線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間狀態(tài)的描述

2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間1、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的兩類數(shù)學(xué)描述（1）系統(tǒng)的外部描述（輸入-輸出描述）特點(diǎn)：避開表征系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)過程，反映外部變量間的因果關(guān)系。系統(tǒng)作為“黑箱”例如：一個(gè)系統(tǒng)是線性定常數(shù)的，且只有一個(gè)輸出變量和一個(gè)輸入變量，那么其外部描述為如下形式的一個(gè)線性常系數(shù)微分方程：(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述2.

狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義

狀態(tài)變量組的完全表征性：如果給定了時(shí)刻這組變量值，和時(shí)輸入，那么，系統(tǒng)在的任何瞬間的行為就完全確定了。

個(gè)數(shù)最小性：減少變量，描述不完整，增加則一定存在線性相關(guān)的變量。

意味著:這組變量是互相獨(dú)立的。

狀態(tài)變量組選取不唯一兩個(gè)狀態(tài)組之間的關(guān)系

狀態(tài)軌跡

狀態(tài)空間：對(duì)實(shí)際系統(tǒng)來說，一般就是：狀態(tài)隨時(shí)間變化形成中一條運(yùn)動(dòng)軌跡（軌線）2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的（動(dòng)力學(xué)）結(jié)構(gòu)2.連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

狀態(tài)方程：將通式化為矩陣形式有：其中：

輸出方程：通式為：將通式化為矩陣形式有：其中：(2)狀態(tài)空間表達(dá)式非唯一性,狀態(tài)變量非唯一，導(dǎo)致矩陣

A,B,C,D非唯一。

(3)上述系統(tǒng)稱為定常（時(shí)不變）線性系統(tǒng)

(1)為方便，經(jīng)常用表示線性系統(tǒng)[說明]：

動(dòng)態(tài)方程或狀態(tài)空間表達(dá)式：將狀態(tài)方程和輸出方程聯(lián)立，就構(gòu)成動(dòng)態(tài)方程或狀態(tài)空間表達(dá)式：常用符號(hào)：[定常線性系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖（方塊圖）]：模擬結(jié)構(gòu)圖：積分器比例器加法器3.連續(xù)時(shí)間時(shí)變系統(tǒng)：狀態(tài)空間描述一般形式為：(連續(xù)時(shí)間)線性時(shí)變系統(tǒng)的方塊圖：4.狀態(tài)空間描述舉例例考察下圖所示的簡(jiǎn)單電路，電路各組成元件的參數(shù)為已知，輸入變量取為電壓源，輸出變量取為電阻兩端的電壓

（1）確定狀態(tài)變量

(2)根據(jù)電路定律列出電路的原始方程ABCD5.離散時(shí)間線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

各變量在離散的時(shí)刻取值，狀態(tài)空間反映離散時(shí)刻的變量組間的因果關(guān)系和轉(zhuǎn)換關(guān)系。用k=0,1,2..，來表示離散的時(shí)刻狀態(tài)和輸出方程（差分形式）

或時(shí)變形式

[小結(jié)]:

本節(jié)主要對(duì)：狀態(tài)變量組、狀態(tài)、狀態(tài)空間、系統(tǒng)狀態(tài)描述等基本概念進(jìn)行了討論，這部分知識(shí)是本章的基礎(chǔ)。

2.3連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述分類

線性和非線性系統(tǒng)

非線性系統(tǒng):另外:

一個(gè)非線系統(tǒng)可通過泰勒展開獲得局部近似線性化系統(tǒng)（P.29,自學(xué)）

時(shí)變和時(shí)不變（自治）系統(tǒng)

連續(xù)（時(shí)間）和離散（時(shí)間系統(tǒng)）

連續(xù)系統(tǒng)：微分方程表示離散系統(tǒng)：差分方程表示

確定性和非確定性系統(tǒng)

確定性系統(tǒng)：參數(shù)、動(dòng)態(tài)等都是確定的或隨時(shí)間變化的確定性函數(shù)

非確定性系統(tǒng)：系統(tǒng)含有不確定性成分，如參數(shù)未知（攝動(dòng)），外部未知干擾，未建模動(dòng)態(tài)（動(dòng)態(tài)攝動(dòng)），輸入和擾動(dòng)隨機(jī)變量（隨機(jī)系統(tǒng)）2.4由系統(tǒng)的輸入輸出導(dǎo)出狀態(tài)空間方程（SISO系統(tǒng)）1、由輸入輸出描述（含傳遞函數(shù)）導(dǎo)出狀態(tài)空間方程2、由方塊圖導(dǎo)出狀態(tài)空間方程

1.由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間方程

通常將由輸入-輸出描述確定狀態(tài)空間描述的問題稱為實(shí)現(xiàn)問題。考慮一個(gè)連續(xù)時(shí)間SISO線性定常(時(shí)不變)系統(tǒng)

線性定常數(shù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述具有如下的形式：實(shí)現(xiàn)問題歸結(jié)為：通過選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，確定A、B、C、D,使得結(jié)論2.1[由SISO描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述]證明：(1)m<n的情況。結(jié)論2.2[由SISO描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述]證明：只證情形（自學(xué)）。

此時(shí)，狀態(tài)變量取為

實(shí)現(xiàn)方塊圖

2.由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述由輸入-輸出描述狀態(tài)空間描述選取適當(dāng)狀態(tài)變量確定參數(shù)ABCD

兩個(gè)結(jié)論(方法)

對(duì)角線法、方塊圖法結(jié)果不唯一2.5線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)1.線性系統(tǒng)(矩陣)的特征多項(xiàng)式2.線性系統(tǒng)(矩陣)的特征根3.線性系統(tǒng)(矩陣)的特征向量和廣義特征向量(部分內(nèi)容,自學(xué))稱一個(gè)非零列向量為矩陣A的屬于特征值的特征向量，如果成立。特征向量是不唯一的。當(dāng)n個(gè)特征值為兩兩互異時(shí)，任取的n個(gè)特征向量必是線性無關(guān)的。給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程系統(tǒng)的特征值（根）定義為如下特征方程的根特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)

設(shè)為矩陣A的一個(gè)特征值，且有則稱為的代數(shù)重?cái)?shù)再若則稱為的幾何重?cái)?shù)廣義特征向量稱一個(gè)非零向量是矩陣A的屬于的級(jí)廣義特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)k=1時(shí)，廣義特征向量就等同于通常所定義的特征向量。性質(zhì)1：設(shè)是A的屬于的級(jí)廣義特征向量，則如下定義的個(gè)向量必是線性無關(guān)的：并且稱此向量組為長(zhǎng)度是的廣義特征向量鏈。廣義特征向量基本性質(zhì)證明：成立的常數(shù)必全為零，即將上式兩邊乘以，則得到下式，只需證明使下式則已知，則同樣，乘以，可導(dǎo)出則證明完成。性質(zhì)2：矩陣A的屬于不同特征值的廣義特征向量之間必為線性無關(guān)。2.6狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形1、非奇異變換2、將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型3、將狀態(tài)空間表達(dá)式變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型1、線性非奇異變換（坐標(biāo)變換）：[系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的等價(jià)性]：

同一系統(tǒng)的狀態(tài)描述不唯一,但不同狀態(tài)變量可通過線性變換互相得到。兩組狀態(tài)變量的關(guān)系：其中：滿足上述關(guān)系的兩個(gè)系統(tǒng)稱為等價(jià)系統(tǒng)線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下都是等價(jià)的(特征多項(xiàng)式、特征根、極點(diǎn)等均不變).證：2.特征根互異時(shí)對(duì)角化

給定n維線性系統(tǒng)

假定A有n個(gè)互異的特征根對(duì)應(yīng)的特征向量為

結(jié)論2.4[特征根互異時(shí)的約當(dāng)形（對(duì)角形）]

證明：

對(duì)兩邊求導(dǎo)，得其中，

另一方面，[注]：1）對(duì)角規(guī)范形下，狀態(tài)已解耦2)兩類典型規(guī)范形（對(duì)角形與能控規(guī)范形）之間的關(guān)系：

能控規(guī)范形：

易證：Ａ有ｎ個(gè)互異特征根上述結(jié)論中的Ｐ可取為

則在坐標(biāo)變換下，能控形規(guī)范性化為對(duì)角形

3)含復(fù)特征根時(shí)，對(duì)角規(guī)范形（實(shí)數(shù)化）不失一般性，只考慮含一對(duì)共軛復(fù)根的情形

A的實(shí)特征根:

A的復(fù)特征根

變換后的狀態(tài)：實(shí)狀態(tài)：

共軛復(fù)狀態(tài)：對(duì)時(shí)間求導(dǎo)替換：得實(shí)數(shù)化對(duì)角規(guī)范形

狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：1）求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。3）由變換矩陣P和矩陣A，B，C求出，其中對(duì)角陣可以由特征值直接寫出。2)對(duì)于每個(gè)特征值，計(jì)算其特征向量。并由此組成非奇異變換陣P。[例]

線性定常系統(tǒng)，其中：將此狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型.當(dāng)時(shí)，2)確定非奇異矩陣P[解]:1)求其特征值:取:當(dāng)時(shí)，取:同理當(dāng)時(shí)，得:3）求對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型為：3.特征根含重根的情形

考慮系統(tǒng)：設(shè)特征根為：代數(shù)重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù)這里相應(yīng)于特征值的廣義特征向量所組成的變換矩陣為Q(可逆)結(jié)論2.5[重特征根時(shí)約當(dāng)規(guī)范形]在坐標(biāo)變換下，系統(tǒng)變?yōu)槠渲?，為相?yīng)于特征根的約當(dāng)塊，且可進(jìn)一步表示為個(gè)小約當(dāng)塊組成的塊對(duì)角矩陣:

證明：略。說明：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形：各狀態(tài)變量間是完全解耦的。約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：各狀態(tài)變量間最簡(jiǎn)單的耦合形式，每個(gè)變量至多和下一個(gè)變量有關(guān)聯(lián)。

陣的求法分為兩塊，一塊是互異部分；另一塊是重根部分。則的求法為：由此求得：

Q的求解步驟假設(shè)系統(tǒng)有m重特征根，其余為n-m個(gè)互異特征根，則上式中，為重根對(duì)應(yīng)的特征向量； 為互異特征根對(duì)應(yīng)的特征向量。設(shè)：狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對(duì)于每個(gè)特征值，計(jì)算其特征向量，對(duì)于重特征值，還要計(jì)算其廣義特征向量。并由此組成非奇異變換陣Q。3）由變換矩陣Q和矩陣A，B，C求出，其中約當(dāng)矩陣可以由特征值直接寫出，只需求出即可。[例]：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：將此化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.[解]:1)確定系統(tǒng)特征值2)確定系統(tǒng)特征向量，得到Q所以：3）求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：，其中如上2.7由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣１、傳遞函數(shù)矩陣２、由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣３、傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)用算法

１、傳遞函數(shù)矩陣（MIMO系統(tǒng)）回顧：SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

其中，和分別是零初始條件下輸出和輸入的拉普拉斯變換。一般可表示為

注：

傳遞函數(shù)矩陣G(s)的（嚴(yán)）真性

嚴(yán)真當(dāng)且僅當(dāng)所有的嚴(yán)真;

真當(dāng)且僅當(dāng)除嚴(yán)真的元素外至少還有一個(gè)是真

由真G(s)導(dǎo)出嚴(yán)真

G(s)的極點(diǎn)是矩陣G(s)的特征多項(xiàng)式的根。特征多項(xiàng)式：G(s)所有1階、2階，…min(p,q)階子式的最小公分母。2.由狀態(tài)方程導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣注：G(s)的首１化特征多項(xiàng)式與Ａ的特征多項(xiàng)式相等，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)能控能觀；否則，G(s)的特征多項(xiàng)式的次數(shù)小于Ａ的特征多項(xiàng)式次數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)能控能觀時(shí)，G(s)的極點(diǎn)與Ａ的特征根相同；否則，G(s)的極點(diǎn)集是Ａ的特征根集合的子集。結(jié)論：傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異（坐標(biāo)）變換下不變。證：

[例]

求由表述系統(tǒng)的G(s)

由傳遞函數(shù)陣公式得：根據(jù)矩陣求逆公式：求得傳遞函數(shù)陣為：3.G(s)的實(shí)用算法

結(jié)論2.7[算法]：線性定常系統(tǒng)∑(A,B,C,D）的傳遞函數(shù)矩陣G(s)可如下計(jì)算：

其中證明：略（自學(xué)）。例：計(jì)算G(s)(1).計(jì)算特征多項(xiàng)式(2).計(jì)算Ei(3).計(jì)算G(s)2.8線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性大部分已講過，其余自學(xué)．2.9組合系統(tǒng)狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣由兩個(gè)或兩個(gè)以上的子系統(tǒng)按一定方式聯(lián)接構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。組合的基本方式可以分為串聯(lián)、