2023屆天水市重點中學數(shù)學高一下期末綜合測試試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的飲品?產(chǎn)量之比為2:3:4.為檢驗該廠家產(chǎn)品質量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為72的樣本，則樣本中乙類型飲品的數(shù)量為A．16 B．24 C．32 D．482．圖1是我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.受其啟發(fā)，某同學設計了一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．袋中有個大小相同的小球，其中個白球，個紅球，個黑球，現(xiàn)在從中任意取一個，則取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為（）A． B． C． D．4．的值等于（）A． B． C． D．5．數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A． B．C． D．6．已知，則的最小值是（）A．2 B．6 C．2 D．27．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸人的n值為2019，則S＝A．-1 B．-12 C．18．右邊莖葉圖記錄了甲、乙兩組各十名學生在高考前體檢中的體重（單位：）.記甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為，乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為，則（）A． B．C． D．9．奇函數(shù)在上單調遞減，且，則不等式的解集是（）．A． B．C． D．10．若，則下列結論中:(1)；(2)；(3)若，則；(4)若，則的最小值為.其中正確結論的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則=_________12．給出下列語句：①若為正實數(shù)，，則；②若為正實數(shù)，，則；③若，則；④當時，的最小值為，其中結論正確的是___________．13．若一個圓錐的高和底面直徑相等且它的體積為，則此圓錐的側面積為______.14．在四面體中，平面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．15．已知等差數(shù)列則．16．等比數(shù)列的首項為，公比為，記，則數(shù)列的最大項是第___________項.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，底面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.18．已知向量，其中．函數(shù)的圖象過點，點與其相鄰的最高點的距離為1．（Ⅰ）求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）計算的值；（Ⅲ）設函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的零點個數(shù)．19．在四棱錐中，，．（1）若點為的中點，求證：平面；（2）當平面平面時，求二面角的余弦值．20．已知函數(shù).（1）求的值；（2）設，求的值.21．已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標準方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)分層抽樣各層在總體的比例與在樣本的比例相同求解.【詳解】因為分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同，所以各層在總體的比例與在樣本的比例相同，所以樣本中乙類型飲品的數(shù)量為.故選B.【點睛】本題考查分層抽樣，依據(jù)分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同.2、A【解析】

設，可得，求得，在中，運用余弦定理，解方程可得所求值．【詳解】設，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【點睛】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．3、D【解析】

利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】從袋中個球中任取一個球，取出的球恰好是一個紅色或黑色小球的基本事件數(shù)為，因此，取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為，故選D.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，解題時要確定出全部基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，并利用古典概型的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.4、D【解析】

利用誘導公式先化簡，再利用差角的余弦公式化簡得解.【詳解】由題得原式=.故選D【點睛】本題主要考查誘導公式和差角的余弦公式化簡求值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、B【解析】分析：先根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比較即可．詳解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵，∴a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5﹣2a5=a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q2﹣1）2≥0所以≥故選B．點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的性質．比較兩數(shù)大小一般采取做差的方法．屬于基礎題．6、B【解析】試題分析：因為,故.考點：基本不等式的運用，考查學生的基本運算能力．7、B【解析】

根據(jù)程序框圖可知，當k=2019時結束計算，此時S=cos【詳解】計算過程如下表所示：周期為6n2019k12…20182019S12-1…-k<n是是是是否故選B.【點睛】本題考查程序框圖，選用表格計算更加直觀，此題關鍵在于判斷何時循環(huán)結束.8、D【解析】甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為x1＝64，乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為x2＝66，則x1<x2；甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y1＝＝65，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y2＝＝66.5，則y1<y2.9、A【解析】

因為函數(shù)式奇函數(shù)，在上單調遞減，根據(jù)奇函數(shù)的性質得到在上函數(shù)仍是減函數(shù)，再根據(jù)可畫出函數(shù)在上的圖像，根據(jù)對稱性畫出在上的圖像．根據(jù)圖像得到的解集是：．故選A．10、B【解析】

利用函數(shù)知識、換元法、絕對值不等式等知識，對選項進行一一推理證明，即可得答案.【詳解】對（1），，∴或，∵或，∴原不等式成立，故（1）正確；對（2），∵，故（2）正確；對（3），令，則，顯然不成立，故（3）錯誤；對（4），∵，∴，當時，，∴的最小值為顯然不成立，故（4）錯誤.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)與不等式的知識，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意消元法、換元法的使用.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．12、①③.【解析】

利用作差法可判斷出①正確；通過反例可排除②；根據(jù)不等式的性質可知③正確；根據(jù)的范圍可求得的范圍，根據(jù)對號函數(shù)圖象可知④錯誤.【詳解】①，為正實數(shù)，，即，可知①正確；②若，，，則，可知②錯誤；③若，可知，則，即，可知③正確；④當時，，由對號函數(shù)圖象可知：，可知④錯誤.本題正確結果：①③【點睛】本題考查不等式性質的應用、作差法比較大小問題、利用對號函數(shù)求解最值的問題，屬于常規(guī)題型.13、【解析】

先由圓錐的體積公式求出圓錐的底面半徑，再結合圓錐的側面積公式求解即可.【詳解】解：設圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，母線長為，由圓錐的體積為，則，即，則此圓錐的側面積為.故答案為：.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了圓錐的側面積公式，屬基礎題.14、【解析】

設,再根據(jù)外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構成直角三角形求解進而求得體積即可.【詳解】設,底面外接圓直徑為.易得底面是邊長為3的等邊三角形.則由正弦定理得.又外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構成直角三角形有.又外接球的表面積為,即.解得.故四面體體積為.故答案為：【點睛】本題主要考查了側棱垂直于底面的四面體的外接球問題.需要根據(jù)題意建立底面三角形外接圓的直徑和三棱錐的高與外接球直徑的關系再求解.屬于中檔題.15、1【解析】試題分析：根據(jù)公式，，將代入，計算得n=1．考點：等差數(shù)列的通項公式．16、【解析】

求得，則可將問題轉化為求使得最大且使得為偶數(shù)的正整數(shù)的值，利用二次函數(shù)的基本性質求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的通項公式可得，，則問題轉化為求使得最大且使得為偶數(shù)的正整數(shù)的值，，當時，取得最大值，此時為偶數(shù).因此，的最大項是第項.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列前項積最值的計算，將問題進行轉化是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性質推出，即可推出平面從而得到；（Ⅱ）作，交的延長線于，連接，則二面角的平面角是，由已知條件求出AD，進而求出AE、PD，即可求得.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，∵底面，底面,∴.∵四邊形是菱形，∴.又∵，平面，平面，∴平面，∴.（Ⅱ）作，交的延長線于，連接.由于，于是平面，平面，，所以二面角的平面角是.設“”，且底面是菱形，，，，∴.【點睛】本題考查線面垂直、線線垂直的證明，二面角的余弦值，屬于中檔題.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）2028；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由數(shù)量積的坐標運算可得f（x），由題意求得ω，再由函數(shù)f（x）的圖象過點B（2，2）列式求得．則函數(shù)解析式可求，由復合函數(shù)的單調性求得f（x）的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．得到f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．進一步可得結論；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點個數(shù)，即為函數(shù)y＝sin的圖象與直線y＝m在[0，3]上的交點個數(shù)．數(shù)形結合得答案．【詳解】（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），∴f（x）cos2（ωx+）＝2﹣cos2（ωx+）），∴f（x）max＝2，則點B（2，2）為函數(shù)f（x）的圖象的一個最高點．∵點B與其相鄰的最高點的距離為2，∴，得ω．∵函數(shù)f（x）的圖象過點B（2，2），∴，即sin2φ＝2．∵0＜，∴．∴f（x）＝2﹣cos2（）＝2+sin，由，得，．的單調遞減區(qū)間是，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．∴f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．而2027＝2×502+2，∴f（2）+f（2）+…+f（2027）＝2×502+2＝2028；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點個數(shù)，即為函數(shù)y＝sin的圖象與直線y＝m在[0，3]上的交點個數(shù)．在同一直角坐標系內作出兩個函數(shù)的圖象如圖：①當m＞2或m＜﹣2時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內無公共點；②當﹣2≤m＜0或m＝2時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內有一個共點；③當0≤m＜2時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內有兩個共點．綜上，當m＞2或m＜﹣2時，函數(shù)g（x）在[0，3]上無零點；②當﹣2≤m＜0或m＝2時，函數(shù)g（x）在[0，3]內有2個零點；③當0≤m＜2時，函數(shù)g（x）在[0，3]內有2個零點．【點睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查數(shù)量積的坐標運算，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．19、（1）見解析；（2）.【解析】

(I)結合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結合平面與平面性質,證明結論.(II)建立空間坐標系,分別計算平面PCD和平面PDB的法向量,結合向量數(shù)量積公式,計算余弦值,即可.【詳解】(Ⅰ)取的中點為，連結，.由已知得，為等邊三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵為的中點，為的中點，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)連結，交于點，連結，由對稱性知，為的中點，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.則(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.設二面角的大小為，則.【點睛】本道題考查了平面與平