2023年江蘇省蘇州市平江中學數(shù)學高一下期末達標測試試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設首項為，公比為的等比數(shù)列的前項和為，則（）A． B． C． D．2．若||＝2cos15°，||＝4sin15°，的夾角為30°，則等于()A． B． C．2 D．3．某小組由名男生、名女生組成，現(xiàn)從中選出名分別擔任正、副組長，則正、副組長均由男生擔任的概率為（）A． B． C． D．4．在一段時間內(nèi)有2000輛車通過高速公路上的某處，現(xiàn)隨機抽取其中的200輛進行車速統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如右面的頻率分布直方圖所示．若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km/h～120km/h，試估計2000輛車中，在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車約有()A．30輛 B．1700輛 C．170輛 D．300輛5．內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，，，則這樣的三角形有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個6．若關于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0A．(-∞,0)∪(1,+∞) B．(0,1) C．(-∞,0]∪(1,+∞)7．將函數(shù)（其中）的圖象向右平移個單位，若所得圖象與原圖象重合，則不可能等于（）A．0 B． C． D．8．在中，角，，所對的邊分別為，，，且邊上的高為，則的最大值是（）A．8 B．6 C． D．49．在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為()A． B． C．1 D．310．《九章算術》卷第六《均輸》中，提到如下問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容，各多少？”其大致意思是說，若九節(jié)竹每節(jié)的容量依次成等差數(shù)列，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，則中間兩節(jié)的容量各是（）A．升、升 B．升、升C．升、升 D．升、升二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的值為．12．設為數(shù)列的前項和，若，則數(shù)列的通項公式為__________．13．已知，則.14．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則an＝_____15．已知直線過點，，則直線的傾斜角為______.16．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓與直線相切（1）若直線與圓交于兩點，求（2）已知，設為圓上任意一點，證明：為定值18．平面直角坐標系中，圓M與y軸相切，并且經(jīng)過點，．（1）求圓M的方程;（2）過點作圓M的兩條互垂直的弦AC、BD，求四邊形ABCD面積的最大值．19．如圖所示，在三棱柱中，側棱底面，，D為的中點，.（1）求證：平面；（2）求與所成角的余弦值．20．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，求：（Ⅰ）頂點的坐標；（Ⅱ）直線的方程21．已知函數(shù).（1）當時，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）當時，判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】Sn＝＝＝＝3－2an.2、B【解析】分析：先根據(jù)向量數(shù)量積定義化簡，再根據(jù)二倍角公式求值.詳解：因為，所以選B.點睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關公式進行化簡.3、B【解析】

根據(jù)古典概型的概率計算公式，先求出基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任包含的基本事件總數(shù)，由此能求出正、副組長均由男生擔任的概率．【詳解】某小組由2名男生、2名女生組成，現(xiàn)從中選出2名分別擔任正、副組長，基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任包含的基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任的概率為．故選．【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法。4、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車的頻率，由此能估2000輛車中，在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車約有多少輛.【詳解】由頻率分布直方圖得：在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車的頻率為0.03+0.035+0.02×10=0.85∴估計2000輛車中，在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車約有2000×0.85=1700（輛），故選B.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于中檔題.直方圖的主要性質有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為1；（2）組距與直方圖縱坐標的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標相乘后求和可得平均值；（4）直觀圖左右兩邊面積相等處橫坐標表示中位數(shù).5、C【解析】

根據(jù)和的大小關系，判斷出解的個數(shù).【詳解】由于，所以，故解的個數(shù)有兩個.如圖所示兩個解.故選：C【點睛】本小題主要考查正弦定理的運用過程中，三角形解的個數(shù)判斷，屬于基礎題.6、B【解析】

由題意，得出a≠0，再分析不等式開口和判別式，可得結果.【詳解】由題，因為為一元二次不等式，所以a≠0又因為ax所以a>0Δ=故選B【點睛】本題考查了一元二次不等式解法，利用二次函數(shù)圖形解題是關鍵，屬于基礎題.7、D【解析】由題意，所以，因此，從而，可知不可能等于．8、D【解析】，這個形式很容易聯(lián)想到余弦定理：cosA，①而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②將②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，當A＝時取得最大值4，故選D．點睛：三角形中最值問題，一般轉化為條件最值問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.9、B【解析】

根據(jù)向量的線性表示逐步代換掉不需要的向量求解.【詳解】設，所以所以故選B.【點睛】本題考查向量的線性運算，屬于基礎題.10、D【解析】

由題意知九節(jié)竹的容量成等差數(shù)列，至下而上各節(jié)的容量分別為a1，a2，…，an，公差為d，利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出中間一節(jié)的容量．【詳解】由題意知九節(jié)竹的容量成等差數(shù)列,至下而上各節(jié)的容量分別為a1，a2，…，a9，公差為d，即=4，=3，∴=4，=3，解得,，∴中間兩節(jié)的容量,，故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，解出首項與公差即可，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用商數(shù)關系式化簡即可．【詳解】，故填．【點睛】利用同角的三角函數(shù)的基本關系式可以化簡一些代數(shù)式，常見的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代數(shù)式化成關于正切的代數(shù)式，也可以把含有正切的代數(shù)式化為關于余弦和正弦的代數(shù)式；（2）“1”的代換法：有時可以把看成．12、，【解析】

令時，求出，再令時，求出的值，再檢驗的值是否符合，由此得出數(shù)列的通項公式.【詳解】當時，，當時，，不合適上式，當時，，不合適上式，因此，，.故答案為,.【點睛】本題考查利用前項和求數(shù)列的通項，考查計算能力，屬于中等題.13、【解析】試題分析：兩式平方相加并整理得，所以.注意公式的結構特點，從整體去解決問題.考點：三角恒等變換.14、【解析】

利用等比數(shù)列的前n項和公式列出方程組，求出首項與公比，由此能求出該數(shù)列的通項公式．【詳解】由題意，,不合題意舍去；當?shù)缺葦?shù)列的前n項和為，即，解得，所以，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．15、【解析】

根據(jù)兩點求斜率的公式求得直線的斜率，然后求得直線的傾斜角.【詳解】依題意，故直線的傾斜角為.【點睛】本小題主要考查兩點求直線斜率的公式，考查直線斜率和傾斜角的對應關系，屬于基礎題.16、【解析】分析：由復數(shù)的除法運算可得解.詳解：由，得.故答案為：.點睛：本題考查了復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用直線與圓相切，結合點到直線距離公式求出半徑，從而得到圓的方程；根據(jù)直線被圓截得弦長的求解方法可求得結果；（2）設，則，利用兩點間距離公式表示出，化簡可得結果.【詳解】（1）由題意知，圓心到直線的距離：圓與直線相切圓方程為：圓心到直線的距離：，（2）證明：設，則即為定值【點睛】本題考查直線與圓的綜合應用問題，涉及到直線與圓位置關系的應用、直線被圓截得弦長的求解、兩點間距離公式的應用、定值問題的求解.解決定值問題的關鍵是能夠用變量表示出所求量，通過化簡、消元整理出結果.18、(1)；(2)最大值為1．【解析】

（1）通過分析題意，可設圓心坐標為，再通過待定系數(shù)法即可求得。（2）若采用直線方程和圓的方程聯(lián)立求解相對較為復雜，可采用將題設條件轉化為圓心到直線距離問題，結合勾股定理可大大簡化運算，最后再結合均值不等式進行求解?！驹斀狻拷猓海?）由題意，M在線段PQ的垂直平分線（即x軸）上，設；由圓M與y軸相切，所以圓M的半徑為，圓M的標準方程為，代入，解得，所以圓M的方程為.（2）設圓心M到直線AC，BD的距離分別為m，n，則，且，，四邊形ABCD的面積因為，且m，n均為非負數(shù)，所以，當且僅當，等號成立；綜上，四邊形ABCD面積的最大值為1．【點睛】圓的弦長問題轉化為點到直線的距離問題往往化繁為簡19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接，設與相交于點O，連接OD.證明OD為的中位線，得，即可證明；（2）由（1）可知，為與所成的角或其補角，在中，利用余弦定理求解即可【詳解】(1)證明：如圖，連接，設與相交于點O，連接OD.∵四邊形是平行四邊形．∴點O為的中點．∵D為AC的中點，∴OD為的中位線，平面，平面，平面.（2）由（1）可知，為與所成的角或其補角在中，D為AC的中點，則同理可得，在中，與BD所成角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定，異面直線所成的角，考查空間想象能力與計算能力是基礎題20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設，可得中點坐標，代入直線可得；將點坐標代入直線得，可構造出方程組求得點坐標；（Ⅱ）設點關于的對稱點為，根據(jù)點關于直線對稱點的求解方法可求得，因為在直線上，根據(jù)兩點坐標可求得直線方程.【詳解】（Ⅰ）設，則中點坐標為：，即：又，解得：，（Ⅱ）設點關于的對稱點為則，解得：邊所在的直線方程為：，即：【點睛】本題考查直線方程、直線交點的求解；關鍵是能夠熟練應用中點坐標公式和點關于直線對稱點的求解方法，屬于?？碱}型.21、（1）見解析；（2）見