結構化學基礎（周公度第4版）習題答案

01.量子力學基礎知識

【1.1】將鋰在火焰上燃燒，放出紅光，波長才=670.8nm,這是Li原子由電子組態(tài)(ls)2(2p)」(ls)2(2s＞躍

遷時產(chǎn)生的，試計算該紅光的頻率、波數(shù)以及以kJ?mol'為單位的能量。

c2.998xl08m-s-'..,

v=—=--------------------=4.469nxlOin)4s

解：2670.8m

v------------——-——=1.491x104cm-1

A670.8x10-cm

34

E=hvNA=6.626x10-J-sx4.469x10'V

x6.6023xl023mor'=178.4WmoF'

【1.2］實驗測定金屬鈉的光電效應數(shù)據(jù)如下:__________________________________________

波長A/nm312.5365.0404.7546.1

光電子最大動能EJ10T9J3.412.561.950.75

作“動能-頻率”，從圖的斜率和截距計算出Plank常數(shù)(h)值、鈉的脫出功(W)和臨閾頻率(0)。

解：將各照射光波長換算成頻率匕并將各頻率與對應的光電子的最大動能Ek列于下表:

入/nm312.5365.0404.7546.1

v/10l4s-19.598.217.415.49

Ek/10-19J3.412.561.950.75

由表中數(shù)據(jù)作圖，示于圖1.2中

圖1.2金屬的圖

由式

hv-hv0+Ek

1

推知

力=且=也

v-v0Av

即Planck常數(shù)等于且一“圖的斜率。選取兩合適點，將々和v值帶入上式，即可求出〃。例如:

力_(2.70—1.05)x10-/

=6.60x1034/$

7-(8.50-600)X10I4S-'

=4.36xl0t「

圖中直線與橫坐標的交點所代表的v即金屬的臨界頻率%,由圖可知，%。因此，金屬鈉

的脫出功為：

W=〃％=6.60x1(T34./sx4.36x10%T

=2.88x10'/

【1.3】金屬鉀的臨閾頻率為5.464X10%'，如用它作為光電極的陰極當用波長為300nm的紫外光照射該電

池時，發(fā)射光電子的最大速度是多少？

,,12

hv=//v04--mv*"

解：2

“3一%)￥

U——

m

2x6.626x10-34j5(2.998x10”『_5.464x10%

(300x10-9加

9.109x10"

「2x6.626x10-34/sx4.529X10%T1

9.109xl0-31^

=8.12x105〃？

[1.4]計算下列粒子的德布羅意波的波長：

(a)質(zhì)量為10“°kg,運動速度為0.01m?s'的塵埃;

(b)動能為O.leV的中子；

(c)動能為300eV的自由電子。

解：根據(jù)關系式:

h_6.626xlQ-^Js

26.626xl(r22m

mv10lokgx0.01m-s-'

(1)

2

⑵4=2=4=

pyl2mT

________________6.626x1O's

^2x1.675x10-27kgx0.1eVx1.602x10-19J?(eV)-1

=9.403xl0"m

_____________6.626*1O'j-s____________

72x9.109x103lkgxl.602xl0^19Cx300V

=7.08xl0-llm

【1.5】用透射電子顯微鏡攝取某化合物的選區(qū)電子衍射圖，加速電壓為200ZV,計算電子加速后運動時的

波長。

解：根據(jù)deBroglie關系式：

.hhh

A,——==-1—

pmuyj2meV

=_____________6.626x10-34/$_____________

72x9.109xl0-31^xl.602xl0_|9Cx2xl05V

=2.742xl（）T2m

[1.6]對一個運動速度。c（光速）的自由粒子，有人進行了如下推導：

①②〃③④￡*⑤1

mv=p=—=——=--—rm

4Vv2

1

mu=—mu

結果得出2的結論。上述推導錯在何處？請說明理由。

解：微觀粒子具有波性和粒性，兩者的對立統(tǒng)一和相互制約可由下列關系式表達：

E=hv

p-hlX

式中，等號左邊的物理量體現(xiàn)了粒性，等號右邊的物理量體現(xiàn)了波性，而聯(lián)系波性和粒性的紐帶是Planck

常數(shù)。根據(jù)上述兩式及早為人們所熟知的力學公式：

p=inu

知①，②，④和⑤四步都是正確的。

微粒波的波長人服從下式：

A=u/v

式中，u是微粒的傳播速度，它不等于微粒的運動速度u,但③中用了4=〃/乙顯然是錯的。

在④中，E=丫無疑是正確的，這里的E是微粒的總能量。若計及E中的勢能，則⑤也不正確。

[1.7]子彈（質(zhì)量0.01kg,速度1000m?一）,塵埃（質(zhì)量10”g,速度10m?s）作布郎運動的花粉（質(zhì)

3

量10-13kg,速度Im?5）、原子中電子（速度1000m?s-1）等，其速度的不確定度均為原速度的10%,判

斷在確定這些質(zhì)點位置時，不確定度關系是否有實際意義？

解：按測不準關系，諸粒子的坐標的不確定度分別為：

h小

626X10-"_663X10-34W

子彈:m-Av0.01^xl000xl0%m<'

h”26x1^3sexier,

Ax=

109依xlOxlO%AH?S

塵埃:m-Av

h6.626x10-^.,-^

Ax=63xlQ

13

花粉:m-Av10-^xlxl0%m-r'

h

Ar=_______6￡26xl0-"s_______=7.27xl。％

依*力

電子：m-Av9.109x10-311000x10%si

[1.8]電視機顯象管中運動的電子，假定加速電壓為1000V,電子運動速度的不確定度△。為。的10%,

判斷電子的波性對熒光屏上成像有無影響？

解：在給定加速電壓下，由不確定度關系所決定的電子坐標的不確定度為：

h

my]2eVImxlO%

__________6.626xl(f34jsxio

72x9.109xl0-3,^xl.602xl0-l9Cxl03V

=3.88x10-10%

這坐標不確定度對于電視機（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍電視機）熒光屏的大小來說，完全可以

忽略。人的眼睛分辨不出電子運動中的波性。因此，電子的波性對電視機熒光屏上成像無影響。

[1.9]用不確定度關系說明光學光柵（周期約I。"'"？）觀察不到電子衍射（用HX）OOOV電壓加速電子）。

解：解法一：根據(jù)不確定度關系，電子位置的不確定度為：

然=4-="-=1.226x10-9_Lm

1

=1.226x10-9m

V10000

=1.226xl0-"m

這不確定度約為光學光柵周期的IO-倍，即在此加速電壓條件下電子波的波長約為光學光柵周期的10

r倍，用光學光柵觀察不到電子衍射。

解法二：若電子位置的不確定度為10"m,則由不確定關系決定的動量不確定度為：

Ah6.626x10-34/5

=---=--------3：-------

A%106nt

=6.626x10-28Jsrn}

在104V的加速電壓下，電子的動量為：

4

px=mux=\j2meV

=72X9.109X10'3I^X1.602X10'I9CX104V

=5.402x10-23/$m'

由Apx和Px估算出現(xiàn)第一衍射極小值的偏離角為：

0=arcsin6=arcsin—

Px

"6.626xIQ-28J5tn-'

、5.402*10-23j$m

arcsinlO^

這說明電子通過光柵狹縫后沿直線前進，落到同一個點上。因此，用光學光柵觀察不到電子衍射。

[1.10]請指出下列算符中的線性算符和線性自扼算符:

dd~.t~.d

,log,sin,v,z—

ax5axax

解：由線性算符的定義：

A(%+〃p=A%+4的

dd2,d_

'dx'dx2為線性算符;而以為線性自輾算符.

[Liu°=此一”是算符I公2J的本征函數(shù)，求其本征值。

解：應用量子力學基本假設II（算符）和HI（本征函數(shù)，本征值和本征方程）得:

J-4a2x2V=f4-4a2x2]xe~^

w）J

=-laxeT^一4奴"加+4。2工)”2

=-6axe~ax

=-6ay/

因此，本征值為F。。

d2

[1.12]下列函數(shù)中，哪幾個是算符的本征函數(shù)？若是，求出本征值。

e\sinx,2cosx,x3,sinx+cosx

22

dxd

解：dx,e是dx~的本征函數(shù)，本征值為1。

5

d2d2

——-sinx=lxsinx,——-

dxsinx是dx的本征函數(shù)，本征值為1。

d2、c

(2cosx)=2cosx

.d

[1,13]e"”和cos，〃。對算符"”是否為本征函數(shù)？若是，求出本征值。

解：°。，im=—me""’

.d

i—

所以，e,w是算符的本征函數(shù)，本征值為一加。

z—cos=z（-sinm科m=-imsinm（/）wccos機。

而加

,_d_

所以cosm"不是算符“外的本征函數(shù)。

[1.14]證明在一維勢箱中運動的粒子的各個波函數(shù)互相正交。

證：在長度為/的一維勢箱中運動的粒子的波函數(shù)為:

0<x<1"=1,2,3,

令n和n，表示不同的量子數(shù)，積分:

\n-HIIn+nI

〃和〃皆為正整數(shù)，因而11和I’皆為正整數(shù),所以積分:

6

J%（X）%（X"T=O

0

弘（x）和匕（x）互相正交。

根據(jù)定義,

［1.15］已知在一維勢箱中粒子的歸一化波函數(shù)為

2.H7TX

”(x)—sin-----

〃=1,2,3…

式中/是勢箱的長度，x是粒子的坐標求粒子的能量，以及坐標、動量的平均值。

解：（1）將能量算符直接作用于波函數(shù)，所得常數(shù)即為粒子的能量:

222

hd/2.nnx.hd/2njimix、

H\|/(x)=-4sm丁)=-

n2T(COS)

8兀2mdx8兀2mdxVTT-F

h2[2nrv.n7V.n兀x、

—x——x(-----sin------)

8兀2mIIII

27,,222

—hx優(yōu)兀2.n/rxnh,、

-X—sin-----=(x)

8/加/2w^

22

rnh

即：8m/'

（2）由于父匕（幻力0匕（*）K無本征值,

只能求粒子坐標的平均值:

~2

（3）由于0MoM（x）口無本征值。按下式計算小的平均值:

〈凡〉=［歸（"/（"2

[2.Y171Xihdn7rx

—sin----------dtx

2萬dx

mhr/.n7rxn7ix,八

-----sin-----cos-----ci￥=O

/2Jo//

［1.16］求一維勢箱中粒子在例和的狀態(tài)時，在箱中049/~0.51/范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率，并與圖132（b）

相比較，討論所得結果是否合理。

7

12.7TX2/\2.2萬x

弘("—sin——^-(x)=ySin—

ft?：(a)JII

27rx

[2.2/\2.227rx

力2（》）=.J—sin----力(x)=/Sin-1

V/I

由上述表達式計算%2（x）和必（x）,并列表如下:

x/101/81/41/33/81/2

次（X）〃T

00.2931.0001.5001.7262.000

歸（X）/L

01.0002.0001.5001.0000

x/l5/82/33/47/81

癡(X)/L

1.7261.5001.0000.2930

必(x)/L

1.0001.5002.0001.0000

根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)作癖（X）一X圖示于圖1.16中。

X/I

圖1.16

（b）粒子在內(nèi)狀態(tài)時，出現(xiàn)在°-49/和0.51/間的概率為:

0.51/

4=J

0.49/

0.5C1/c2.7TX,

I-sin2"——ax

0.49//I

0.51/

2xI.2"尤

--------sm

I24TI0.49/

8

0.51/

x1.2冗x

------sin----

I2)I0.49/

=0.02---(sin1.02^--sin0.98%)

=0.0399

粒子在弧狀態(tài)時，出現(xiàn)在0.49/和0.51/見的概率為：

0.51/

2=J(x)"x

、2

2nx

dx

0.49/7

0.51/

2TTX.

ax

0.49/

20.51/

75一藐0.49/

0.49/1.4萬X0.49/

----------sin----------

147rI

?0.0001

(c)計算結果與圖形符合。

[1.17]鏈型共規(guī)分子2cHeHCHCHCHCHCH?在長波方向160nm處出現(xiàn)第一個強吸收峰，試按一

維勢箱模型估算其長度。

解：該分子共有4對萬電子，形成可離域乃鍵。當分子處于基態(tài)時，8個乃電子占據(jù)能級最低的前4

個分子軌道。當分子受到激發(fā)時，萬電子由能級最高的被占軌道(n=4)躍遷到能級最低的空軌道(n=5),

激發(fā)所需要的最低能量為AE=E5—E4,而與此能量對應的吸收峰即長波方向460nm處的第一個強吸收峰。

按一維勢箱粒子模型，可得：

.heh2

△E=—=(M2〃+l1X)----

A',8』

因此:

1

(2/1+1)/122

Sme

I

-(2x4+1)x6.626x10-34/5x460x10"〃中

―8x9.109x10"42.988x10%『

=1120pm

計算結果與按分子構型參數(shù)估算所得結果吻合。

9

[1.18]一個粒子處在。=匕=。的三維勢箱中，試求能級最低的前5個能量值[以h2/(8ma2)為單位],計算每

個能級的簡并度。

解：質(zhì)量為m的粒子在邊長為a的立方箱中運動，其能級公式為:

43"￡府+始+〃;)

罵“=3

j1

%2=昂|=￡21|=6

n^222

，

E|22=-￡212=￡221=9]]E|]3-E]3i-E3i]

七113=臼3尸石31尸11

及22=1290|22-^212-^221

[1.19]若在下一離子中運動的萬電手可用F勢箱近似表示其運酬解i由2「E211

估計這一勢箱的長度/=13"找，根據(jù)i汜級公式￡，3=/廠/8〃”2估周3電子躍遷時所吸收的光的波長，并

與實驗值510.0比較。

,HHH

圖

午

立

箱

察黑H

但3T

CKcf

C二

://=I

Nc工

H

II——

H

C山H

CH3

解：該離子共有10個萬電子，當離子處于基態(tài)時，這些電子填充在能級最低的前5個萬型分子軌道上。

離子受到光的照射，》電子將從低能級躍遷到高能級，躍遷所需要的最低能量即第5和第6兩個分子軌道

的的能級差。此能級差對應于棘手光譜的最大波長。應用一維勢箱粒子的能級表達式即可求出該波長:

2222

Ar,he.L6/I5/I11"

△E=-=耳、一旦=---7-------------7=--------T

2652尸

8m/8mSml2

.Smcl2

z=------

llh

89

8x9.1095x10出煙u2.9979x10m<'x(1.3x1O-m『

11x6.6262xlO-34Js

=506.67im

實驗值為510.0nm,計算值與實驗值的相對誤差為-0.67%。

[1.20]已知封閉的圓環(huán)中粒子的能級為：

22

卜r----n--h--

"8島nR?〃=0,±1,±2,±3,…

6

式中〃為量子數(shù)，R是圓環(huán)的半徑，若將此能級公式近似地用于苯分子中氏離域左鍵，取R=140pm,試求

其電子從基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)所吸收的光的波長。

解：由量子數(shù)n可知，n=0為非簡并態(tài)，|n|》l都為二重簡并態(tài)，6個左電子填入n=0,1,T等3個

軌道，如圖1.20所示：

10

4

AE

圖1.20苯分子或能級和電子排布

2

FF_(4-1)//_he

△石=E?—E[—zz—-

21"mR?2

1812機R2c

Z=--------

3h

8/x(9.11x100依)*(1.40x10一1°加了x(2.998x10s/??5-1)

3X(6.626X10-34JS)

212x10-9m=212nm

實驗表明，苯的紫外光譜中出現(xiàn)B,1和a共3個吸收帶，它們的吸收位置分別為184.0nm,208.0nm

和263.0nm,前兩者為強吸收，后面一個是弱吸收。由于最低反鍵軌道能級分裂為三種激發(fā)態(tài)，這3個吸收

帶皆源于乃電子在最高成鍵軌道和最低反鍵之間的躍遷。計算結果和實驗測定值符合較好。

[1,21]函數(shù)03=2025血("4)-3,2/*11(2公/4)是否是_維勢箱中粒子的_種可能狀態(tài)？若

是，其能量有無確定值？若有，其值為多少？若無，求其平均值。

解：聲函數(shù)是長度為"的一維勢箱中粒子的一種可能狀態(tài).因為函數(shù)％(x)=02/“sm("x/a)和

%(x)='2/asin(2乃x/a)都是一維勢箱中粒子的可能狀態(tài)(本征態(tài))，根據(jù)量子力學基本假設w(態(tài)疊

加原理)，它們的線性組合也是該體系的一種可能狀態(tài)。

因為力“(X)=方[2弘(x)-3%(x)]

=2"%(x)-3H匕(x)

4h2

=2x----i//(x)-3x---

8碗28后?一

豐常數(shù)X”(x)

所以，“(X)不是方的本征函數(shù)，即其能量無確定值，可按下述步驟計算其平均值。

將〃⑴歸一化：設〃(x)=c〃3,即：

(x46&=dx=^c1i//2{<x^dx

000

_f2fo(2.7TX[2.2Gl

=Ic2./_sin----3J_sin----dx

*IVaVaa,

11

=13C2=1

13

“(X)所代表的狀態(tài)的能量平均值為:

aA

(￡1〉=J.(x)Hi//(x)tZr

c2h2.2%尤7r15C2/I2.TCX.27cx.r9c2/z2.?2TCX.

---z-sin——ax-.....r-srn——sin----ax+-----sin*^----ax

maa*2maaama~a

_5c2h1_5h2

/na213ma2

也可先將乙㈤和%⑺歸-化，求出相應的能量，再利用式㈤='夕月求出"⑺所代表的狀態(tài)的能

量平均值:

h2八122h240c2h240h215h2

X---------7+yC~X-----------=----------------=-----------X——=-------------

8ma“Sma2Sma2Sma21313ma2

02原子的結構和性質(zhì)

[2.1]氫原子光譜可見波段相鄰4條譜線的波長分別為656.47、486.27、434.17和410.29nm,試通過數(shù)

學處理將譜線的波數(shù)歸納成為下式表示，并求出常數(shù)R及整數(shù)m、m的數(shù)值。

I)

〃2

解：將各波長換算成波數(shù):

4=656.47〃"zvi=15233cm-1

4=486.27nmv?=20565cm-

4=434.17〃〃zV3=23032cm-

4=410.29m%V4=24373c"

由于這些譜線相鄰，可令勺=加，々="+1，加+2,

。列出下列4式:

RR

15233=—

"2+1)2

20565=VR

m"72+2)2

12

23032=VR

m(zn+3)2

24373=-4R

m~(根+4)~

⑴?、频茫?/p>

15233(2加+1)(加+2『

=0.740725

20565=-4(加+^

用嘗試法得m=2（任意兩式計算，結果皆同）。將m=2帶入上列4式中任意一式，得:

R=109678c、"i

因而，氫原子可見光譜（Balmer線系）各譜線的波數(shù)可歸納為下式:

T十一制

R=l()9678cn/T，4=2,4=3,4,5,6

式中,

[2.2]按Bohr模型計算氫原子處于基態(tài)時電子繞核運動的半徑（分別用原子的折合質(zhì)量和電子的質(zhì)量計算

并精確到5位有效數(shù)字）和線速度。

解：根據(jù)Bohr提出的氫原子結構模型，當電子穩(wěn)定地繞核做圓周運動時，其向心力與核和電子間的庫

侖引力大小相等，即：

mu；_e1

%―4您。1n=）＞2,3,……

式中，九%和/分別是電子的質(zhì)量，繞核運動的半徑，半徑為〃時的線速度，電子的電荷和真空電

容率。

同時，根據(jù)量子化條件，電子軌道運動的角動量為:

nh

5=五

將兩式聯(lián)立，推得：

e1

rn2

Time4H

當原子處于基態(tài)即n=l時，電子繞核運動的半徑為:

4=

兀me-2

(6.62618x10-34x8.85419x10-12C2J_1rn'

=52.918pm

^x9.10953xl0-3l^x(1.60219xl0',9C)?

若用原子的折合質(zhì)量〃代替電子的質(zhì)量優(yōu)，則:

52.918〃/%

=52.918/?znx—==52.947pm

20.99946

基態(tài)時電子繞核運動的線速度為:

13

U[=■

2%o

(1.60219X1019C)2

-2x6.62618xl0-34J^Pmi9xl0-|2C2J-'m'

=2.1877x1()6相<'

【2.3】對于氫原子：

(a)分別計算從第一激發(fā)態(tài)和第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產(chǎn)生的光譜線的波長，說明這些譜線所屬的線系

及所處的光譜范圍。

(b)上述兩譜線產(chǎn)生的光子能否使：(i)處于基態(tài)的另一氫原子電離？(ii)金屬銅中的銅原子電離(銅

的功函數(shù)為7?44xl()T9/)?

(c)若上述兩譜線所產(chǎn)生的光子能使金屬銅晶體的電子電離，請計算出從金屬銅晶體表面發(fā)射出的光電

子的德補羅意波的波長。

解：(a)氫原子的穩(wěn)態(tài)能量由下式給出：

E?=-2.18X10-18-J

n

式中n是主量子數(shù)。

第一激發(fā)態(tài)(n=2)和基態(tài)(n=l)之間的能量差為:

818-18

AE,=E2-E,=(-2.18X10-'-^J)-(-2.18X10-YJ)=1.64X10J

原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射出的譜線的波長為：

ch(2.9979xl08msT)x(6.626xl0QJs)

4函—1.64x10，

第六激發(fā)態(tài)(n=7)和基態(tài)(n=1)之間的能量差為:

=(-2.18X10-'8-J)-(-2.18X10",8~J)=2.14X10-|8J

所以原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射出的譜線的波長為：

,ch(2.9979x108m-5-1)x(6.626x1O-34J-s)

=92.9〃加

*AE62.14X10，

這兩條譜線皆屬Lyman系，處于紫外光區(qū)。

(b)使處于基態(tài)的氫原子電離所得要的最小能量為：

AE?.=E?,-E,=-E,=2.18X10l8J

1S

而AE1=1.64X10J<AE-

△&=2.14X10I8J<AEo.

所以，兩條譜線產(chǎn)生的光子均不能使處于基態(tài)的氫原子電離，但是

,9

AE,>OC=7.44X10J

△Ee>①c,=7.44X1019J

所以，兩條譜線產(chǎn)生的光子均能使銅晶體電離。

14

(c)根據(jù)德布羅意關系式和愛因斯坦光子學說，銅晶體發(fā)射出的光電子的波長為：

hhh

A,———=―.—

pmv02mAE

式中△E為照射到晶體上的光子的能量和中g之差。應用上式，分別計算出兩條原子光譜線照射到銅晶體上

后銅晶體所發(fā)射出的光電子的波長：

6.626X10-34J-5CC

4=--------------------------------------------=519pm

[(2x9.1095x10-31/)X(I.64X10FJ—7.44x1()79

[(2x9.1095x10-31依)x(2.14x10，-7.44x10-19

【2.4】請通過計算說明，用氫原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產(chǎn)生的光子照射長度為1120〃/〃的線型分子

CH2CHCHCHCHCHCHCH2該分子能否產(chǎn)生吸收光譜。若能，計算譜線的最大波長；若不能，請?zhí)?/p>

出將不能變?yōu)槟艿乃悸贰?/p>

解：氫原子從第六激發(fā)態(tài)(n=7)躍遷到基態(tài)(n=l)所產(chǎn)生的光子的能量為：

△EH=-13.595x*eV—1—13.595X*V)=13.595X*V

?13.32eV?1.285xl06JmoL

而CH2cHeHCHCHCHCHCH2分子產(chǎn)生吸收光譜所需要的最低能量為：

52h242/?2h2

-菽-菽=9、菽

9x(6.626x10-34/s)2

8x9.1095x10-31x(1120x1O-12m)2

=4.282xlOT9/

=2.579xlO5JmoP'

顯然但此兩種能量不相等，根據(jù)量子化規(guī)則，CH2cHeHCHCHCHCHCH?不能產(chǎn)生吸

收光效應。若使它產(chǎn)生吸收光譜，可改換光源，例如用連續(xù)光譜代替H原子光譜。此時可滿足量子化條件，

該共粗分子可產(chǎn)生吸收光譜，其吸收波長為：

工he6.626xIO'J.2.998x⑹加「

△E9x(6.626x10-34/5)2

8x9.1095xl0^'^x(l120x10

=460〃加

[2.5]計算氫原子必'在r=a°和，=2%處的比值。

解：氫原子基態(tài)波函數(shù)為：

1(1\3/2_L

-7=—

7兀1q

15

該函數(shù)在r二ao和廠2或處的比值為:

/1、3/2劭

11—一

I

—=2.71828

2

而“is在在r=a和r=2ao處的比值為:

e2^7.38906

[2.6]計算氫原子的1s電子出現(xiàn)在r=l0°P"的球形界面內(nèi)的概率。

\xneaxdx=----\xn-'eaKdx+c

JaaJ)

解：根據(jù)波函數(shù)、概率密度和電子的概率分布等概念的物理意義，氫原子的1s電子出現(xiàn)在r=100pm的

球形界面內(nèi)的概率為:

IOO/wznlit

P=J

0"00匕"

100/7/MnIn[2r100pm2r兀2n

=J|j---er2sin0drd3d（/）=---jr2e（hdr^mOdO^d（/）

000"/000

?0.728

那么，氫原子的Is電子出現(xiàn)在r=100pm的球形界面之外的概率為1-0.728=0.272o

P(r)=門<P\r2s\r\0drd0d(f>“八?

【2.7】計算氫原子的積分：JoJoJr~s，作出P⑺一廠圖，求P(r)=0.1時的r值,

說明在該r值以內(nèi)電子出現(xiàn)的概率是90%?

2%18

P(r)-jJJ“I：，sinOdrdOd^)

解：

Inn8]

r2sinOdrdOd（!）=jsinSde1—""/dr

700

1oo、

4Jr2e~2,dr=4--r,2e-2r+[re~lrdr

2r

r1,,1,1r

4--r2e-2r--re-2r+-[e~2rdr

、222J

\r7

00

4--r2e-2r--re-2r--e-2r

{224

16

=0⑶(2,+2r+l)

根據(jù)此式列出P(r)-r數(shù)據(jù)表:___________________________________________________________

r/a000.51.01.52.02.53.03.54.0

P(r)1.0000.9200.6770.4230.2380.1250.0620.0300.014

根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出P(r)-r圖示于圖2.7中：

由圖可見：時，P(r)=°」

r〉2.74時，P(r)<0]

「<2.74時:P(r)>0.1

即在r=2.7ao的球面之外，電子出現(xiàn)的概率是10%,而在廠2.7a。的球面以內(nèi)，電子出現(xiàn)的概率是90%,即:

2%n2.7%

J|J臉，sinOdrdOd（j）=0.90

2345

r/a（）

圖2.7P（r）-i?圖

[2.8]已知氫原子的歸一化基態(tài)波函數(shù)為

%=(aexp[-r/%]

(a)利用量子力學基本假設求該基態(tài)的能量和角動量；

(b)利用維里定理求該基態(tài)的平均勢能和零點能。

解：(a)根據(jù)量子力學關于“本征函數(shù)、本征值和本征方程”的假設，當用Hamilton算符作用于2

時，若所得結果等于一常數(shù)乘以此垢“則該常數(shù)即氫原子的基態(tài)能量以。氫原子的Hamiltton算符為：

由于弧,的角度部分是常數(shù)，因而方與。，巾無關:

豈h21d(dye2

r2

H=------——7----------

8乃m廣drydrJ4兀

將方作用于科,，有：

h21d

17

12

hid(2_dye

3/mr26rv。廠,""4兀￡°r"

h21\

8兀2mr2

2

h1/_1-X|7一上e

22222

=-----------\—2r7ra0e%+r7rane%W\s

8Hm廣\4