江蘇省揚(yáng)州市田家炳實驗中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

江蘇省揚(yáng)州市田家炳實驗中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.南北朝時代的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為，被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為，則“相等”是“總相等”的

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】由題“總相等”一定能推出“相等”，反之舉反例即可【詳解】由祖暅原理知：“總相等”一定能推出“相等”，反之：若兩個同樣的圓錐，一個倒放，一個正放，則體積相同，截面面積不一定相同故選：B【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，立體幾何綜合，理解祖暅原理是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2.某人隨機(jī)地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針（不包括三角形邊界及圓的邊界），則針扎到陰影區(qū)域（不包括邊界）的概率為A.

B.

C.

D.以上全錯參考答案：B試題分析：設(shè)正三角形的邊長為，圓的半徑為，則正三角形的面積為，由正弦定理得得，圓的面積，有幾何概型的概率計算公式得概率，故答案為B.考點：幾何概型的概率計算.3.若函數(shù)與的定義域均為R，則A.與與均為偶函數(shù)

B.為奇函數(shù)，為偶函數(shù)C.與與均為奇函數(shù)

D為偶函數(shù)，為奇函數(shù)參考答案：D4.已知，，，則實數(shù)的大小關(guān)系為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b－3(x∈R)圖象恒過點(2,0)，則a2＋b2的最小值為()A．5

B.

C．4

D.參考答案：B6.O是所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則的形狀一定為（

）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．斜三角形參考答案：C略7.已知，，則cos2α＝A．

B．

C．

D．參考答案：A8.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且邊上的高為，則取得最大值時，內(nèi)角的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】解三角形C8D解析：因為，得，則，所以當(dāng)時取得最大值，則選D.【思路點撥】結(jié)合已知條件利用三角形面積公式及余弦定理把轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的三角函數(shù)問題，再進(jìn)行解答即可.9.如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線,及直線,與x軸圍成，向矩形內(nèi)隨機(jī)投擲一點，若落在陰影部分的概率為，則的值是A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加朗讀比賽，其中只有一位獲獎，有同學(xué)走訪這四位同學(xué)，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”。若四位同學(xué)中只有兩人說的話是對的，則獲獎的同學(xué)是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在四邊形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，則BD的最大值為

．參考答案：8【考點】正弦定理．【分析】由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．點D在以AC為直徑的圓上（去掉A，B，C）．可得：當(dāng)BD經(jīng)過AC的中點O時取最大值，利用余弦定理可得：OB，可得BD的最大值=OB+AC．【解答】解：由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．∴點D在以AC為直徑的圓上（去掉A，B，C）．∴當(dāng)BD經(jīng)過AC的中點O時取最大值，OB2=32+72﹣2×3×7cos∠BAC=25，解得OB=5，∴BD的最大值=5+AC=8．故答案為：8．12.展開式中常數(shù)項為

參考答案：展開式的通項為，由，得，所以常數(shù)項為。13.將“楊輝三角”中的數(shù)從左到右、從上到下排成一數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，右圖所示程序框圖用來輸出此數(shù)列的前若干項并求其和，若輸入m=4則相應(yīng)最后的輸出S的值是__________．參考答案：214.已知經(jīng)過雙曲線的一個焦點的直線，垂直于C的對稱軸，且與C兩條漸近線分別交于兩點，若為C的實軸長的倍，則C的離心率

.參考答案：15.已知均為正數(shù)，且，則的最小值為

．參考答案：816.設(shè)和為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則∥；②若外的一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則∥；③設(shè)，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；④直線的充要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直.其中所有的真命題的序號是

.參考答案：17.的展開式中，的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）．參考答案：10.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.等差數(shù)列的前項和為，已知，為整數(shù)，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.參考答案：（1）；（2）試題分析：（1）因為等差數(shù)列的，為整數(shù)，所以公差為整數(shù)，設(shè)公差為，則，即可求得的值；（2）因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，利用裂項求和即可求得數(shù)列的前項和.試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為因為，為整數(shù)所以公差為整數(shù)由等差數(shù)列的通項公式得，即得所以所以數(shù)列的通項公式為考點：等差數(shù)列；裂項求和.19.（滿分10分）《選修4-5：不等式選講》已知函數(shù)．（I）證明：≤≤3；（II）求不等式≥的解集．參考答案：解：（I）

當(dāng)

所以

………………5分

（II）由（I）可知，

當(dāng)?shù)慕饧癁榭占?/p>

當(dāng)；

當(dāng).

綜上，不等式

…………10分20.已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點．（I）求證：EF⊥平面PAD；（II）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小．參考答案：

解答： 解：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，（4分）∵E、F為PA、PB的中點，∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；

（6分）（II）解：過P作AD的垂線，垂足為O，∵平面PAD⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD．取AO中點M，連OG，EO，EM，∵EF∥AB∥OG，∴OG即為面EFG與面ABCD的交線（8分）又EM∥OP，則EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，故OG⊥EO∴∠EOM即為所求

（11分）在RT△EOM中，EM=OM=1∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°∴平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小是60°．（14分）略21.（本題滿分16分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,1)，其導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)均在函數(shù)的圖象上.（1）求數(shù)列{an}的通項公式an和；（2）設(shè)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m.參考答案：（1）由題意，可設(shè).因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,1)，所以.而，所以a=3，b=－2.于是.

………………3分因為點(n，Sn)均在函數(shù)的圖象上，所以Sn.…………5分所以a1=S1=2，當(dāng)時，，故

………………8分（2）………10分所以當(dāng)n>1時，

.

…………12分對所有都成立對所有都成立

故所求最小正整數(shù)m為6.

………16分略22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分．已知曲線:，直線經(jīng)過點且其一個方向向量為.（1）

若曲線的焦點在直線上，求實數(shù)的值；（2）

當(dāng)時，直線與曲線相交于、兩點，求的值；（3）

當(dāng)（）變化且直線與曲線有公共點時，是否存在這樣的實數(shù),使得點關(guān)于直線的對稱點落在曲線的準(zhǔn)線上.若存在,求出的值；若不存在，請說明理由.

參考答案：（1）由得，，即，所以，，所以……3分（2）當(dāng)時，，直線：…4分將直線與曲線的方程聯(lián)立得，，……5