第4章-矩陣分解

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22武漢理工大學(xué)理學(xué)院第4章矩陣分解MatrixFactorizationandDecomposition定理：若A的各階順序主子式24.1LU分解（圖靈Turing,1948）則

A可唯一分解為：A=LUL

：為主對(duì)角元為1的下三角形，U

：為上三角形。3例1：設(shè)用三角分解求解Ax=bLU分解的用處4解：對(duì)A做三角分解：A=LU，則567例2：設(shè)求A的三角分解A=LULU分解的過(guò)程8解：91011LU分解的改進(jìn)1）LDU分解LU分解的改進(jìn)2）Cholesky分解4.2QR分解定義：Remark:這樣的分解稱之為QR分解。分析I）利用Gram-Schmidt正交化過(guò)程的QR分解G-S正交化單位化I）利用Gram-Schmidt正交化過(guò)程的QR分解例：解：例：解：Remark:矩陣不可逆時(shí)，這樣的QR分解不唯一。（2）首先判斷出，由定理可知必存在，以及三階上三角矩陣使得再將其單位化，得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組另：2）利用Householder變換的QR分解正交變換稱為Householder變換。Householder變換的制造定理：Householder變換方法的QR分解定理：Remark：矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形4.3滿秩分解其中B

列滿秩，C

行滿秩。29則稱其為對(duì)A的滿秩分解。4.3滿秩分解定義：Problem：滿秩分解的實(shí)現(xiàn)：向量組最大無(wú)關(guān)組的求法例：解：滿秩分解的實(shí)現(xiàn)：向量組最大無(wú)關(guān)組的求法例：解：例4.設(shè)32求A的滿秩分解33例5.設(shè)求A的滿秩分解34例：分別求下面三個(gè)矩陣的滿秩分解4.4奇異值分解問(wèn)題的來(lái)源：Problem:P,Q能否為正交矩陣？1）的性質(zhì)，2）3）結(jié)論：矩陣的奇異值定義：對(duì)奇異值進(jìn)行排序例：求下列矩陣的奇異值顯然的特征值為5，0，0，所以的奇異值為解：（1）由于（2）由于顯然的特征值為2，4，所以的奇異值為。矩陣的奇異值分解是A的奇異值定理：奇異值分解定理的證明Step1令Step2即求解方程的基礎(chǔ)解系，再規(guī)范正交化即得Step3Step4奇異值分解的步驟Step1Step2Step3Step4并，令例5、求的奇異值分解。解：標(biāo)準(zhǔn)正交化:例6、求的奇異值分解。解：例：求下列矩陣的奇異值分解表達(dá)式解：（1）容易計(jì)算的特征值為5，0，0，所以的奇異值為。下面計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，解得分別與5，0，0對(duì)應(yīng)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量由這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣，所以有再計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，解得分別與5，0對(duì)應(yīng)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量由這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣那么有于是可得奇異值分解式為解：（2）容易計(jì)算，那么的非零奇異值為，對(duì)應(yīng)于特征值5，2的標(biāo)準(zhǔn)特征向量為由這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣那么有再計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，解得分別與5，2，0，0對(duì)應(yīng)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量由這四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣，所以有于是可得奇異值分解式為練習(xí)：求下面矩陣的奇異值分解式4.5廣義逆矩陣廣義逆的問(wèn)題來(lái)源：1）2）若A不可逆，或不是方陣，則如何定義逆矩陣？4.5廣義逆矩陣設(shè)A

為m×n陣，若存在n×m陣X

滿足

AXA=A(1)XAX=X(2)(AX)T=AX(3)(XA)T=XA(4)則稱X為A的Penrose-Moore逆，或“+”號(hào)逆，記作A+1920,Moore引入廣義逆，未引起注意；1955,Penrose給出廣義逆的定義。72A+的例子例例例73設(shè)rank(A)=r，作滿秩分解A＝BC，則并且，A+存在且唯一A+的存在性唯一性：設(shè)

A+的唯一性例176求

A的廣義逆77解：從而的廣義逆矩陣是例1

設(shè)求。解：利用滿秩分解公式可得例2

：設(shè)求。解：由滿秩分解公式可得于是其廣義逆矩陣為A+的性質(zhì)A+的性質(zhì)：Ex1設(shè)A為n

階冪等陣，即A2=A,則Ex1設(shè)A為實(shí)m×n

陣,則87例2.設(shè)求

A的廣義逆A+的算法888990例3.設(shè)求

A的廣義逆91由其中為正交矩陣4.3廣義逆的應(yīng)用93解線性方程組9495例4用廣義逆求的最小長(zhǎng)度解和通解。96,,97∴方程組有解98通解為最小長(zhǎng)度解99的x*

稱為的最小二乘解。

定義：則滿足b-

Ax=b-AA+b+AA+b-Ax(b-

AA+b)

⊥(

AA+b–Ax)bOR(A)b′=AA+b線性最小二