2015屆高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí)資源2篇函數(shù)與基本初等

第2講 函數(shù)的單調(diào)性與最值知識梳理1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，如果對于定義域A內(nèi)某個區(qū)間I上的任意兩個自變量x1，x2當(dāng)x1＜x2時，都有

f(x1)＜f(x2)

，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)

，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的任意的x∈A，都有

，那么稱f(x0)

為y

＝

f(x)

的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是

增函數(shù)

或減函數(shù)

，

則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域?yàn)锳.如果存在x0∈A，使得對于f(x)≤f(x0)最大值，記為ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)．辨析感悟函數(shù)單調(diào)性定義的理解對于函數(shù)f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)．

(√)(2)函數(shù)f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．

(√)(3)(教材改編)函數(shù)f(x)＝1在其定義域上是減函數(shù)．(×)(4)已知f(x)＝增函數(shù)．xx

，g(x)＝－2x，則y＝f(x)－g(x)在定義域上是(√)2．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值(5)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．

(×)x(6)(教材改編)函數(shù)y＝1

(－∞，0)的單調(diào)遞減區(qū)間是∪(0，＋∞)．

(×)(7)(2013·北京卷改編)函數(shù)y＝lg|x|的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)．(8)函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的最小值為0.(×)(×)[感悟·提升]一個區(qū)別

“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”的區(qū)別：前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集，如(5)．兩個防范一是注意函數(shù)的定義域不連續(xù)的兩個單調(diào)性相同的區(qū)間，要分別說明單調(diào)區(qū)間，不可說成“在其定義域上”單調(diào)，如(3)；二是若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集，如(6)．考點(diǎn)一 確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間【例1】(1)判斷函數(shù)f(x)＝x＋a

a＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．((x2－4x＋3)的單調(diào)區(qū)x(2)(2013·沙市中學(xué)月考)求函數(shù)y＝log間．1

2

1解

(1)法一

任意取x

＞x

＞0，則f(x

)－2f(x

)＝1x

＋x—

1

2x

＋a

a

x2＝(x1－x2)＋x1—

a

a

x2＝(x1－x2)＋a(x2－x1)x

x1

212＝(x

－x

)1－

a

1x

x2.1

2

1

2x1x2當(dāng)

a≥x

＞x

＞0時，x

－x

＞0,1－

a

＜0，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，x此時，函數(shù)f(x)＝x＋a(a＞0)在(0，a]上為減函數(shù)；1

2

1

2x1x2當(dāng)x

＞x

≥

a時，x

－x

＞0,1－

a

＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，x此時，函數(shù)f(x)＝x＋a(a＞0)在[a，＋∞)上為增函數(shù)；x綜上可知，函數(shù)f(x)＝x＋a(a＞0)在(0，

a]上為減函數(shù)；在[

a，＋∞)上為增函數(shù)．

a法二

f′(x)＝1－x2，令

af′(x)＞0，則1－x2＞0，解得x＞a或x＜－a(舍)．令f′(x)＜0，則1

a－x2＜0，解得－a＜x＜a.∵x＞0，∴0＜x＜a.∴f(x)在(0，

a)上為減函數(shù)；在(

a，＋∞)上為增函數(shù)，也稱為

f(x)在(0，

a]上為減函數(shù)；在[

a，＋∞)上為增函數(shù)．u

與u＝x2－4x＋3(2)令u＝x2－4x＋3，原函數(shù)可以看作y＝log的復(fù)合函數(shù)．令u＝x2－4x＋3＞0.則x＜1

或x＞3.∴函數(shù)

y＝log (x2－4x＋3)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的圖象的對稱軸為x＝2，且開口向上，∴u＝x2－4x＋3

在(－∞，1)上是減函數(shù)，在(3，＋∞)上是增函數(shù)．而函數(shù)

y＝log

u

在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴y＝log (x2－4x＋3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1).規(guī)律方法

(1)對于給出具體解析式的函數(shù)，證明或判斷其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：①可以利用定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、定號、下結(jié)論)求解；②可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之．(2)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減”，即y＝f(u)與u＝g(x)若具有相同的單調(diào)性，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則y＝f

[g(x)]必為減函數(shù)．x－1【訓(xùn)練1】

試討論函數(shù)f(x)＝

ax

(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．解

設(shè)－1<x1<x2<1，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，1

2f(x

)－f(x

)＝a1＋1－a1＋1x1－1

x2－1＝ax2－x1(x1－1)(x2－1)，由于－1＜x1＜x2＜1.所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0故當(dāng)a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上遞減；當(dāng)a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上遞增．考點(diǎn)二 利用單調(diào)性求參數(shù)【例2】若函數(shù)f(x)＝ax－1

x＋1在(－∞，－1)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

．解析 法一ax－1

a＋1f(x)＝

x＋1

＝a－x＋1，設(shè)x1<x2<－1，1則f(x

)－2f(x

)＝a－x1＋1

－a－a＋1

a＋1

x2＋1＝

a＋1

a＋1

(a＋1)(x1－x2)x

＋1－x

＋1＝(x

＋1)(x

＋1

，2

1

1

2

)又函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，所以f(x1)－f(x2)>0.由于x1<x2<－1，∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，∴a＋1<0，即a<－1.故a的取值范圍是(－∞，－1)．a(chǎn)x－1

a＋1

ax－1法二

由f(x)＝

x＋1

，得f′(x)＝

(x＋1)2

，又因?yàn)閒(x)＝

x＋1

在

a＋1

(－∞，－1)上是減函數(shù)，所以f′(x)＝

(x＋1)2

≤0在x∈(－∞，－1)上恒成立，解得a≤－1，而a＝－1時，f(x)＝－1，在(－∞，－1)上不具有單調(diào)性，故a的取值范圍是(－∞，－1)．答案

(－∞，－1)規(guī)律方法

解決這類問題的一般方法：一是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后使所給區(qū)間是這個單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，建立關(guān)于參數(shù)的不等式組即可求得參數(shù)范圍；二是直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義：作差、變形，由f(x1)－f(x2)的符號確定參數(shù)的范圍，另外也可分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題．

x－5

【訓(xùn)練2】

(1)函數(shù)y＝

x－a－2

在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

(填序號)．①{－3}；②(－∞，3)；③(－∞，－3]；④[－3，＋∞)．(2)(2014·日照模擬)若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝

a

在區(qū)間[1,2]x＋1上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是

(填序號)．①(－1,0)∪(0,1)；②(－1,0)∪(0,1]；③(0,1)；④(0,1]．解析

x－5

a－3

(1)y＝x－a－2

1＋x－(a＋2)＝

，由函數(shù)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，有a－3＜0，a＋2≤－1，解得a≤－3.(2)f(x)在[a，＋∞)上是減函數(shù)，對于g(x)，只有當(dāng)a>0時，它有兩個減區(qū)間為(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需區(qū)間[1,2]是f(x)和g(x)的減區(qū)間的子集即可，則a的取值范圍是0<a≤1.答案

(1)③

(2)④考點(diǎn)三

利用函數(shù)的單調(diào)性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)當(dāng)

a＝1

f(x)的最小值；時，求函數(shù)2(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0

恒成立，試求實(shí)數(shù)a

的取值范圍．審題路線2(1)當(dāng)

a＝1

，f(x)為具體函數(shù)→求出

f(x)的單調(diào)性，時利用單調(diào)性求最值．(2)當(dāng)

x∈[1，＋∞)時，f(x)＞0

恒成立→轉(zhuǎn)化為

x2＋2x＋a＞0恒成立．1解

(1)當(dāng)a＝2時，1f(x)＝x＋

1

＋2，聯(lián)想到g(x)＝x＋的單調(diào)性，2x

x猜想到求f(x)的最值可先證明f(x)的單調(diào)性．任取1≤x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋2x1—

1

1 2x2＝(x1－x2)(2x1x2－1)2x

x1

2，∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝72.(2)在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax＞0恒成立，則?x2＋2x＋a＞0，

a＞－(x2＋2x)，x≥1

x≥1，等價于a大于函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．只需求函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上遞減，∴當(dāng)x＝1時，φ(x)最大值為φ(1)＝－3.∴a＞－3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞)．規(guī)律方法求函數(shù)最值的常用方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋32y)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－

.求證：f(x)在R上是減函數(shù)；求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)證明

設(shè)x1＞x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上為減函數(shù)．(2)解

∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上也是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，又函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：首先應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：根據(jù)定義、利用圖象、單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對于復(fù)合函數(shù)y＝f

[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同(同時為增或減)，則y＝f

[g(x)]為增函數(shù)；若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f

[g(x)]為減函數(shù)．簡稱：同增異減．函數(shù)的值域常常化歸為求函數(shù)的最值問題，要重視函數(shù)的單調(diào)性在確定函數(shù)最值過程中的應(yīng)用．易錯辨析1——分段函數(shù)單調(diào)性的判定ax，x＞1，【典例】

(2013·金華模擬)f(x)＝