二重積分的變量變換

二重積分的變量變換第1頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容：二重積分的極坐標(biāo)變換二重積分的一般變量變換公式教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的變量變換（主要為線性變換，極坐標(biāo)變換）教學(xué)難點(diǎn)：變量變換后積分限的確定第2頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引例21D0y

xD1D2D3D4D:.需使用極坐標(biāo)系！此題用直角系算麻煩第3頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分將變換到極坐標(biāo)系(r,)0D用坐標(biāo)線=常數(shù)；r

=常數(shù)分割區(qū)域Diriri+1iii+irir第4頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分0Diriri+1iii+iI=rir第5頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分極坐標(biāo)系下的面積元素I=直角坐標(biāo)系下的面積元素第6頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部

0ABFEDD:

rr(1)極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部第7頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0ABFEDD:(1)極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部

r第8頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部

0D.rD:r(2)極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部第9頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月D:D0(2)極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部

r第10頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)極點(diǎn)位于區(qū)域D的邊界區(qū)域特征如圖極點(diǎn)位于區(qū)域D的邊界

第11頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月步驟步驟：1化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；2面積元素dxdy化為rdrd3從D的圖形找出r,上、下限，寫(xiě)出累次積分的形式0r0Dr第12頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月邊界的確定把極坐標(biāo)代入邊界得出D'的邊界常見(jiàn)區(qū)域D'的確定xOy2RR第13頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常見(jiàn)區(qū)域的確定常見(jiàn)區(qū)域D'的確定Oxy2RRxyORR第14頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月適用范圍極坐標(biāo)。當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域、圓環(huán)域或部分圓域，且被積函數(shù)又呈或時(shí)，宜采用第15頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例10y

x2a解例1第16頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例221D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系例2

計(jì)算D:r=1和

r

=2第17頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例30y

x12

y=xD例3第18頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例40y

x4r=4cosr=8cos8D12例4計(jì)算y=2xx=y第19頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例40y

xr=8cosD48r=4cos21.I=第20頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5例5第21頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6例6第22頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解例7

計(jì)算，其中D

是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。.注：此積分在直角坐標(biāo)系下無(wú)法計(jì)算。在極坐標(biāo)系下

例7第23頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月反常積分事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例7的結(jié)果,得①故①式成立

.第24頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定積分換元法二重積分換元法

滿(mǎn)足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,第25頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過(guò)變換T,在xoy

面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則第26頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理得當(dāng)h,k

充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為第27頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),第28頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用一般變量替換求二重積分利用一般變量替換求二重積分步驟：⑴根據(jù)題目的特點(diǎn)(區(qū)域及被積函數(shù))確定變換;第29頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用一般變量替換求二重積分(3)在變換下確定u,v的范圍△;作圖(4)代入變換替換公式，化為關(guān)于u,v的二重積分;(5)用§2求二重積分的方法求出其值。第30頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例911解則令例9第31頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故例9第32頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例10Oxy例10令第33頁(yè)