第十二講向量數(shù)量積

當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.cosθ＝a·b(1)a·b·λb)＝λ(a·)＝λa·實數(shù))(3)(a＋b)·c＝ac·＋bc·.a·(1)a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝ (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝|AB|＝x2－x1＋y2－y1

由此可見，只要知道基底的模與數(shù)量積，以及將ab用基底表示出來，則可計算a具備特殊角度的圖形（30,45,60,120等例1、在等腰梯形ABCD中,已知AB//DC,AB2,BC1,ABC60,動點(diǎn)E和F分別段BC和DC上且 1則AEAF的最小值且 ABAF AEBF

2BC2EBCF在邊CD B B

2,0設(shè)Fx,y,由F在CD上可得y2,再由ABAF 解出x:AB2,0,AFx,2yx x1F1,2，Eyx2AEBF21222 3ABCDMPMDAB2AD1且BAD60APCP可得：B2,0,D1,3,C5,3M5,3 73322 44,P8,8

733 53AP8,8,CP8,8

7133353 APCP88884ABCAC3,BC1MNABBCP是ABCANMP的取值范圍是 ,N1,0，設(shè)Px,y22 3AN2,3,MPx2,y2 1 1 3 ANMP2x2 3y22x3y 77 ANMP44別在m,n，ABAC5，則ABAC的最大值 YOYO

3,OAn2 2程，解出m,n，例如兩邊同對OAOCOAmOAnOBOAOA1OAOB0

22

，同理，兩邊對OBOCOBmOAOBnOBn ，所以m3 ，通過作圖可得BOC60或BOC120，從 cosBOC1m

2cosAMAN864864PMA5ON25468例8、已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=2，∠BAC= ，若AO=xAB＋yACa 1A為坐標(biāo)原點(diǎn)，ACxC（2，0），B（3a3

O（1，3(2a1 由AO=xAB＋yAC，得（a

(2a3

)）=（ax，3ax）（

23a2∴x211，y21a2，則xy≥4 223a2 3 → → 因為AB·AC=|AB|·|AC|cos120=2a··(a

)= 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則 → → → → →，又AO·AB=(AD＋DO)·AB=AD·AB＋DO·AB=AD·AB 2

=→ x＝3a2

1→2= AOABxAByABAC 2AO·AC= 2

． －2x＋

aAOACxABACyAC

3)≥所以，x＋y=2a2＋1＋a2＋2=4＋1(a2＋ )≥= a2 9、已知向量

→ ，為單位向量， ＝，點(diǎn)C是向量

→，的夾角內(nèi)一點(diǎn) OA

OA a＋1

＝n＋1

a解析：因為

1a＋1 →

1a＋1→ →

即 ＋ 則→ →

同理可得cosα＝，sinα＝15，所以cosβ＝cos(θ－α)＝11，所 → 又→

3an＋1an＋1→ →

OA·OC＝|OA||OC|cosβ＝41 OA·OB＋a1OA·OA，所以＝ ×