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第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用平面圖形的面積空間立體的體積平面曲線的弧長(zhǎng)小結(jié)xyo曲邊梯形的面積穿針法或微元素法曲邊梯形的面積被積函數(shù)上-下、右-左一、平面圖形的面積1直角坐標(biāo)系情形解兩曲線的交點(diǎn)，面積元素選
為積分變量解方程組注被積函數(shù)為上-下，上為
下為解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量注被積函數(shù)為“右-左”右為直線，左為拋物線如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積解橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．面積元素曲邊扇形的面積
2.極坐標(biāo)系情形解于是解利用對(duì)稱性知解由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積圓柱圓錐圓臺(tái)二空間立體的體積
旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．1旋轉(zhuǎn)體的體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為變化范圍解直線方程為過原點(diǎn)
及點(diǎn)解fx))()(22ppp+dxxfxxfdxxdV(2)(=-=證明：如圖，體積元素利用公式，可知上例中2、平行截面面積為已知的立體的體積從計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的過程可以看出：如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.立體體積解建立坐標(biāo)系，底圓方程為截面面積立體體積取平面與圓柱體的交線為軸，底面上過圓心、且垂直于軸的直線為軸解建立坐標(biāo)系，底圓方程為截面面積立體體積三平面曲線的弧長(zhǎng)1、平面曲線弧長(zhǎng)的概念定理光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的.簡(jiǎn)介光滑曲線
當(dāng)曲線上每一點(diǎn)處都具有切線，且切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣的曲線稱為光滑曲線。就是弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)由第三章的弧微分公式知2直角坐標(biāo)情形解x2,1y=因?yàn)?1dxxds2)12+=從而弧長(zhǎng)元素所以弧長(zhǎng)為設(shè)曲線弧為弧長(zhǎng)3參數(shù)方程情形解的一拱的長(zhǎng)度.所以曲線弧為弧長(zhǎng)4極坐標(biāo)情形從例13
求阿基米德螺線qar=
)0(>a上相應(yīng)于q0到p2的弧長(zhǎng).
解1求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.2旋轉(zhuǎn)體的體積
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