第一章行列式線性代數(shù)

第一章行列式1.1行列式的定義補充：關(guān)于代數(shù)方程的基本知識一元一次方程ax

=b1.當(dāng)a

?0時,(*)有唯一解x

=ba2.當(dāng)a

=b

=0時,(*)有無窮多解(任意復(fù)數(shù))(*)3.當(dāng)a

=0,b

?0時,(*)無解一元二次方程ax2

+bx

+c

=02a-

b

–

b2

-

4acx

=一元三次、四次方程也有公式解一元五次及五次以上的方程沒有公式解代數(shù)基本定理一元n次方程a

xn

+

a

xn-1

+

+

a x

+

a

=

0n n-1

1

0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恰有n個根.如果系數(shù)都是實數(shù)，則復(fù)根是成對出現(xiàn)的考慮二元一次方程組21

x1

+

a22

x2

=

b2aa11

x1

+

a12

x2

=

b1當(dāng)a11a22

-

a12a21

?

0時，利用加減消元法容易得到11

22

12

211

22

12

21a

a

-

a

ab

a

-

a

bx

=11

22

12

212a

a

-

a

a=

a11b2

-

b1a21x=ad

-bc,那么如果記a

bc

d1211a21

a221a

ab1bx

=1211212a21

a22a

ab1a

b2a12

a112

a22x

=二階行列式定義為=

a11a22

-

a12a2121

22a

aa11

a12同理，考慮三元一次方程組a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3三階行列式定義為21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1=

+

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a32-

a13a22a31

-

a11a23a32

-

a12a21a33a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a333212

j

3

j1

ja31

a32

a33其中j1

j2

j3分別等于123；231；31（2

帶+號）321；132；21（3

帶-號）a11

a12

a13a21

a22

a23a

a–

a=全排列與逆序數(shù)自然數(shù)1,2,,n按照某種次序排成一行j1

j2

jn

,稱為一個n級全排列,種數(shù)等于n!在一個全排列j1

jp

jp+m

jn中，如果jp

>jp+m，稱(jp

,jp+m

)構(gòu)成排列j1

j2

jn的一個逆序,排列j1

j2

jn的逆序個數(shù)稱為排列j1

j2

jn的逆序數(shù)，記為t(j1

j2

jn

)333231232221j1

j2

j31

j1

2

j2

3

j3a11

a12

a13所以a

a

a

=

(-1)t(

j1

j2

j3

)

a

a

aa

a

a1

21

2a1

j

a2

j1

221

22(-1)t(

j

j

)j

ja

aa

a即

11

12=二階行列式也符合這一規(guī)律所以n階行列式應(yīng)該定義為nnjnnj

j

ja1

j

a2

j1

2a

a1na2na11

a12a21

a22an1

an

2

ann注11=

(-1)t(

j

j

j

)n階行列式是n!項的代數(shù)和，每一項是取自不同行、不同列的n個元素的乘積.

a11

a12

a13

0

a22

a23

0

0

a33

an-1nanna1n-1

a1na2n-1

a2na3n-1

a3n上三角行列式0

0

0

an-1n-10

0

0

0主對角線=

a11a22

ann利用行列式的定義，不難證明annan1

an

20a11

0

0a21

a22

=

a11a22

ann同理下三角行列式n12n(

n-1)an1a11

a12a21

a22=

(-1)

0

0

0

a1naa1na2n-1n12n(

n-1)=

(-1)annan1

an

2a1na2n0

0

0

0

aa1na2n-1左三角行列式右三角