2023屆河南省濮陽市臺前一高數學高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．2．設集合A={x|x≥–3}，B={x|–3<x<1}，則A∪B=()A．{x|x>–3} B．{x|x<1}C．{x|x≥–3} D．{x|–3≤x<1}3．若某市所中學參加中學生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數，葉為個位數，則這組數據的中位數是（）A．91 B．91.5C．92 D．92.54．設等差數列的前n項和為，首項，公差，，則最大時，n的值為()A．11 B．10 C．9 D．85．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，則球的表面積為（）A． B． C． D．6．某數學競賽小組有3名男同學和2名女同學，現從這5名同學中隨機選出2人參加數學競賽（每人被選到的可能性相同）.則選出的2人中恰有1名男同學和1名女同學的概率為（）A． B． C． D．7．若直線平分圓的周長，則的值為（）A．-1 B．1 C．3 D．58．在三棱錐中，平面，，，點M為內切圓的圓心，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知正項數列，若點在函數的圖像上，則（）A．12 B．13 C．14 D．1610．已知在中，，那么的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數列滿足（，為常數），則稱數列為“調和數列”，已知正項數列為“調和數列”，且，則的最大值是__________．12．九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關捩，解之為二，又合面為一”.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數，滿足，且，則解下4個環(huán)所需的最少移動次數為_____.13．在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.14．函數的零點個數為__________．15．已知三個頂點的坐標分別為，若⊥，則的值是______．16．已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的體積為__.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點.（1）求的值；（2）已知為銳角，，求的值.18．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.（Ⅰ）請按字母F，G，H標記在正方體相應地頂點處（不需要說明理由）（Ⅱ）判斷平面BEG與平面ACH的位置關系.并說明你的結論.（Ⅲ）證明：直線DF平面BEG19．某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩人同時在地鐵第1號車站（首發(fā)站）乘車，假設每人自第2號站開始，在每個車站下車是等可能的，約定用有序實數對表示“甲在號車站下車，乙在號車站下車”（Ⅰ）用有序實數對把甲、乙兩人下車的所有可能的結果列舉出來；（Ⅱ）求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；（Ⅲ）求甲、乙兩人在不同的車站下車的概率．20．數列的前項和.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和，并求使成立的實數最小值.21．在△ABC中，D為BC邊上一點，，設，.（1）試、用表示；（2）若，，且與的夾角為60°，求及的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：設的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．2、C【解析】

根據并集的運算律可計算出集合A∪B.【詳解】∵A=xx≥-3，B=x故選：C.【點睛】本題考查集合的并集運算，解題的關鍵就是并集運算律的應用，考查計算能力，屬于基礎題.3、B【解析】試題分析：中位數為中間的一個數或兩個數的平均數，所以中位數為考點：莖葉圖4、B【解析】

由等差數列前項和公式得出，結合數列為遞減數列確定，從而得到最大時，的值為10.【詳解】由題意可得等差數列的首項，公差則數列為遞減數列即當時，最大故選B?！军c睛】本題對等差數列前項和以及通項公式，關鍵是將轉化為，結合數列的單調性確定最大時，的值為10.5、A【解析】設外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，∵，∴，∴，∴，∴，由題意知，平面，則將三棱錐補成三棱柱可得，，∴，故選A．點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)若球面上四點構成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用求解．6、A【解析】

把5名學生編號，然后寫出任取2人的所有可能，按要求計數后可得概率．【詳解】3名男生編號為，兩名女生編號為，任選2人的所有情形為：，，共10種，其中恰有1名男生1名女生的有共6種，所以所求概率為．【點睛】本題考查古典概型，方法是列舉法．7、D【解析】

求出圓的圓心坐標，由直線經過圓心代入解得.【詳解】解：所以的圓心為因為直線平分圓的周長所以直線過圓心，即解得，故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，屬于基礎題．8、C【解析】

求三棱錐的外接球的表面積即求球的半徑，則球心到底面的距離為，根據正切和MA的長求PA，再和MA的長即可通過勾股定理求出球半徑R，則表面積.【詳解】取BC的中點E，連接AE（圖略）.因為，所以點M在AE上，因為，，所以，則的面積為，解得，所以.因為，所以.設的外接圓的半徑為r，則，解得.因為平面ABC，所以三棱錐的外接球的半徑為，故三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.【點睛】此題關鍵點通過題干信息畫出圖像，平面ABC和底面的內切圓圓心確定球心的位置，根據幾何關系求解即可，屬于三棱錐求外接球半徑基礎題目．9、A【解析】

由已知點在函數圖象上求出通項公式，得，由對數的定義計算．【詳解】由題意，，∴，∴．故選：A.【點睛】本題考查數列的通項公式，考查對數的運算．屬于基礎題．10、A【解析】

，不妨設，,則，選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】因為數列是“調和數列”，所以，即數列是等差數列，所以，，所以，，當且僅當時等號成立，因此的最大值為1．點睛：本題考查創(chuàng)新意識，關鍵是對新定義的理解與轉化，由“調和數列”的定義及已知是“調和數列”，得數列是等差數列，從而利用等差數列的性質可化簡已知數列的和，結合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識較多，要熟練掌握各方面的知識與方法，才能正確求解．12、7【解析】

利用的通項公式，依次求出，從而得到，即可得到答案?！驹斀狻坑捎诒硎窘庀聜€圓環(huán)所需的移動最少次數，滿足，且所以，，故，所以解下4個環(huán)所需的最少移動次數為7故答案為7.【點睛】本題考查數列的遞推公式，屬于基礎題。13、【解析】

假設正方體棱長，根據//，得到異面直線與所成角，計算，可得結果.【詳解】假設正方體棱長為1，因為//，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【點睛】本題考查異面直線所成的角，屬基礎題.14、3【解析】

運用三角函數的誘導公式先將函數化簡，再在同一直角坐標系中做出兩支函數的圖像，觀察其交點的個數即得解.【詳解】由三角函數的誘導公式得，所以令，求零點的個數轉化求方程根的個數，因此在同一直角坐標系分別做出和的圖象，觀察兩支圖象的交點的個數為個，注意在做的圖像時當時，,故得解.【點睛】本題考查三角函數的有界性和余弦函數與對數函數的交點情況，屬于中檔題.15、【解析】

求出，再利用，求得.【詳解】，因為⊥，所以，解得：.【點睛】本題考查向量的坐標表示、數量積運算，要注意向量坐標與點坐標的區(qū)別.16、6【解析】

如圖所示,取PB的中點O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝12PB，OC＝12PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O為外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝2，PB＝6，∴外接球的半徑R＝∴V球＝43πR3＝4π3×(62)3＝6點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法:(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角函數的定義可求出，再根據二倍角的余弦公式即可求解.（2）由（1）可得，再利用同角三角函數的基本關系可得，由，利用兩角差的正切公式即可求解.【詳解】解：（1）依題意得，，，所以.（2）由（1）得，，故.因為，，，所以，又因為，所以，.所以，所以.【點睛】本小題主要考查同角三角函數關系、三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想等.18、（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解析】

（Ⅰ）點F，G，H的位置如圖所示（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.證明如下因為ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH于是BCEH為平行四邊形所以BE∥CH又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE∥平面ACH同理BG∥平面ACH又BE∩BG＝B所以平面BEG∥平面ACH（Ⅲ）連接FH因為ABCD－EFGH為正方體，所以DH⊥平面EFGH因為EG平面EFGH，所以DH⊥EG又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD又DF平面BFDH，所以DF⊥EG同理DF⊥BG又EG∩BG＝G所以DF⊥平面BEG.考點：本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行與垂直的判定與性質等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力.19、（Ⅰ）（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】(Ⅰ)甲、乙兩人下車的所有可能的結果為(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)(Ⅱ)設甲、乙兩人同在第3號車站下車的的事件為A，則(Ⅲ)設甲、乙兩人在不同的車站下車的事件為B，則20、（1）；（2），.【解析】

（1）由已知可先求得首項，然后由，得，兩式相減后可得數列的遞推式，結合得數列是等比數列，從而易得通項公式；（2）對數列可用錯位相減法求其和．不等式恒成立，可轉化為先求的最大值．【詳解】（1）由得.由，可知，可得，即.因為，所以，故因此是首項為，公比為的等比數列，故.（2）由（1）知.