數(shù)學(xué)課件（新教材人教A版強(qiáng)基版）第七章立體幾何與空間向量77向量法求空間角（一）

向量法求空

間角(一)第七章立體幾何與空間向量能用向量法解決異面直線、直線與平面所成角的問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問題中的作用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_______.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(

)××√(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sinθ＝cos〈u，n〉.(

)×A.30° B.60°C.120° D.150°√2.已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為√因?yàn)閟1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為√探究核心題型第二部分題型一異面直線所成的角√√因?yàn)椤螦OD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，連接CO，則CO⊥平面ABD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線AD與BC所成的角為θ，用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為_____.設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD.因?yàn)椤鰽BC和△BCD所在平面互相垂直，所以O(shè)A，OC，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)異面直線AB和CD所成的角為θ，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，題型二直線與平面所成的角(1)證明：BD⊥PA；[切入點(diǎn)：由等腰梯形ABCD的性質(zhì)求BD長(zhǎng)](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.[關(guān)鍵點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系求法向量]利用空間向量求線面角的解題步驟(1)若G是DP的中點(diǎn)，求證：AG⊥BD；設(shè)圓柱OQ的底面半徑為r，高為h.在底面圓O中，∠APB＝90°，∠ABP＝60°，所以AP＝BP·tan60°＝3.因?yàn)閳A柱OQ的母線DA⊥底面APB，所以DA⊥BP，DA⊥AP.因?yàn)椤螦PB＝90°，所以PA⊥BP，又PA∩AD＝A，所以BP⊥平面APD.因?yàn)锳G?平面APD，所以BP⊥AG.在△DAP

中，AD＝AP＝3，G是DP的中點(diǎn)，所以DP⊥AG.又BP∩DP＝P，所以AG⊥平面BPD.因?yàn)锽D?平面PBD，所以AG⊥BD.顯然，向量n＝(1,0,0)是平面ABCD的一個(gè)法向量.設(shè)GB與平面ABCD所成的角為θ，課時(shí)精練第三部分12345678910111213141516√基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516由題意可知，AB，AC，AA1兩兩相互垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為√1234567891011121314151612345678910111213141516建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，√1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，設(shè)平面D1EC的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516123456789101112131415164.(2023·滄州模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AP與BA1所成角的余弦值為√12345678910111213141516方法一設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，取CC1的中點(diǎn)Q，連接PQ，AD1，AC，AQ，∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴PQ∥CD1∥A1B，故∠APQ就是AP與BA1所成的角或其補(bǔ)角，12345678910111213141516方法二設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(2,0,0)，P(0,1,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，12345678910111213141516√12345678910111213141516取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n＝(x，y，z)為平面B1DC的法向量，12345678910111213141516令z＝1，得n＝(0,2,1)，設(shè)直線AD與平面B1DC所成的角為α，則12345678910111213141516√12345678910111213141516∵AB是圓柱底面圓的一條直徑，∴∠AOB＝90°，∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°；∵AB是圓柱的底面圓的直徑，∴∠ACB＝90°，又∠OAB＝45°，∴四邊形OACB為正方形，設(shè)AB＝2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，12345678910111213141516設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為θ，12345678910111213141516112345678910111213141516解得a＝1，所以棱AB的長(zhǎng)度是1.1234567891011121314151612345678910111213141516以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，射線AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由x軸⊥平面PAC得平面PAC的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)，設(shè)直線PB與平面PAC所成的角為α，123456789101112131415169.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.12345678910111213141516(1)求證：BD⊥平面PAC；12345678910111213141516因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又因?yàn)锳C∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值.1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)AC∩BD＝O.因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2，12345678910111213141516設(shè)PB與AC所成的角為θ，則10.如圖，在三棱柱ABC

－A1B1C1中，各棱長(zhǎng)均相等.D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn).12345678910111213141516(1)證明：EF∥平面A1CD；12345678910111213141516在三棱柱ABC

－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以A1F∥DE，且A1F＝DE，因此四邊形A1FED為平行四邊形，所以EF∥A1D，又EF?平面A1CD，A1D?平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)若三棱柱ABC－A1B1C1為直棱柱，求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.1234567891011121314151612345678910111213141516方法一設(shè)A1B1的中點(diǎn)為O，連接OC1，OD，因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為直棱柱，所以O(shè)D⊥平面A1B1C1，所以O(shè)D⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1為等邊三角形，所以O(shè)C1⊥A1B1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA1，OD，OC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.12345678910111213141516設(shè)平面A1CD的法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516令x＝2，得n＝(2,1,0).設(shè)直線BC與平面A1CD所成的角為θ，12345678910111213141516方法二因?yàn)榈酌鍭BC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，AA1，AB?平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1.如圖，在平面A1ABB1內(nèi)，過點(diǎn)B作BG⊥A1D，交A1D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CG，則BG⊥平面A1CD，所以∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角.1234567891011121314151611.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).有以下三個(gè)命題：①異面直線AC1與B1F所成的角是定值；②三棱錐B－A1EF的體積是定值；③直線A1F與平面B1CD1所成的角是定值.其中真命題的個(gè)數(shù)是12345678910111213141516綜合提升練√12345678910111213141516以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，設(shè)F(t,1,1－t)(0≤t≤1)，12345678910111213141516三棱錐B－A1EF的底面A1BE的面積為定值，且CD1∥BA1，BA1?平面A1BE，CD1?平面A1BE，所以CD1∥平面A1BE，點(diǎn)F是線段CD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可得點(diǎn)F到底面A1BE的距離為定值，故三棱錐B－A1EF的體積是定值，故②正確；12.(多選)關(guān)于正方體ABCD－A1B1C1D1，下列說法正確的是A.直線AC1⊥平面A1BDB.若平面A1BD與平面AB1D1的交線為l，則l與AD所成的角為45°12345678910111213141516√√√12345678910111213141516如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，令x＝－1，則y＝z＝1，即n＝(－1,1,1)，12345678910111213141516∵A(2,0,0)，C1(0,2,2)，則直線AC1⊥平面A1BD，故A正確；結(jié)合圖形可知，平面A1BD與平面AB1D1的交線l即為直線MN，M(1,0,1)，N(2,1,1)，12345678910111213141516∴l(xiāng)與AD所成的角為45°，故B正確；12345678910111213141516如圖，取棱CC1的中點(diǎn)E，連接PC1，QC1，PE，BE，∵P，E分別為棱DD1，CC1的中點(diǎn)，則PE∥DC且PE＝DC，又∵AB∥DC且AB＝DC，則PE∥AB且PE＝AB，∴四邊形ABEP為平行四邊形，則AP∥BE，∵Q，E分別為棱BB1，CC1的中點(diǎn)，則C1E∥BQ且C1E＝BQ，12345678910111213141516∴四邊形BEC1Q為平行四邊形，則BE∥C1Q，∴AP∥C1Q，同理可證，AQ∥C1P，∴經(jīng)過點(diǎn)A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形AQC1P，1234567891011121314151613.若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為____.12345678910111213141516方法一令M為AC的中點(diǎn)，連接MB，MA1，由題意知△ABC是等邊三角形，所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC.因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM?平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.因?yàn)锳1M?平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，12345678910111213141516所以AC，BM，A1M兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，MA，MB，MA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AA1＝AC＝AB＝2，12345678910111213141516設(shè)異面直線AC1與A1B所成的角為θ，12345678910111213141516方法二如圖所示，在平面ABC，平面A1B1C1中分別取點(diǎn)D，D1，連接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四邊形ABDC，A1B1D1C1為平行四邊形，連接DD1，BD1，則AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其補(bǔ)角為異面直線AC1與A1B所成的角.連接A1D1，過點(diǎn)A1作A1M⊥AC于點(diǎn)M，連接BM，設(shè)AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，12345678910111213141516因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M?平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC.又BM?平面ABC，1234567891011121314151612345678910111213141516212345678910111213141516取AD的中點(diǎn)O，連接A1O，因?yàn)锳A1＝A1D，O為AD的中點(diǎn)，則A1O⊥AD，因?yàn)槠矫鍭A1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，A1O?平面AA1D1D，所以A1O⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作AB的平行線為x軸，OD，OA1所在直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A1O＝a，其中a＞0，則A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，A1(0,0，a)，C1(2,2，a)，D(0,1,0)，12345678910111213141516取x＝a，則m＝(a，－a，－1)，12345678910111213141516拓展沖刺練15.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中點(diǎn)，則直線A1C與平面EFGHKL所成角的大小為_____；若P，Q是六邊形EFGHKL邊上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線D1B與直線PQ所成的最小角為θ，則sinθ的值為_____.90°12345678910111213141516則A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)(2,2,1)，G(1,2,2)，∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF?平面EFGHKL，∴A1C⊥平面EFGHKL，∴直線A1C與平面EFGHKL所成角的大小為90°.12345678910111213141516設(shè)直線D1B與平面EFGHKL所成的角為α，則12345678910111213141516∵直線PQ?平面EFGHKL，∴直線D1B與直線PQ所成的角最小