初二數(shù)學經(jīng)典動點問題

初二數(shù)學經(jīng)典動點問題

1、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm。動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運動。P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒。（1）當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？（3）當t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形？2、在△ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的外角平分線CF于點F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于點E。（1）試說明EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結論；（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結論。3、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm。點M從點A開始，沿邊AD向點D運動，速度為1cm/s；點N從點C開始，沿邊CB向點B運動，速度為2cm/s。點M、N分別從點A、C出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒。（1）當t為何值時，四邊形MNCD是平行四邊形？（2）當t為何值時，四邊形MNCD是等腰梯形？4、在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動。當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止。已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x/2cm。（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構成一個三角形；（2）當x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由。5、直線y=-34x+6與坐標軸分別交于A、B兩點，動點P、Q同時從O點出發(fā)，同時到達A點，運動停止。點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線O?B?A運動。（1）直接寫出A、B兩點的坐標。1、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm。點P從A開始沿AD邊以1cm/秒的速度移動，點Q從C開始沿CB向點B以2cm/秒的速度移動。設移動時間為t秒。求S與t之間的函數(shù)關系式。設點Q運動時間為t（秒），則點P的運動時間為t+3（秒），因為AD=18，所以點P的坐標為（0，18+t），點Q的坐標為（21-2t，0），點B的坐標為（21，0）。連接PB、PA、QC，可以得到△PAB和△QBC，它們的底邊分別為14和21-2t，高均為18+t，所以它們的面積分別為7(18+t)和(21-2t)(18+t)。因此，△OPQ的面積S為：S=△OAB+△QBC-△OPB-△OPQ=7(18+t)+(21-2t)(18+t)-14(18+t)-1/2(21-2t)(18+t)=36t-1/2t^2因此，S與t之間的函數(shù)關系式為S=36t-1/2t^2。當S=485時，求出點P的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標。將S=36t-1/2t^2=485帶入得到t=17或t=19。因為點P從A開始沿AD邊以1cm/秒的速度移動，所以當t=17時，點P的坐標為（0，35），當t=19時，點P的坐標為（0，37）。當t=17時，點Q的坐標為（21-2×17，0）=(-13,0)。因此，以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標為（-13,35）。當t=19時，點Q的坐標為（21-2×19，0）=(-17,0)。因此，以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標為（-17,37）。2、如圖2，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為。根據(jù)三角不等式，有DN+MN≥DM=1。當點N在AC的中點時，DN+MN=1，此時DN+MN取得最小值。3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，如下圖所示：因為AC=BC，所以∠CAB=∠CBA，∠CAD=∠CBD，因此△ADC和△CEB的兩個銳角分別相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。因為AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四邊形ADME是一個矩形，所以DE=AM。又因為△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此DE=AM=BC^2/2CD=AD+BE。（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，如下圖所示：因為AC=BC，所以∠CAB=∠CBA，∠CAD=∠CBD，因此△ADC和△CEB的兩個銳角分別相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。因為AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四邊形ADME是一個矩形，所以DE=AM。又因為△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此DE=AM=BC^2/2CD=AD-BE。（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明。當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，如下圖所示：因為AC=BC，所以∠CAB=∠CBA，∠CAD=∠CBD，因此△ADC和△CEB的兩個銳角分別相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。因為AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四邊形ADME是一個矩形，所以DE=AM。又因為△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此DE=AM=BC^2/2CD。因為AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，因此AD=BD=AB/√2=10/√2，BE=CE=BC/√2=7/√2。因此，DE=BC^2/2CD=49/CD，AD=10/√2，BE=7/√2。因此，DE/AD=49/(10√2)、DE/BE=49/(7√2)，因此DE^2=AD×BE×49/2，即DE^2=245/2，所以DE=7√(5/2)。因此，DE、AD、BE滿足DE^2=AD×BE×49/2，即它們具有等量關系。4、如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點D為AB的中點。（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動。①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；當點Q的運動速度與點P的運動速度相等時，它們的速度均為3cm/s，經(jīng)過1秒后，點P到達D點，點Q到達A點，因此△BPD和△CQP的底邊均為8厘米，高均為6厘米，因此它們的面積相等，即△BPD≌△CQP。②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？當點Q的運動速度為6cm/s時，它們的速度比為2:1，經(jīng)過2秒后，點P到達D點，點Q到達A點，此時△BPD和△CQP的底邊均為8厘米，高均為6厘米，因此它們的面積相等，即△BPD≌△CQP。（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？點Q的速度為6cm/s，點C到A的距離為10厘米，因此點Q從C到A需要的時間為10/6秒。點P的速度為3cm/s，點B到C的距離為8厘米，因此點P從B到C需要的時間為8/3秒。因此，點Q從C到A的時間為10/6秒，點P從B到C的時間為8/3秒，它們的時間之和為（10/6+8/3）秒=2秒。因此，點P和點Q在△ABC的邊BC上相遇，相遇點為D點。5、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合。（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；如下圖所示，連接AE、AF、BF、CE、CF、DE。因為ABCD是菱形，所以AD=BC=4，∠BAD=120°，因此△ABD是等邊三角形，所以BD=4。因為△AEF是正三角形，所以AE=EF=FA=4，因此△AEF是等邊三角形。因為AE=FA=4，所以∠EAF=60°，因此∠BAF=∠BAD-∠EAF=60°，因此△ABF是等邊三角形，所以BF=4。因為ABCD是菱形，所以∠ACB=∠BCD=60°，因此△BCD是等邊三角形，所以CD=4。因為ABCD是菱形，所以∠ADB=∠BDC=60°，因此△ADB和△BDC是等腰三角形，所以AD=BD=CD=4。因為AE=4，所以∠AEB=∠AED=60°，所以四邊形ABED是一個圓形，所以∠EAB=∠EDB=30°，因此∠FCD=∠BCD-∠BCF=60°-30°=30°，因此△FCD是等腰三角形，所以CF=CD=4。因此，BE=BD-DE=4-CE=CF。因此，不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF。當點E、F在線段BC和CD上滑動時，我們需要分別探討四邊形AECF和三角形CEF的面積是否會發(fā)生變化。如果它們的面積不會發(fā)生變化，我們需要