2021年北京市石景山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（學(xué)生版+解析版）

2021年北京市石景山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，符合題意的選項只有一

2.（2分）2020年11月10日，中國“奮斗者”號載人潛水器在馬里亞納海溝成功坐底，坐

底深度10909米，刷新中國載人深潛的新紀(jì)錄.將10909用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.10909xlO5B.1.0909xl05C.1.0909xl04D.10.909xlO3

3.（2分）實數(shù)加，〃在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

-3-2-1012345

A.m<-\B.|-2n|<0C.m+n<0D.n-2m>0

4.（2分）在下列面點(diǎn)烘焙模具中，其圖案是中心對稱圖形的是（）

5.（2分）若一個多邊形的內(nèi)角和為540。，則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.6B.5C.4D.3

6.（2分）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其

中《盈不足》卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有共買物，人出八，贏三；人出七，不足

四.問人數(shù)、物價各幾何？”譯文：“今有人合伙購物，每人出8錢，會多出3錢；每人出

7錢，又差4錢.問人數(shù)、物價各多少？”設(shè)人數(shù)為x人，物價為y錢，根據(jù)題意，下面所

列方程組正確的是（）

8x+3=y8x-3=y

B.

7x-4=y7x+4=y

8元+3=y8x-3=y

D.

7x+4=y7x—4=y

7.（2分）下列兩個變量之間的關(guān)系為反比例關(guān)系的是（）

A.圓的周長與其半徑的關(guān)系

B.平行四邊形面積一定時，其一邊長與這邊上的高的關(guān)系

C.銷售單價一定時，銷售總價與銷售數(shù)量的關(guān)系

D.汽車勻速行駛過程中，行駛路程與行駛時間的關(guān)系

8.（2分）如圖為某二次函數(shù)的部分圖象，有如下四個結(jié)論：

①此二次函數(shù)表達(dá)式為y=:/-x+9；

②若點(diǎn)在這個二次函數(shù)圖象上，則〃>〃?；

③該二次函數(shù)圖象與X軸的另一個交點(diǎn)為（-4,0）；

④當(dāng)0vxv6時，7?7<y<8.

所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）二次根式有意義，則x的取值范圍是—.

10.（2分）分解因式:9x2-y2=.

11.（2分）若2=2,則代數(shù)式上上的值是_.

y3x+2y

12.（2分）不透明的盒子中有3個紅球，1個白球，這些球除顏色外無其他差別.從中隨機(jī)

摸出一個球不放回，再從中隨機(jī)摸出一個球，兩次摸出的恰好都是紅球的概率是—.

13.（2分）如圖，在口。中，半徑OC_LAB于點(diǎn)”，若N04B=4O。，則NABC=°.

14.（2分）如圖，小石同學(xué)在A,3兩點(diǎn)分別測得某建筑物上條幅兩端C,力兩點(diǎn)的仰角

均為60。，若點(diǎn)O,A,8在同一直線上，A,8兩點(diǎn)間距離為3米，則條幅的高C￡＞為一米

（結(jié)果可以保留根號）.

15.（2分）為了解某市常住人口的變化情況，收集并整理了2011年至2020年的常住人口

（單位：萬人）數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖如下：

常住人口（萬人）

16.（2分）某餐廳在客人用餐完畢后收拾餐桌分以下幾個步驟：①回收餐具與剩菜、清潔

桌面；②清潔椅面與地面；③擺放新餐具.前兩個步驟順序可以互換，但擺放新餐具必須在

前兩個步驟都完成之后才可進(jìn)行，每個步驟所花費(fèi)時間如表所示：

步驟回收餐具清潔椅面擺放新餐

時間（分鐘）與剩菜、與地面具

桌別清潔桌面

大桌532

小桌321

現(xiàn)有三名餐廳工作人員分別負(fù)責(zé)：①回收餐具與剩菜、清潔桌面，②清潔椅面與地面，③擺

放新餐具，每張桌子同一時刻只允許一名工作人員進(jìn)行工作.現(xiàn)有兩張小桌和一張大桌需要

清理，那么將三張桌子收拾完畢最短需要一分鐘.

三、解答題（本題共68分，第17-22題每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27-28

題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17.（5分）計算：（；）T+&+|-5|Vcos45。.

x+5>3

18.（5分）解不等式組：4X-3x.

.5'"2

19.（5分）下面是小景設(shè)計的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.

已知:如圖1,直線/和/外一點(diǎn)A.

求作：直線AE,使得MJL/于點(diǎn)E.

作法：①在直線/上取一點(diǎn)8,連接至（如圖2）；

②作線段/W的垂直平分線CO,交他于點(diǎn)O;

③以。為圓心，08長為半徑作圓，交直線/于點(diǎn)E；

④作直線AE.

所以直線AE即為所求作的直線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：8為線段鉆的垂直平分線，

:.OA=____.

AB=2OB.

二.Ab是口。的直徑.

ZA￡B=90°（___）（填推理的依據(jù)）.

20.（5分）關(guān)于x的一元二次方程x?+（k+3）x+3%=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若該方程有一個根大于1,求A的取值范圍.

21.（5分）如圖，在匚438中，BC=2CD,E,F分別是位）,BC的中點(diǎn)，連接瓦'.

（1）求證：四邊形EFCD是菱形；

（2）連接"，若AF=26,ZDEF=60°,則即的長為____；菱形EFCD的面積為____.

22.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/:y=x-3與函數(shù)y=@(x>0)的圖象G交于點(diǎn)

P(4,b).

(1)求a,b的值；

(2)直線《：丫=履代=0)與直線/交于點(diǎn)例，與圖象G交于點(diǎn)N,點(diǎn)〃到y(tǒng)軸的距離記為

4，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離記為&，當(dāng)4>4時，直接寫出&的取值范圍.

23.(6分)如圖，OA是□。的半徑，A3與口相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C在口。上且AC=A8,D

為AC的中點(diǎn)，連接連接C8交OD于點(diǎn)E,交。4于點(diǎn)F.

(1)求證：OE=OF；

3

(2)若OE=3,sinZAOD=-,求班'的長.

24.(6分)閱讀下面材料：

小石遇到這樣一個問題：如圖1,ZABC=90°,DE分別是NABC的邊84,BC上的動點(diǎn)

(不與點(diǎn)8重合)，/4DE與"EC的角平分線交于點(diǎn)P,AD8E的周長為a,過點(diǎn)P作

月“_1_84于點(diǎn)加，PNA.BC于點(diǎn)N,求PM+PN與ADBE的周長。的數(shù)量關(guān)系.

小石通過測量發(fā)現(xiàn)了垂線段與PN的數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)造全等三角形和直角三角形，經(jīng)

過推理和計算使問題得到解決.

請回答：線段產(chǎn)例與PN的數(shù)量關(guān)系為；

AW+PN與。的數(shù)量關(guān)系是.

參考小石思考問題的方法，解決問題：

如圖2,當(dāng)N/WC=60。時，其它條件不變，判斷點(diǎn)P到/圮的距離與AD8E的周長a的數(shù)量

關(guān)系，并簡要說明理由.

A

25.（6分）某校舉行“云端好聲音”線上歌唱比賽活動豐富同學(xué)們的居家生活.由1至4

號的專業(yè)評委和5至10號的大眾評委進(jìn)行評分.

例如：A節(jié)目演出后各個評委所給分?jǐn)?shù)如表：

評委編12345678910

號

評分/7.27.57.87.58.29.77.96.78.59.4

分

評分方案如下：

方案一：取各位評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)則該節(jié)目的得分為

_7.2+7.5+7.5+7.5+8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4…

x=----------------------------------------------=8.04.

10

方案二：從評委所給的分?jǐn)?shù)中先去掉一個最高分和一個最低分，再取其余八位評委所給分?jǐn)?shù)

的平均數(shù)，則該節(jié)目的得分為x=72+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.4=80（）

8

回答下列問題：

（1）小樂認(rèn)為“方案二”比“方案一”更合理，你—小樂的說法嗎（填“同意”或“不

同意”）？理由是—；

（2）小樂認(rèn)為評分既要突出專業(yè)評審的權(quán)威性又要尊重大眾評審的喜愛度，因此設(shè)計了“方

案三”：先計算1至4號評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)1=7.5,5至10號評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)

兀=8.4,再根據(jù)比賽的需求設(shè)置相應(yīng)的權(quán)重（工表示專業(yè)評委的權(quán)重，人表示大眾評委的權(quán)

重，且工+力=1）.

如當(dāng)=0.7時，貝I」力=1-0.7=0.3.

該節(jié)目的得分為亍=ftx,+/-X,=0.7X7.5+0.3X8.4=7.77.

I?當(dāng)按照“方案三”中工=0.6評分時，A節(jié)目的得分為.

II.關(guān)于評分方案，下列說法正確的有—.

①當(dāng)/=0.5時，A節(jié)目按照“方案三”和“方案一”評分結(jié)果相同；

②當(dāng)/＞0.4時，說明“方案三”評分更注重節(jié)目的專業(yè)性；

③當(dāng)/#0.3時，A節(jié)目按照“方案三”評分的結(jié)果比“方案一”和“方案二”都高.

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)A是拋物線＞=-丁+2瘦-/+2/?+1的頂點(diǎn).

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含機(jī)的代數(shù)式表示）；

（2）若射線。4與了軸所成的銳角為45。，求m的值；

（3）將點(diǎn)P（0,l）向右平移4個單位得到點(diǎn)Q,若拋物線與線段尸。只有一個公共點(diǎn)，直接

寫出機(jī)的取值范圍.

27.（7分）在AABC中，AB=AC,/朋。=。（0。＜￡＜60。）.點(diǎn)E是AABC內(nèi)動點(diǎn)，連接

AE,CE,將AAEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a,使AC邊與A3重合，得至I]AAOB,延長CE與

射線比＞交于點(diǎn)M（點(diǎn)”與點(diǎn)。不重合）.

（1）依題意補(bǔ)全圖1;

（2）探究與的數(shù)量關(guān)系為；

（3）如圖2,若DE平分ZADB,用等式表示線段MC,AE,之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

28.（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)p和線段ST,我們定義點(diǎn)P關(guān)于線段ST的

—(PS<PT)

線段比攵=S7

PT

—(PS..PT)

[ST

(1)已知點(diǎn)A(O,1),8(1,0).

①點(diǎn)Q(2,0)關(guān)于線段AB的線段比k=

②點(diǎn)C(0,c)關(guān)于線段他的線段比左=后，求c的值.

(2)已知點(diǎn)/(〃?,0),點(diǎn)N(m+2,0),直線y=x+2與坐標(biāo)軸分別交于E,尸兩點(diǎn)，若線

段EE上存在點(diǎn)使得這一點(diǎn)關(guān)于線段MN的線段比匕,，直接寫出機(jī)的取值范圍.

4

2021年北京市石景山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個

1.（2分）

A.

【解答】解：A、

3、該幾何體是圓柱，故本選項不符合題意.

C、幾何體是圓錐，故本選項不符合題意.

D,幾何體是球體，故本選項不符合題意.

故選：A.

2.（2分）2020年11月10日，中國“奮斗者”號載人潛水器在馬里亞納海溝成功坐底，坐

底深度10909米，刷新中國載人深潛的新紀(jì)錄.將10909用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.10909xl05B.1.0909xl05C.1.0909xl04D.10.909x10s

【解答】解：10909用科學(xué)記數(shù)法可以表示：1.0909X104.

故選：C.

3.（2分）實數(shù)加，”在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

-3-2-1012345

A.m<—\B.|-2n|<0C.m+n<0D.n—2m>0

【解答】解：A.?.?數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，

,不符合題意；

8.?.?一個數(shù)的絕對值具有非負(fù)性，

選項不符合題意；

C.?/m<0.n>0,|w|<|/?|,

選項不符合題意;

D.,/m<0,

-2，?t>0,

.\n-2m>0，

選項符合題意.

故選：D.

4.（2分）在下列面點(diǎn)烘焙模具中，其圖案是中心對稱圖形的是（）

【解答】解：4、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點(diǎn)，使它繞這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180

度以后，能夠與它本身重合，即不滿足中心對稱圖形的定義.不符合題意；

8、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點(diǎn)，使它繞這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度以后，能

夠與它本身重合，即不滿足中心對稱圖形的定義.不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點(diǎn)，使它繞這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度以后，能

夠與它本身重合，即不滿足中心對稱圖形的定義.不符合題意；

￡>、是中心對稱圖形，符合題意.

故選：D.

5.（2分）若一個多邊形的內(nèi)角和為540。，則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.6B.5C.4D.3

【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是〃，

則（〃-2）/80。=540。,

解得,

故選：B.

6.（2分）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其

中《盈不足》卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有共買物，人出八，贏三；人出七，不足

四.問人數(shù)、物價各幾何？”譯文：“今有人合伙購物，每人出8錢，會多出3錢；每人出

7錢，又差4錢.問人數(shù)、物價各多少？”設(shè)人數(shù)為工人，物價為y錢，根據(jù)題意，下面所

列方程組正確的是（)

而

睪

其

衍

8x+3=y8x-3=y

B.

7x-4=j7x+4=y

8戈+3=y

7x+4=y7x-4=y

【解答】解：設(shè)人數(shù)為X人，物價為y錢,

8x-3=y

依題意得:

7尤+4=y

故選：B.

7.（2分）下列兩個變量之間的關(guān)系為反比例關(guān)系的是（）

A.圓的周長與其半徑的關(guān)系

B.平行四邊形面積一定時，其一邊長與這邊上的高的關(guān)系

C.銷售單價一定時，銷售總價與銷售數(shù)量的關(guān)系

D.汽車勻速行駛過程中，行駛路程與行駛時間的關(guān)系

【解答】解：A.圓的周長與其半徑是正比例函數(shù)，故不符合題意；

B.平行四邊形面積一定時，其一邊長與這邊上的高是反比例函數(shù)，故符合題意;

C.銷售單價一定時，銷售總價與銷售數(shù)量是正比例函數(shù)，故不符合題意；

D.汽車勻速行駛過程中，行駛路程與行駛時間是正比例函數(shù)，故不符合題意.

故選：B.

8.（2分）如圖為某二次函數(shù)的部分圖象，有如下四個結(jié)論：

①此二次函數(shù)表達(dá)式為y=乙/-x+9；

4

②若點(diǎn)8(-1,〃)在這個二次函數(shù)圖象上，則〃〉，〃；

③該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點(diǎn)為(T,0)；

④當(dāng)0<xv6時，m<y<8.

所有正確結(jié)論的序號是()

［解答］解:①從圖象看，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9),拋物線和x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),

則設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)2+9,

將(8,0)代入上式得：0=a(8-2)2+9,解得“=」，

4

故拋物線的表達(dá)式為y=x+8,故①錯誤，不符合題意；

4

②從點(diǎn)力、B的橫坐標(biāo)看，點(diǎn)A距離拋物線對稱軸遠(yuǎn)，故〃〉機(jī)正確，符合題意；

③拋物線的對稱軸為直線x=2,拋物線和x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),則另外一個交點(diǎn)為

(-4,0)，

故③正確，符合題意；

④從圖象看，當(dāng)0<x<6時，m<y?9,故④錯誤，不符合題意；

故選：C.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.(2分)二次根式有意義，則x的取值范圍是

【解答】解：根據(jù)題意得：X-5..0,

解得X..5.

故答案為：x..5.

10.(2分)分解因式:9x2—y2=_(3x+y)(3x—y)_.

【解答］解:原式=(3x+y)(3x-y),

故答案為：(3x+>)(3%-y).

11.(2分)若4=2,則代數(shù)式上工的值是一1.

y3x+2y~8-

【解答］解：?；±=2,

y3

?,.設(shè)x=2,，y=3t,

x-y_2/-3f_T_1

…x+2y-2r+6r_8r--8,

故答案為-1.

8

12.(2分)不透明的盒子中有3個紅球，1個白球，這些球除顏色外無其他差別.從中隨機(jī)

摸出一個球不放回，再從中隨機(jī)摸出一個球，兩次摸出的恰好都是紅球的概率是-.

一2一

【解答】解：畫樹狀圖如圖：

共有12個等可能的結(jié)果，兩次摸出的恰好都是紅球的結(jié)果有6個,

???兩次摸出的恰好都是紅球的概率為幺=,，

122

故答案為：—.

2

13.(2分)如圖，在口O中，半徑OC_LAB于點(diǎn)”，若NQ4B=4O。，則Z4BC=25°.

【解答】解：?.?OCLA8,

.■.ZAHO=90°,

NO=90°-NQ4B=90°-40°=50°,

ZABC=-ZO=25°.

故答案為25.

14.（2分）如圖，小石同學(xué)在A,B兩點(diǎn)分別測得某建筑物上條幅兩端C,。兩點(diǎn)的仰角

均為60。，若點(diǎn)O,A,3在同一直線上，A,3兩點(diǎn)間距離為3米，則條幅的高CD為

36_米（結(jié)果可以保留根號）.

【解答】解：由題意可得，

ZCAO=ZDBO=60°,ZCOA=ZDOB=90°,

/八…OC…八ODOC+Ci

vtanZ.CAO=,tanZ.DBO==----------

OAOBOA+Ai

OC-coOC+CD

tan60=----,tan60=-------------,

OAOA+3

OC=y/3OA,G(OA+3)=OC+CD,

6(0A+3)=60A+C￡>,

解得CO=36,

故答案為：3G.

15.（2分）為了解某市常住人口的變化情況，收集并整理了2011年至2020年的常住人口

（單位：萬人）數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖如下：

根據(jù)統(tǒng)計圖，寫出一條有關(guān)該市常住人口變化情況的信息：該市常住人口逐年增加，2020

年首次出現(xiàn)下降.

【解答】解：由條形統(tǒng)計圖知，該市常住人口逐年增加，2020年首次出現(xiàn)下降，

故答案為：該市常住人口逐年增加，2020年首次出現(xiàn)下降（答案不唯一）.

16.（2分）某餐廳在客人用餐完畢后收拾餐桌分以下幾個步驟：①回收餐具與剩菜、清潔

桌面；②清潔椅面與地面；③擺放新餐具.前兩個步驟順序可以互換，但擺放新餐具必須在

前兩個步驟都完成之后才可進(jìn)行，每個步驟所花費(fèi)時間如表所示：

步驟回收餐具清潔椅面擺放新餐

時間（分鐘）與剩菜、與地面具

桌別清潔桌面

大桌532

小桌321

現(xiàn)有三名餐廳工作人員分別負(fù)責(zé)：①回收餐具與剩菜、清潔桌面，②清潔椅面與地面，③擺

放新餐具，每張桌子同一時刻只允許一名工作人員進(jìn)行工作.現(xiàn)有兩張小桌和一張大桌需要

清理，那么將三張桌子收拾完畢最短需要12分鐘.

【解答】解：設(shè)工作人員1負(fù)責(zé)①回收餐具與剩菜、清潔桌面，工作人員2負(fù)責(zé)②清潔椅面

與地面，工作人員3負(fù)責(zé)③擺放新餐具，具體流程如下圖：

5小桌①;8小桌②11

工作人員1：------

大桌：：

工作：〃墟①2”一②4（■

■（

:大桌小桌①：〃■②

工作人員3：'nsn12

將三張桌子收拾完畢最短需要12分鐘，

故答案是：12.

三、解答題（本題共68分，第17-22題每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27-28

題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17.（5分）計算：（；尸+曲+|-5|Teos45。.

【解答】解：原式=2+20+5-4x變

2

=2+2短+5-2夜

=7.

x+5>3

18.（5分）解不等式組：<4x-3x-

、5…5

【解答】解：解不等式x+5>3,得：x>-2,

解不等式竺zE..士，得："2,

52

則不等式組的解集為X..2.

19.（5分）下面是小景設(shè)計的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1,直線/和/外一點(diǎn)A.

求作：直線隹，使得隹_U于點(diǎn)E.

作法：①在直線/上取一點(diǎn)8,連接至（如圖2）；

②作線段的垂直平分線CO,交他于點(diǎn)O;

③以。為圓心，08長為半徑作圓，交直線/于點(diǎn)E；

④作直線AE.

所以直線AE即為所求作的直線.

,A

圖1B圖2

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明.

證明：?.?8為線段A3的垂直平分線，

:.OA=_OB

;.AB=2OB.

.,./W是□。的直徑.

AZA￡；B=90°（）（填推理的依據(jù)）.

:.AE±l.

證明：；8為線段鉆的垂直平分線，

OA—OB.

.?.AB=2OB.

二.AB是口。的直徑.

/.ZA￡B=90°（直徑所對的圓周角為直角）.

:.AEA.l.

故答案為08；直徑所對的圓周角為直角.

20.（5分）關(guān)于x的一元二次方程/+（k+3）x+3k=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根;

（2）若該方程有一個根大于1,求k的取值范圍.

【解答】（1）證明：?.?△=（左+3>-4x34

=爐+6后+9-12左

=也一3）2..0,

方程總有兩個實數(shù)根；

（2）?.?（x+3）（x+Q=0,

X]=-3,%=-k，

?.?該方程有一個根大于1,

/.—k>1,解得k<—1?

即左的范圍為&V-1.

21.（5分）如圖，在匚438中，BC=2CD,E,F分別是位）,BC的中點(diǎn)，連接回'.

（1）求證：四邊形EFCD是菱形；

（2）連接AF,若AF=26，Z￡>EF=60°,則EF的長為2；菱形EFCD的面積為____.

【解答】證明：（1）在l」45C￡>中，BC=2CD,

:.AD//BC,AD=BC=2CD,

：E,尸分別是45,3C的中點(diǎn)，

:.DE=CF=CD,

又49//BC,

四邊形EFCD是平行四邊形，

又\CD=DE,

.?.四邊形）'8是菱形；

（2）如圖，過點(diǎn)F作切_LAT>于“，

??.DE=EF=AE,

???N￡>E尸=60。，

:.ZEFH=30°t

EH=-EF,FH=EEH,

2

:.AH=AE+EH=3EH,

AF2=AH2+HF-,

:.\2=9EH2+3EH2,

:.EH=\,

:.EF=2=DE,HF=&,

：.菱形EFCD的面積=2x拒=2&,

故答案為：2,2G.

22.(5分)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線/：y=x-3與函數(shù)y=4(x>0)的圖象G交于點(diǎn)

x

P(4,b).

(1)求a,b的值；

(2)直線《：y=fcc(ZwO)與直線/交于點(diǎn)用，與圖象G交于點(diǎn)N,點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離記為

4,點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離記為當(dāng)4時，直接寫出出的取值范圍.

【解答】解：將(4,加代入y=x-3得6=4-3=1,

.,.點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,1),

/.a=4xl=4,

故a=4,b=l.

(2)?.?圖象G:y=q在第一象限，

X

：.正比例函數(shù)y=fcr中無>0時與圖象G有交點(diǎn),

??,直線4:y=丘(女,0)與直線/有交點(diǎn),

...攵,

當(dāng)交點(diǎn)M在第一象限時，Ovkvl,

當(dāng)交點(diǎn)M,P,N時重合時，4=出，

此時％=1+4=—，

4

由對稱性可知點(diǎn)M,N同時在雙曲線上,

、二一4

聯(lián)立方程X

y=x-3

解得x=T或x=4,

???點(diǎn)M橫坐標(biāo)為一1,

把x=-1代入y=x-3得y=-4,

二.點(diǎn)M坐標(biāo)為(-1,-4),

此時女［=4

1.1v左<4.

綜上所述，!＜后＜1或1＜么＜4.

4

23.（6分）如圖，OA是口。的半徑，與□相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C在口。上且AC=A8,D

為AC的中點(diǎn)，連接O￡）,連接CB交O￡）于點(diǎn)E,交Q4于點(diǎn)F.

(1)求證：OE=OF；

(2)若OE=3,sinZAOD=-,求跖的長.

5

【解答】（1）證明：?.?OC=Q4,。為AC的中點(diǎn),

:.OD.LAC9

;.ZDCE+ZDEC=90。,

???A5與口相切于點(diǎn)A,

：.OA±AB,

.\ZOAB=90°,

/.Z/^+ZB=90°,

\-AC=AB,

??.ZACB=ZB,

;./CED=ZAFB,

???NCED=NOEF,ZAFB=NOFE,

,\ZOEF=ZOFE,

:.OE=OF;

3

（2）W：sinZAOD=—，

5

AD3

?.-----=—,

OA5

設(shè)AD=3x,OA=5x,

:.OD=4x,

?：OE=OF=3,

/.DE=4x-3，AF=5x—3，

AC=2AD=6x，

AB=6x,

-ZACB=ZB,

/.tanZACB=tanAB，

.DE_AF

4x—35x—3

二.-----=-----，

3x6x

解得x=l,

.\AF=2，AB=6，

BF=>JAF2+AB2=V22+62=2M.

24.（6分）閱讀下面材料：

小石遇到這樣一個問題：如圖1,ZABC=90°,AE分別是NABC的邊84,3c上的動點(diǎn)

（不與點(diǎn)8重合），/4QE與"EC的角平分線交于點(diǎn)P,AD8E的周長為。，過點(diǎn)尸作

PMLBA于點(diǎn)M,PN_L8c于點(diǎn)N,求PM+PN與ADBE的周長。的數(shù)量關(guān)系.

小石通過測量發(fā)現(xiàn)了垂線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)造全等三角形和直角三角形，經(jīng)

過推理和計算使問題得到解決.

請回答：線段與PN的數(shù)量關(guān)系為_PM=PN_；

PM+PN與。的數(shù)量關(guān)系是

參考小石思考問題的方法，解決問題：

如圖2,當(dāng)NABC=60。時，其它條件不變，判斷點(diǎn)P到上的距離與ADBE的周長a的數(shù)量

關(guān)系，并簡要說明理由.

【解答】解：過點(diǎn)P作尸G1.OE,垂足為G,

?.?ZM史與NDEC的角平分線交于點(diǎn)P,PM上BA于點(diǎn)M,PN1BC于點(diǎn)、N,

:.PM=PG=PN,ZPNE=APGE=ZPGD=ZPMD=90°,

?:PE=PE,PD=PD,

RtAPNEaRtAPGE(HL),RtAPGD=RtAPMD(HL),

：.MD=GD,NE=GE,

?.?AZME的周長為a,

:.PM+PN=BD+DM+BE+EN=BD+DG+BE+GE=BD+BE+DE=a.

故答案為：PM=PN,PM+PN=a；

解決問題：

PH=—a.

6

連接3P,過P作于",

:.PM=PH,ZMDP=ZHDP,

"MD="HD{AAS),

:.DM=DH,

同理，PH=PN,HE=EN,

:.PM=PN,

?；PM工BM,PNLBC,

/.RtABMP二RtABNP(HL),

；.NPBN=NPBM/ZABC=30。,MB=NB,

2

???MB+NB=DB+DM+BE+EN=PB+BE+DE=a,

.\MB=NB=-,

2

G

:.PM=MBtan300=—a.

6

25.（6分）某校舉行“云端好聲音”線上歌唱比賽活動豐富同學(xué)們的居家生活.由1至4

號的專業(yè)評委和5至10號的大眾評委進(jìn)行評分.

例如：A節(jié)目演出后各個評委所給分?jǐn)?shù)如表：

評委編12345678910

號

評分/7.27.57.87.58.29.77.96.78.59.4

分

評分方案如下：

方案一：取各位評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)則該節(jié)目的得分為

_7.2+7.5+7.5+7.5+8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4…

x=--------------------------------------------------------------------------=8.04.

10

方案二：從評委所給的分?jǐn)?shù)中先去掉一個最高分和一個最低分，再取其余八位評委所給分?jǐn)?shù)

的平均數(shù)，則該節(jié)目的得分為I=72+75+7.8+7.5+&2+7.9+&5+9.4=800

8

回答下列問題：

（1）小樂認(rèn)為“方案二”比“方案一”更合理，你同意小樂的說法嗎（填“同意”或

“不同意”）？理由是一；

（2）小樂認(rèn)為評分既要突出專業(yè)評審的權(quán)威性又要尊重大眾評審的喜愛度，因此設(shè)計了“方

案三”：先計算1至4號評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)工=7.5,5至10號評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)

兀=8.4,再根據(jù)比賽的需求設(shè)置相應(yīng)的權(quán)重（工表示專業(yè)評委的權(quán)重，后表示大眾評委的權(quán)

重，且工+￡=1）.

如當(dāng)/=0.7時，則力=1-0.7=0.3.

該節(jié)目的得分為元=/鼻+￡兀=0.7x7.5+0.3x8.4=7.77.

I.當(dāng)按照“方案三”中工=0.6評分時，A節(jié)目的得分為一.

II.關(guān)于評分方案，下列說法正確的有—.

①當(dāng)/=0.5時，A節(jié)目按照“方案三”和“方案一”評分結(jié)果相同；

②當(dāng)/>0.4時，說明“方案三”評分更注重節(jié)目的專業(yè)性；

③當(dāng)工工0.3時，A節(jié)目按照“方案三”評分的結(jié)果比“方案一”和“方案二”都高.

【解答】解：（1）同意，理由：平均數(shù)易受極端值影響，故方案二更合理；

故答案為：同意，平均數(shù)易受極端值影響，故方案二更合理；

（2）I.當(dāng)工=0.6時,由題意知,-=1-f=0.4,=7.5,x,=8.4,

該節(jié)目得分：x=/；%,+/-x,=0.6x7.5+0.4x8.4=7.86

.?.￡=0.6時，A節(jié)目的得分為7.86.

故答案為:7.86；

II.正確的有③.

①工=0.5時，1=+（1-/）^2=0.5x7.5+0.5x8.4=7.95,

8.04*7.95,故①錯誤;

②/>0.5時，說明方案三評的更注重節(jié)目的專業(yè)性，故②錯誤；

③工=0.3,x=03x7.5+0.7x8.4=8.13,

v8.13>8.04,8.13>8.00,

.?.③正確.

故答案為：③.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線丫=-*2+2g-/+2加+1的頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)若射線Q4與x軸所成的銳角為45。，求機(jī)的值；

(3)將點(diǎn)尸(0,1)向右平移4個單位得到點(diǎn)。，若拋物線與線段尸。只有一個公共點(diǎn)，直接

寫出機(jī)的取值范圍.

【解答】解：(1)y=-x2+2mx-m2+2m+1=-(x-m)2+2m+1,

頂點(diǎn)A{m,2m+1)；

(2)設(shè)x=m,y=2m+1,消掉m,得y=2x+l,

r.A在直線y=2x+l上運(yùn)動，

所在象限可能為第一、第二、第三象限，

?.?射線Q4與x軸所成的夾角為45。，

可以分兩類討論，

①當(dāng)A在第一、第三象限時，〃2=2帆+1,

解得m=—I,

②當(dāng)A在第二象限時，m+2m+\=0,

解得m=-->

3

或」；

3

(3)當(dāng)P(0,l)向右平移4個單位長度得到。，

則。(4,1),且《?！▁軸

v拋物線與線段尸。只有一個交點(diǎn)，且拋物線頂點(diǎn)A在直線y=2x+\上運(yùn)動，

,由圖1可得，當(dāng)頂點(diǎn)A與尸點(diǎn)重合時，符合條件，此時帆=0,

由圖2,數(shù)形結(jié)合，當(dāng)頂點(diǎn)A沿直線y=2x+l向上運(yùn)動時，拋物線與直線產(chǎn)。均有兩個交點(diǎn)，

當(dāng)拋物線經(jīng)過。點(diǎn)時，即當(dāng)x=4,y=l時;-(4-my+2m+l=\,

=2或8,

當(dāng)”=2時，拋物線為y=-(x-2f+5,它與線段尸Q的交點(diǎn)為P和。，有兩個交點(diǎn)，不合

題意，舍去，

當(dāng)利=8時，拋物線對稱軸右側(cè)的部分剛好經(jīng)過點(diǎn)Q,符合題意,

當(dāng)噫所8,且加片2時，拋物線與線段PQ只有一個交點(diǎn)

ZBAC=a(0°<a<60°).點(diǎn)￡是AABC內(nèi)動點(diǎn)，連接

AE,CE,將MEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a,使AC邊與A3重合，得至I]MDB,延長CE與

射線3。交于點(diǎn)M(點(diǎn)”與點(diǎn)。不重合).

(1)依題意補(bǔ)全圖1；

(2)探究與NA￡M的數(shù)量關(guān)系為_NAQM=NA￡M_；

(3)如圖2,若DE平分")3,用等式表示線段MC,AE,9之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

A

(2)?.?將AAEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到AADB，

:.ZAEC=ZADB,

:.ZADM=ZAEM,

故答案為：ZADM=ZAEM.

(3)MC=AE+BD,理由如下：

連接40,AAMD和AAWE■公共邊為AM,且/4ZW=NA￡M,

r.A、M、￡＞、E共圓，如圖：

：.ZMAD=ZMED,

?.?DE平分/4QB,

:.ZADE=ZEDB,

???將AAEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到MDB,

/.AD=AE,BD=EC,

:.ZADE=ZAED,

:.ZEDB=ZAED,

:.BM//AE,

.\ZDME=ZAEM9

\-ZADM=ZAEM,

??.ZDME=ZADM，

在AAW和AEDM中，

AMAD=/MED

<NAQM=Z.DME,

DM=DM

/.^AMD=AEDM(A45),

:.AD=ME,

:.AE=ME9

?.?MC=ME+EC,

:.MC=AE+BD.

28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)〃和線段ST,我們定義點(diǎn)P關(guān)于線段ST的

PC

—(PS<PT)

線段比k="

PT

—(PS..PT)

(1)已知點(diǎn)A(0,l),8(1,0).

①點(diǎn)Q(2,0)關(guān)于線段AB的線段比k=_節(jié)_；

②點(diǎn)C(0,c)關(guān)于線段43的線段比％=3,求