高考數(shù)學(xué)二輪專題學(xué)與練 19 排列、組合、二項(xiàng)式定理（考點(diǎn)解讀）（含解析）

專題19排列、組合、二項(xiàng)式定理1.排列、組合與二項(xiàng)式定理每年交替考查，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏易.2.排列、組合試題具有一定的靈活性和綜合性，常與實(shí)際相結(jié)合，轉(zhuǎn)化為基本的排列組合模型解決問(wèn)題，需用到分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想.3.與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，但非二項(xiàng)問(wèn)題也是今后高考的一個(gè)熱點(diǎn)，解決此類問(wèn)題的策略是轉(zhuǎn)化思想.1．兩個(gè)重要公式(1)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)＝eq\f(n(n－1)(n－2)…n－m＋1,m！)(n，m∈N*，且m≤n)．2．三個(gè)重要性質(zhì)和定理(1)組合數(shù)性質(zhì)①Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(n－m,n))(n，m∈N*，且m≤n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＋C\o\al(m－1,n))(n，m∈N*，且m≤n)；③Ceq\o\al(0,n)＝1.(2)二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－k·bk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，其中通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)①Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，…，Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n)；②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；③Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.高頻考點(diǎn)一排列與組合例1．(2018年浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成___________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【答案】1260【解析】若取的4個(gè)數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4個(gè)數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).綜上，一共可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260.【舉一反三】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種B．18種C．24種D．36種【答案】D【解析】由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有SKIPIF1<0種方法，然后進(jìn)行全排列SKIPIF1<0即可，由乘法原理，不同的安排方式共有SKIPIF1<0種方法。故選D?！咀兪教骄俊坑脭?shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(A)24(B)48(C)60(D)72【答案】D【解析】由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選D.【變式探究】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè) B．120個(gè) C．96個(gè) D．72個(gè)【解析】由題意，首位數(shù)字只能是4，5，若萬(wàn)位是5，則有3×Aeq\o\al(3,4)＝72個(gè)；若萬(wàn)位是4，則有2×Aeq\o\al(3,4)個(gè)＝48個(gè)，故40000大的偶數(shù)共有72＋48＝120個(gè)．選B.【答案】B高頻考點(diǎn)二排列組合中的創(chuàng)新問(wèn)題例2．用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)．依此類推，下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)【解析】分三步：第一步，5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球可能取出0個(gè)，1個(gè)，…，5個(gè)，則有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)種不同的取法；第二步，5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，則有(1＋b5)種不同取法；第三步，5個(gè)有區(qū)別的黑球看作5個(gè)不同色，從5個(gè)不同色的黑球中任取0個(gè)，1個(gè)，…，5個(gè)，有(1＋c)5種不同的取法，所以所求的取法種數(shù)為(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故選A.【答案】A【變式探究】設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為()A．60 B．90 C．120 D．130【解析】易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三種情況討論．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此時(shí)，從x1，x2，x3，x4，x5中任取一個(gè)讓其等于1或－1，其余等于0，于是有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)＝10種情況；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此時(shí)，從x1，x2，x3，x4，x5中任取兩個(gè)讓其都等于1或都等于－1或一個(gè)等于1、另一個(gè)等于－1，其余等于0，于是有2Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)＝40種情況；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此時(shí)，從x1，x2，x3，x4，x5中任取三個(gè)讓其都等于1或都等于－1或兩個(gè)等于1、另一個(gè)等于－1或兩個(gè)等于－1、另一個(gè)等于1，其余等于0，于是有2Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＝80種情況．由于10＋40＋80＝130，故答案為D.【答案】D高頻考點(diǎn)三二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)例3．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為SKIPIF1<0，故選A．【變式探究】在QUOTE的展開式中，的系數(shù)為__________________.(用數(shù)字作答)【答案】60.【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式可知，的系數(shù)為?！咀兪教骄俊?x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A．10 B．20 C．30 D．60【解析】Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3y2的第r＋1項(xiàng)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(r,3)x2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.【答案】C高頻考點(diǎn)四二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)例4．【2019年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是__________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是__________．【答案】SKIPIF1<05【解析】由題意，SKIPIF1<0的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0共5個(gè)項(xiàng)．【變式探究】設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項(xiàng)為(A)－15x4(B)15x4(C)－20ix4(D)20ix4【答案】A【解析】二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，令，得，則展開式中含的項(xiàng)為，故選A.【變式探究】已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(5)的展開式中含xeq\f(3,2)的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3) C．6 D．－6【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(5)的展開式通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)xeq\f(5－r,2)(－1)rar·x－eq\f(r,2)＝(－1)rarCeq\o\al(r,5)xeq\f(5,2)－r，令eq\f(5,2)－r＝eq\f(3,2)，則r＝1，∴T2＝－aCeq\o\al(1,5)xeq\f(3,2)，∴－aCeq\o\al(1,5)＝30，∴a＝－6，故選D.【答案】D高頻考點(diǎn)五二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5．SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為()A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C 【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0的項(xiàng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0的項(xiàng)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0前系數(shù)為SKIPIF1<0，選C.【變式探究】若(ax2+)5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實(shí)數(shù)a=_______.【答案】－2【解析】因?yàn)?，所以由，因此【變式探究】二?xiàng)式(x＋1)n(n∈N＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝()A．4 B．5 C．6 D．7【解析】由題意易得：Ceq\o\al(n－2,n)＝15，Ceq\o\al(n－2,n)＝Ceq\o\al(2,n)＝15，即eq\f(n（n－1）,2)＝15，解得n＝6.【答案】C1．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為SKIPIF1<0，故選A．2．【2019年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是__________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是__________．【答案】SKIPIF1<05【解析】由題意，SKIPIF1<0的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0共5個(gè)項(xiàng)．3．【2019年高考江蘇卷理數(shù)】設(shè)SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．(1)求n的值；(2)設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【解析】(1)因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．(2)由(1)知，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解法一：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．解法二：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0．1.(2018年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù))的展開式中的系數(shù)為A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由題可得令,則，所以，故選C.2.(2018年浙江卷)二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是___________．【答案】7【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為,令得，故所求的常數(shù)項(xiàng)為3.(2018年天津卷)在的展開式中，的系數(shù)為____________.【答案】【解析】結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.4.(2018年浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成___________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【答案】1260【解析】若不取零，則排列數(shù)為若取零，則排列數(shù)為因此一共有個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).1.【2017課標(biāo)1，理6】SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C 【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0的項(xiàng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0的項(xiàng)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0前系數(shù)為SKIPIF1<0，選C.2.【2017課標(biāo)II，理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種B．18種C．24種D．36種【答案】D【解析】由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有SKIPIF1<0種方法，然后進(jìn)行全排列SKIPIF1<0即可，由乘法原理，不同的安排方式共有SKIPIF1<0種方法。故選D。3.【2017天津，理14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).(用數(shù)字作答)【答案】1080【解析】SKIPIF1<04.【2017山東，理11】已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則.【答案】4【解析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，令得：，解得．1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()(A)24(B)18(C)12(D)9【答案】B【解析】由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短路徑的條數(shù)為6，再?gòu)腇處到G處最短路徑的條數(shù)為3，則小