(shù)字特征的意義：（1）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但無法客觀地反映總體特征.（2）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線.（3）標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)越分散；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)越集中.

考點四期望方差與正態(tài)分布、統(tǒng)計的綜合

例4從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

[質(zhì)量指標值][頻率

組距][0.033][0.024][0.022][0.009][0.008][0.002][165175185195205215225235]

（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)[x]和樣本方差[s2]（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）.

（2）由頻率分布直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值[Z]服從正態(tài)分布[N（μ，δ2）]，其中[μ]近似為樣本平均數(shù)[x]，[δ2]近似為樣本方差[s2].

①利用該正態(tài)分布，求[P（187.8

②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記[X]表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求[EX].

附：[150]≈12.2.若[Z]～[N（μ，δ2）]，則[P（μ-δ

分析（1）運用離散型隨機變量的期望和方差公式，即可求出.

（2）①由（1）知，[Z～N]（200，150），從而求出[P]（187.8

解（1）抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)[x]和樣本方差[s2]分別為

[x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33]

[+210×0.24+220×0.08+230×0.02][=200]，

[s2=-302×0.02+-202×0.09+-102×0.22]

[+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02][=150].

（2）①由（1）知，[Z]～[N（200，150）]，

從而[P（187.8

②由①知，一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826.

依題意知[X?B（100，0.6826）]，

所以[EX=100×0.6826=68.26].

點撥本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差，以及正態(tài)分布的特點及概率求解.

考點五獨立性檢驗與概率相結(jié)合

例5為了調(diào)查我市在校中學生參加體育運動的情況，從中隨機抽取了16名男同學和14名女同學，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女同學中分別有12人和6人喜愛運動，其余不喜愛.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：

[＼&喜愛運動＼&不喜愛運動＼&總計＼&男＼&＼&＼&16＼&女＼&＼&＼&14＼&總計＼&＼&＼&30＼&]

（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為性別與喜愛運動有關(guān)？

（3）將以上統(tǒng)計結(jié)果中的頻率視作概率，從我市中學生中隨機抽取3人，若其中喜愛運動的人數(shù)為[ξ]，求[ξ]的分布列和均值.

參考數(shù)據(jù)：

[[P（K2≥k0）]＼&0.40＼&0.25＼&0.10＼&0.010＼&[k0]＼&0.708＼&1.323＼&2.706＼&6.635＼&]

分析（1）本題是一個簡單的數(shù)字的運算，根據(jù)a，b，c，d的已知和未知的結(jié)果，填寫空格.

（2）假設(shè)是否喜愛運動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得觀測值，把求得的觀測值同臨界值進行比較，得到在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運動與性別有關(guān).

（3）喜愛運動的人數(shù)為[ξ，ξ]的取值分別為0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，利用等可能事件的概率公式求出概率，寫出分布列和期望.

解（1）

[＼&喜愛運動＼&不喜愛運動＼&總計＼&男＼&12＼&4＼&16＼&女＼&6＼&8＼&14＼&總計＼&18＼&12＼&30＼&]

（2）假設(shè)：是否喜愛運動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得，

[K2=30×（12×8-6×4）2（12+4）（6+8）（12+6）（4+8）≈3.2143

因此，在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運動與性別有關(guān).

（3）統(tǒng)計結(jié)果中喜愛運動的中學生所占的頻率為[35].

喜愛運動的人數(shù)為[ξ]的取值分別為：0，1，2，3，則有，

[P（ξ=0）=C03350253=8125]，

[P（ξ=1）=C1335?252=36