幾何圖形中線段和差的最值問題課件

線段和差的最值問題APMBCD..菱形ABCD中，AB=10,∠BAD=600,M是邊AB上的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn).（1）求PB+PM的最小值.（2）求PB-PM的最大值，并指出此時(shí)點(diǎn)P的位置.問題提出ABA’P課本原型：如圖，要在小河旁修建一個(gè)抽水站，向村莊A、B供水，水站應(yīng)建在什么地方，才能使從A，B到它的距離之和最短？小河

基本解法:利用對(duì)稱性構(gòu)造三點(diǎn)共線依據(jù):兩點(diǎn)之間線段最短基本圖形兩條線段和的最小值兩點(diǎn)之間，線段最短線段和差的最值問題解題策略兩條線段差的最大值三角形兩邊之差小于第三邊當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，PA＋PB最小當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，QD－QC最大線段和差的最值問題解題策略當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，PA＋PB最小當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，QD－QC最大第一步，尋找、構(gòu)造幾何模型第二步，計(jì)算ABCDM（1）若M是AB邊上的中點(diǎn)，求PM+PB的最小值.如圖，正方形ABCD中，AB=2,P是對(duì)角線AC上一點(diǎn).PP利用對(duì)稱性構(gòu)造三點(diǎn)共線典例分析ABCDM點(diǎn)動(dòng)線不動(dòng)（2）若M、N分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且AM=CN=1/3AB,求PM+PN的最小值.PNA組變式：點(diǎn)B換成了點(diǎn)N如圖，正方形ABCD中，AB=2,P是對(duì)角線AC上一點(diǎn).ABCD（3）連結(jié)QC，點(diǎn)P、M是QC、BC上任意點(diǎn)，求PM+PB的最小值。B組變式：改動(dòng)了對(duì)稱軸的位置，點(diǎn)M變成了動(dòng)點(diǎn)如圖，正方形ABCD中，AB=2,Q是AB中點(diǎn)，QB’MP點(diǎn)線一起動(dòng)PM線段和的最值問題課本例題或常見題考題如何去解？化歸來源引申、條件變換、背景轉(zhuǎn)換、增加解題層次性等1.分清定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、對(duì)稱軸2.利用對(duì)稱性構(gòu)造三點(diǎn)共線09濟(jì)南24已知在對(duì)拋物線的稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).線段和差的最值問題解題策略（例一）要求△PBC的周長最??？線段和差的最值問題解題策略第一步

尋找、構(gòu)造幾何模型只要PB+PC最小就好了！經(jīng)典模型：建水站！線段和差的最值問題解題策略把PB+PC轉(zhuǎn)化為PA+PC

！當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到H時(shí)，PA+PC最小第二步

計(jì)算——勾股定理09內(nèi)江27對(duì)于動(dòng)點(diǎn)Q（1，n），求PQ+QB的最小值.線段和差的最值問題解題策略（例一之變式）要求PQ+QB的最小值？線段和差的最值問題解題策略第一步

尋找、構(gòu)造幾何模型經(jīng)典模型：建水站！線段和差的最值問題解題策略把PQ+QB轉(zhuǎn)化為PQ+QA

！當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，PQ+QA最小第二步

計(jì)算——勾股定理線段和差的最值問題解題策略第二步

計(jì)算——勾股定理把PQ+QB轉(zhuǎn)化為PQ+QA

！當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，PQ+QA最小線段和差的最值問題解題策略小結(jié)E?F!08福州22在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.線段和差的最值問題解題策略（例二）08福州22要求四邊形MNFE的周長最?。烤€段和差的最值問題解題策略把三條線段轉(zhuǎn)移到同一條直線上就好了！第一步

尋找、構(gòu)造幾何模型第二步

計(jì)算——勾股定理線段和差的最值問題解題策略小結(jié)線段和差的最值問題解題策略經(jīng)典模型：臺(tái)球兩次碰壁問題經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)存：沒有經(jīng)驗(yàn)，難有思路2010南通28設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－1，P（m，n）是拋物線y＝1/4x2-1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長最小時(shí)，求四邊形CODP的面積．線段和差的最值問題解題策略（例三）過點(diǎn)P作PH⊥L，垂足為H，延長HP交x軸于點(diǎn)G，設(shè)P（m,n）則∴∴∵∴OP=PH要使△PDO的周長最小，因?yàn)镺D是定值，所以只要OP+PD最小，∵OP=PH∴只要PH+PD最小根據(jù)“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短?！笨芍?dāng)點(diǎn)D、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PD最小，因此，當(dāng)點(diǎn)D、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，△PDO的周長最小。線段和的最值問題課本例題或常見題考題如何去解？化歸：（利用對(duì)稱性構(gòu)造三點(diǎn)共線）來源引申、條件變換、移植轉(zhuǎn)換、增加解題層次性等小結(jié)歸納已知拋物線若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Ｍ自Ｐ(0,1)出發(fā)，先到達(dá)對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A。確定使點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)F的位置，并求出這個(gè)最短路程的長。yoX1-1(0,2)A?(0,1)P?A’(5,2)F課堂練習(xí)1yoXC1-1(0,2)A?(0,1)P?F變一變

若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Ｍ自Ｐ出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A。確定使點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置，并求出這個(gè)最短路程的長EyoXC1-1(0,2)A?(0,1)P?A’(5,2)F變一變

若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Ｍ自Ｐ(0,1)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A。確定使點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置，并求出這個(gè)最短路程的長EP’

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).（Ⅰ）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（Ⅱ）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).課堂練習(xí)2課堂練習(xí)2課堂練習(xí)2

如圖：已知點(diǎn)Ａ（-4，8）和點(diǎn)Ｂ（2，ｎ）在拋物線ｙ＝ａｘ２上，（1)求ａ的值及點(diǎn)Ｂ關(guān)于Ｘ軸對(duì)稱點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)，并在Ｘ軸上找一點(diǎn)Ｑ，使得ＡＱ＋ＱＢ最短，求出點(diǎn)Ｑ的坐標(biāo)；（2）平移拋物線ｙ＝ａｘ２，記平移后點(diǎn)Ａ的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａˊ，點(diǎn)Ｂ的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ｂˊ，點(diǎn)Ｃ（-2，0）和Ｄ（-4，0）是Ｘ軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，ＡˊＣ＋ＣＢˊ最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；

②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形ＡˊＢˊＣＤ的周長最短？若存在求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由。課堂練習(xí)34x22A8-2O-2-4y6BCD-44

解：(1)將點(diǎn)A(-4，8)的坐標(biāo)代入，解得． 將點(diǎn)B(2，n)的坐標(biāo)代入，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-2)． 直線AP的解析式是． 令y=0，得．即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(，0)．

課堂練習(xí)3（2）①設(shè)將拋物線向左平移m個(gè)單位，則平移后A′，B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-m，-8)．直線A′′B′的解析為．要使A′C+CB′最短，點(diǎn)C應(yīng)在直線A′′B′上，將點(diǎn)C(-2，0)代入直線A′′B′的解析式，解得． 故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)A′C+CB′最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為．

課堂練習(xí)3

②左右平移拋物線，因?yàn)榫€段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短； 第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短．第二種情況：設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．因?yàn)镃D=2，因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-b，-8)，