第03講導數(shù)與函數(shù)的極值最值（解析卷）

第2講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值講義設計提綱：【考試要求】1、借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.2、會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值.3、把握利用導數(shù)爭論函數(shù)最值的方法.4.會用導數(shù)爭論生活中的最優(yōu)化問題．1．函數(shù)的極值(1)推斷f(x0)是極值的方法一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，①假如在x0四周的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②假如在x0四周的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是微小值．(2)求可導函數(shù)極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符號．假如左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；假如左負右正，那么f(x)在這個根處取得微小值，假如左右兩側(cè)符號一樣，那么這個根不是極值點．2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)假設函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，那么f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；假設函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，那么f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．(3)設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比擬，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．3．利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比擬函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)回歸實際問題作答．【易錯點提示】(1)求函數(shù)最值時，不行想當然地認為極值點就是最值點，要通過仔細比擬才能下結(jié)論；另外留意函數(shù)最值是個“整體〞概念，而極值是個“局部〞概念．(2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取極值的既不充分也不必要條件．如①y＝|x|在x＝0處取得微小值，但在x＝0處不行導；②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點．(3)假設y＝f(x)可導，那么f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取極值的必要條件．以下推斷正確的選項是①對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0〞是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值〞的充要條件②函數(shù)的微小值肯定小于函數(shù)的極大值③函數(shù)的極大值肯定不是函數(shù)的最小值．④函數(shù)的微小值點為⑤假設函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)，那么肯定在D上存在最值⑥函數(shù)的函數(shù)的極值點肯定消失在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能稱為極值點．【答案】③⑥2、函數(shù)的導函數(shù)的圖象如下圖，那么〔

〕A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上有且僅有2個極值點C．在區(qū)間上有且僅有3個零點D．在區(qū)間上存在極大值點【答案】D【詳解】由圖可知，在區(qū)間為負，單調(diào)遞減，在區(qū)間為正，單調(diào)遞增，故A錯誤；在區(qū)間上有3個零點，且零點四周左右兩邊的值一正一負，故有3個極值點，故B錯誤；由選項B可知，只能推斷在區(qū)間上有3個極值點，當?shù)?個極值都小于0時，至多只有1個零點，當?shù)?個極值有正有負時，至少有1個零點，所以無法推斷零點個數(shù)，故C錯誤；在區(qū)間上為正，單調(diào)遞增，在區(qū)間上為負，單調(diào)遞減，那么為極大值點，故D正確；應選：D.3、〔多項選擇〕〔2023春廣東東莞·高二?？肌澈瘮?shù)，以下說法正確的選項是〔

〕A．有兩個極值點 B．的極大值點為C．的微小值為 D．的最大值為【答案】AB【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得，由得：或，由得：，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是函數(shù)在處取極大值，在處取微小值，C錯誤；函數(shù)有兩個極值點，且是的極大值點，A正確，B正確；明顯，D錯誤.應選：AB4．函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有極值，那么實數(shù)a的取值范圍是________________．【答案】(－∞，－eq\r(6))∪(eq\r(6)，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f′(x)有變號零點，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>eq\r(6)或a<－eq\r(6).5．假設函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋m在[0,3]上的最大值為4，那么m＝________.【答案】4【解析】f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，當x∈[0,2)時，f′(x)<0，當x∈(2,3]時，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上單調(diào)遞減，在(2,3]上單調(diào)遞增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.考點一依據(jù)函數(shù)圖象推斷極值例1(多項選擇)(2023·華南師大附中模擬)如圖是y＝f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，對于以下四個推斷，其中正確的推斷是()A．當x＝－1時，f(x)取得微小值B.f(x)在[－2,1]上單調(diào)遞增C．當x＝2時，f(x)取得極大值D.f(x)在[－1,2]上不具備單調(diào)性【答案】AC【解析】由導函數(shù)f′(x)的圖象可知，當－2<x<－1時，f′(x)<0，那么f(x)單調(diào)遞減；當x＝－1時，f′(x)＝0；當－1<x<2時，f′(x)>0，那么f(x)單調(diào)遞增；當x＝2時，f′(x)＝0；當2<x<4時，f′(x)<0，那么f(x)單調(diào)遞減；當x＝4時，f′(x)＝0，所以當x＝－1時，f(x)取得微小值，應選項A正確；f(x)在[－2,1]上有減有增，應選項B錯誤；當x＝2時，f(x)取得極大值，應選項C正確；f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增，應選項D錯誤．【對點演練1】設函數(shù)f〔x〕在R上可導，其導函數(shù)為f'〔x〕，且函數(shù)y＝〔x－1〕f'〔x〕的圖象如下圖，那么以下結(jié)論中正確的選項是 〔〕A.函數(shù)f〔x〕有極大值f〔－3〕和f〔3〕B.函數(shù)f〔x〕有微小值f〔－3〕和f〔3〕C.函數(shù)f〔x〕有微小值f〔3〕和極大值f〔－3〕D.函數(shù)f〔x〕有微小值f〔－3〕和極大值f〔3〕【答案】D【解析】結(jié)合題目所給圖象進行分段分析，當x＜－3時，x－1＜0，得f'〔x〕＜0；當－3＜x＜1時，x－1＜0，得f'〔x〕＞0；當1＜x＜3時，x－1＞0，得f'〔x〕＞0；當x＞3時，x－1＞0，得f'〔x〕＜0.依據(jù)極值點的定義可知，當x＝－3時，f〔x〕取得微小值f〔－3〕，當x＝3時，f〔x〕取得極大值f〔3〕，x＝1的左右兩邊導函數(shù)值都大于零，因此不是原函數(shù)的極值點，應選D.【對點演練2】〔2023天津紅橋區(qū)天津三中?？肌橙鐖D是的導函數(shù)的圖象，那么以下說法正確的個數(shù)是〔

〕①在區(qū)間上是增函數(shù)；②是的微小值點；③在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；④是的極大值點.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】解：由導函數(shù)的圖象可知，當時，當時，當時，當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故①錯誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在和處取得微小值，處取得極大值，故②③正確，④錯誤；應選：C．由圖象推斷函數(shù)y=f(x)的極值要抓住的兩點(1)由y=f'(x)的圖象與x軸的交點,可得函數(shù)y=f(x)的可能極值點.(2)由導函數(shù)y=f'(x)的圖象可以看出y=f'(x)的值的正負,從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點.考點二函數(shù)的極值考向1：求不含參函數(shù)的極值例2(2023·衡水模擬)函數(shù)f(x)=(x23x+1)ex的極大值為 ()A.e2 B.5e1 C.54e32【答案】B【解析】依題意,f'(x)=(x2x2)ex=(x2)·(x+1)ex,故函數(shù)f(x)在(∞,1),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值為f(1)=5e1.運用導數(shù)求可導函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟：(1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號，假如左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值，假如左負右正，那么f(x)在這個根處取得微小值．【對點演練1】〔2023廣東東莞校考〕〔多項選擇〕函數(shù)，以下說法正確的選項是〔

〕A．有兩個極值點 B．的極大值點為C．的微小值為 D．的最大值為【答案】AB【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得，由得：或，由得：，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是函數(shù)在處取極大值，在處取微小值，C錯誤；函數(shù)有兩個極值點，且是的極大值點，A正確，B正確；明顯，D錯誤.應選：AB考向2含參函數(shù)的極值例3(2022·西南高校附中模擬)函數(shù)f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，爭論函數(shù)f(x)的極值．解由于f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x，所以f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)＋4ax＋2a＋2＝eq\f(2ax＋12x＋1,x)假設a<0，那么當x∈時，f′(x)>0；當x∈時，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；故f(x)在x＝－eq\f(1,2a)處取得唯一的極大值，且極大值為f

＝ln－eq\f(1,2a)－1.假設a>0，那么當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0恒成立，故函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值．綜上，當a<0時，f(x)的極大值為ln－eq\f(1,2a)－1，無微小值；當a>0時，f(x)無極值．【對點演練1】1.函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(k,x)－1，k∈R.推斷函數(shù)f(x)是否存在極值，假設存在，懇求出極值；假設不存在，請說明理由．【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(k,x2)＝eq\f(x－k,x2)，當k≤0時，f′(x)>0，y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時f(x)無極值；當k>0，x∈(0，k)時，f′(x)<0；當x∈(k，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，k)，單調(diào)遞增區(qū)間是(k，＋∞)．所以f(x)的微小值點是x＝k，f(x)的微小值為f(k)＝lnk，無極大值點．綜上，當k≤0時，f(x)無極值；當k>0時，f(x)的微小值為lnk，無極大值．考向3函數(shù)的極值求參數(shù)例4〔1〕〔2023·南寧模擬〕函數(shù)f〔x〕＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，那么a＋b＝ 〔〕A.－7C.－7或0 D.－15或6〔2〕函數(shù)f〔x〕＝x2－4x＋alnx有兩個極值點，那么實數(shù)a的取值范圍為 〔〕A.〔－∞，2] B.〔－∞，2〕C.〔0，2] D.〔0，2〕【答案】〔1〕A〔2〕D【解析】〔1〕由題意知，函數(shù)f〔x〕＝x3＋ax2＋bx＋a2，可得f'〔x〕＝3x2＋2ax＋b，由于f〔x〕在x＝1處取得極值10，可得f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3,檢驗知，當a＝－3，b＝3時，可得f'〔x〕＝3x2－6x＋3＝3〔x－1〕2≥0，此時函數(shù)f〔x〕單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點，不符合題意；當a＝4，b＝－11時，可得f'〔x〕＝3x2＋8x－11＝〔3x＋11〕〔x－1〕，當x＜－113或x＞1時，f'〔x〕＞0，f〔x〕單調(diào)遞增；當－113＜x＜1時，f'〔x〕＜0，f〔2〕函數(shù)f〔x〕的定義域是〔0，＋∞〕，f'〔x〕＝2x－4＋ax＝2x2-4x+ax.由于函數(shù)f〔x〕有兩個極值點，所以方程f'〔x〕＝0有兩個正根，所以方程2x2－4x＋a＝0有兩個正根x1，x2，所以Δ依據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(1)列式：依據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)驗證：求解后驗證根的合理性．【對點演練1】假設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有微小值，那么的取值范圍為________．【答案】【分析】求，爭論和時的單調(diào)性與微小值點，使得微小值點位于區(qū)間即可求解.【詳解】由可得，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值；當時，令可得或；令可得：，所以時，在處取得微小值，假設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有微小值，那么，解得，綜上所述：的取值范圍為。【對點演練2】假設函數(shù)f(x)＝ex－ax2－2ax有兩個極值點，那么實數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.【答案】D【解析】由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f′(x)＝ex－2ax－2a.由于函數(shù)f(x)＝ex－ax2－2ax有兩個極值點，所以f′(x)＝ex－2ax－2a有兩個變號零點，令f′(x)＝0，得eq\f(1,2a)＝eq\f(x＋1,ex)，設g(x)＝eq\f(x＋1,ex)，y＝eq\f(1,2a)；那么g′(x)＝－eq\f(x,ex)，令g′(x)＝0，即－eq\f(x,ex)＝0，解得x＝0，當x>0時，g′(x)<0；當x<0時，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．分別作出函數(shù)g(x)＝eq\f(x＋1,ex)與y＝eq\f(1,2a)的圖象，如下圖，由圖可知，0<eq\f(1,2a)<1，解得a>eq\f(1,2)，所以實數(shù)a的取值范圍為考點二函數(shù)的最值考向1：不含參函數(shù)的最值例5(2022·全國乙卷)函數(shù)f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為()A．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2) B．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)C．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＋2 D．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)＋2【答案】D【解析】f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0,2π]，那么f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)·cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0,2π]．令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝eq\f(π,2)或x＝eq\f(3π,2).由于f

＝cos

eq\f(π,2)＋sin

eq\f(π,2)＋1＝2＋eq\f(π,2)，f

＝cos

eq\f(3π,2)＋sin

eq\f(3π,2)＋1＝－eq\f(3π,2)，又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝f

＝2＋eq\f(π,2)，f(x)min＝f

＝－eq\f(3π,2).應選D.利用導數(shù)求給定區(qū)間上的最值的步驟〔1〕求函數(shù)f〔x〕的導數(shù)f'〔x〕；〔2〕利用f'〔x〕＝0求f〔x〕在給定區(qū)間上全部可能極值點的函數(shù)值；〔3〕求f〔x〕在給定區(qū)間上的端點值；〔4〕將f〔x〕的各極值與f〔x〕的端點值進行比擬，確定f〔x〕的最大值與最小值.【對點演練1】〔2023天津濱海漢沽一中?？肌吃谏系淖畲笾凳莀_______.【答案】【詳解】由于，所以，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值即最大值，所以.故答案為：【對點演練2】某圓柱的外表積為6π，當該圓柱的體積最大時，其底面半徑為 〔〕 B.2 【答案】A【解析】設圓柱的底面半徑為r，高為h，那么圓柱的外表積為2πr2＋2πrh＝6π，所以r2＋rh＝3，可得h＝3-r2r，所以圓柱體積為V＝πr2h＝πr2·3-r2r＝πr〔3－r2〕＝3πr－πr3〔r＞0〕，因此V'＝3π〔1－r2〕，當0＜r＜1時，V'＞0；當r＞1時，V'＜0，所以當r＝1時，V取得最大值，即當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的體積最大，應選A.考向2：含參函數(shù)的最值例6函數(shù)f(x)＝eq\f(x－a,x)－lnx(a∈R)．(1)爭論f(x)的單調(diào)性；(2)求f(x)在上的最大值g(a)．【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(a－x,x2)，①假設a≤0，那么f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；②假設a>0，那么當x>a時，f′(x)<0；當0<x<a時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)f′(x)＝eq\f(a－x,x2)，當a≤eq\f(1,e)時，f(x)在上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f

＝2－ae；當eq\f(1,e)<a<e時，f(x)在上單調(diào)遞增，在[a，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(a)＝－lna；當a≥e時，f(x)在上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f(e)＝－eq\f(a,e)，綜上，g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,e)，a≥e，,－lna，\f(1,e)<a<e，,2－ae，a≤\f(1,e).))求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導函數(shù)，通過對參數(shù)分類爭論，推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．【對點演練1】〔2023浙江寧波期末〕.(1)假設在處有極大值，求的值；(2)假設，求在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】〔1〕由題知，，由題意，，得或，當時，在上，在上，此時，在處有微小值，不符題意；當時，在上，在上，此時，在處有極大值，符合題意.綜上，.〔2〕令，得或，由，那么在上，在上，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由題意，，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，那么，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么，綜上，.考向3：函數(shù)的最值求參數(shù)例5函數(shù)f〔x〕＝ax＋lnx，其中a為常數(shù)，假設f〔x〕在區(qū)間〔0，e]上的最大值為－3，求a的值.【解析】f'〔x〕＝a＋1x，x∈〔0，e]，1①假設a≥－1e，那么f'〔x〕≥0從而f〔x〕在〔0，e]上單調(diào)遞增，∴f〔x〕max＝f〔e〕＝ae＋1≥0，不符合題意.②假設a＜－1e，令f'〔x〕＞0得a＋1x＞結(jié)合x∈〔0，e]，解得0＜x＜－1a令f'〔x〕＜0得a＋1x＜0結(jié)合x∈〔0，e]，解得－1a＜x從而f〔x〕在0,-1a上單調(diào)遞增，在∴f〔x〕max＝f-1a＝－1＋ln令－1＋ln-1a＝－得ln-1a＝－即a＝－e2.∵－e2＜－1e，∴a＝－e2為所求故實數(shù)a的值為－e2.【對點演練1】〔2023·全國·模擬猜測〕，函數(shù)在上的最小值為2，那么實數(shù)__________.【答案】1【詳解】，，當時，即時，那么在上恒成立，那么在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，解得，當時，即時，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，在上的最小值為，舍去，綜上所述：，故答案為：1.【對點演練2】函數(shù)h(x)＝x－alnx＋eq\f(1＋a,x)(a∈R)在區(qū)間[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范圍．①當a＋1≤0，即a≤－1時，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，那么h(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②當a＋1>0，即a>－1時，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上單調(diào)遞減，在(a＋1，＋∞)上單調(diào)遞增，假設a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合題意；假設1<a＋1<e，即0<a<e－1，那么h(x)在(1，a＋1)上單調(diào)遞減，在(a＋1，e)上單調(diào)遞增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合題意；假設a＋1≥e，即a≥e－1，那么h(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，故h(x)min＝h(e)＝e－a＋eq\f(a＋1,e)<0，得a>eq\f(e2＋1,e－1)>e－1，綜上，a的取值范圍為(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2＋1,e－1)，＋∞)).1．〔2023河北石家莊二中?？肌巢牧希汉瘮?shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學與數(shù)學分析教材中，對“初等函數(shù)〞給出了準確的定義，即由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運算及有限次的復合步驟所構(gòu)成的，且能用一個式子表示的，如函數(shù)，我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復合而成的，即為初等函數(shù).依據(jù)以上材料：〔1〕直接寫出初等函數(shù)極值點〔2〕求初等函數(shù)極值.【答案】〔1〕〕微小值點為，無極大值點；〔2〕極大值且為，無微小值.【詳解】〔1〕微小值點為，無極大值點.〔2〕，所以，令得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以有極大值且為，無微小值.【對點演練】〔2023·高二單元測試〕用數(shù)學的眼光看世界就能發(fā)覺許多數(shù)學之“美〞．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：假設是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，那么曲線在點處的曲率．〔1〕假設曲線與在處的曲率分別為，比擬大?。弧?〕求正弦曲線曲率的最大值．【答案】〔1〕；〔2〕1．【詳解】〔1〕，，所以，，，，所以；〔2〕，，所以，，令，那么，設，那么，明顯當時，，遞減，所以．最大值為1，所以的最大值為1．1.〔2023·四川自貢·統(tǒng)考二模〕函數(shù)，那么〔

〕A．有2個極大值點 B．有1個極大值點和1個微小值點C．有2個微小值點 D．有且僅有一個極值點【答案】D【分析】求導，依據(jù)導函數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)極值點的定義即可得解.【詳解】，由于〔當且僅當時取等號〕，那么當時，，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的微小值點為，沒有極大值點，即函數(shù)有且僅有一個極值點.應選：D.2.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是〔

〕A．0 B． C． D．【答案】C【詳解】由于，所以，令或，又，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有極大值，又，所以函數(shù)在上的最大值為：，應選：C.3.(2022·全國甲卷)當x＝1時，函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)取得最大值－2，那么f′(2)等于()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．1【答案】B【解析】由于函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，所以依題意可知而f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(b,x2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,a－b＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－2，))所以f′(x)＝－eq\f(2,x)＋eq\f(2,x2)，因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，當x＝1時取最大值，滿意題意．所以f′(2)＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).應選B.4．〔2023·四川成都·統(tǒng)考二?！臣僭O函數(shù)在處有極大值，那么實數(shù)的值為〔

〕A．1 B．或 C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，，函數(shù)在處有極大值，可得，解得或，當時，，時，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處有微小值，不合題意.當時，，時，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處有極大值，符合題意.綜上可得，.5、〔多項選擇〕如圖是y＝f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，對于以下四個推斷，其中正確的推斷是()A．當x＝－1時，f(x)取得微小值B.f(x)在[－2,1]上單調(diào)遞增C．當x＝2時，f(x)取得極大值D.f(x)在[－1,2]上不具備單調(diào)性【答案】AC【解析】由導函數(shù)f′(x)的圖象可知，當－2<x<－1時，f′(x)<0，那么f(x)單調(diào)遞減；當x＝－1時，f′(x)＝0；當－1<x<2時，f′(x)>0，那么f(x)單調(diào)遞增；當x＝2時，f′(x)＝0；當2<x<4時，f′(x)<0，那么f(x)單調(diào)遞減；當x＝4時，f′(x)＝0，所以當x＝－1時，f(x)取得微小值，應選項A正確；f(x)在[－2,1]上有減有增，應選項B錯誤；當x＝2時，f(x)取得極大值，應選項C正確；f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增，應選項D錯誤．6.(多項選擇)(2022·新高考全國Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x3－x＋1，那么()A．f(x)有兩個極值點B．f(x)有三個