湖南省邵陽(yáng)市楊橋鎮(zhèn)石子塘中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖南省邵陽(yáng)市楊橋鎮(zhèn)石子塘中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)（a，b）是圓x2+y2=r2外的一點(diǎn)，則直線ax+by=r2與圓的位置關(guān)系（）A．相離 B．相切C．相交且不過(guò)圓心 D．相交且過(guò)圓心參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由點(diǎn)（a，b）是圓x2+y2=r2外的一點(diǎn)，知a2+b2＜r2，由此得到圓心（0，0）到直線ax+by=r2的距離d∈（0，r），由此能判斷直線ax+by=r2與圓的位置關(guān)系．【解答】解：∵點(diǎn)（a，b）是圓x2+y2=r2外的一點(diǎn)，∴a2+b2＜r2，∵圓心（0，0）到直線ax+by=r2的距離：d=＜r，且d＞0，∴直線ax+by=r2與圓相交且不過(guò)圓心．故選：C．2.若實(shí)數(shù)，滿足，則關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根的概率是（

）． A． B． C． D．參考答案：C根的判別式，∴，在平面直角坐標(biāo)系中，作出約束條件，，所表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分面積為：，所求概率．3.已知橢圓C：（），點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使，則離心率的取值范圍為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A，設(shè)，則，可得，故選A.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率的范圍，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問(wèn)題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍.本題是利用構(gòu)造出關(guān)于的不等式，最后解出的范圍.4.已知{1，2}?Z?{1，2，3，4，5}，滿足這個(gè)關(guān)系式的集合Z共有

()．A．2個(gè)

B．6個(gè)

C．4個(gè)

D．8個(gè)參考答案：D5.若的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（

）

A．

B．

C．－45

D．45參考答案：D6.在三角形中，,則的大小為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.下列命題的敘述：①若p：?x＞0，x2﹣x+1＞0，則￢p：?x0≤0，x02﹣x0+1≤0；②三角形三邊的比是3：5：7，則最大內(nèi)角為π；③若?=?，則=；④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要條件，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)命題的否定的定義可知①錯(cuò)誤；首先根據(jù)三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)，確定長(zhǎng)度為7的邊所對(duì)的角最大，再使用余弦定理求出該角即可判斷②正確；將原式移項(xiàng)變形得到，根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知此時(shí)有三種可能，故③錯(cuò)誤；若ac2＜bc2，則a＜b，但反之不成立，故④正確．【解答】解：對(duì)于①：根據(jù)命題的否定的定義可知，￢p：?x0≤0，x02﹣x0+1≤0，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：根據(jù)三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)，7所對(duì)的角最大，再由余弦定理，得cosα=，故，即最大內(nèi)角為π，故②正確；對(duì)于③：若，則，此時(shí)，，或，有三種可能，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：若ac2＜bc2，則a＜b，故ac2＜bc2是a＜b的充分條件；當(dāng)a=﹣2，b=3，c=0時(shí)，a＜b，但ac2＜bc2不成立．所以ac2＜bc2是a＜b的充分不必要條件，故④正確；綜上可知，真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的否定，余弦定理，向量的數(shù)量積以及不等式的基本性質(zhì)，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用．8.定義集合運(yùn)算：A☆B=.設(shè)集合，，則集合A☆B的元素之和為（

）A．2

B．1

C．3

D．4參考答案：C9.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為()A.－7

B.

C.7

D.－7或參考答案：A10.已知，則的值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】將兩邊平方運(yùn)算即可得解【詳解】解：由，得，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角求值問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知F是雙曲線C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6）．當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為

．參考答案：12【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；開放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用雙曲線的定義，確定△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，P的坐標(biāo)，即可求出△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積．【解答】解：由題意，設(shè)F′是左焦點(diǎn)，則△APF周長(zhǎng)=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)），直線AF′的方程為與x2﹣=1聯(lián)立可得y2+6y﹣96=0，∴P的縱坐標(biāo)為2，∴△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為﹣=12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義，考查三角形面積的計(jì)算，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．12.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成{a2，a+b，0}，則a2013+b2014=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值；集合的相等．【分析】根據(jù)題意可得{a，，1}={a2，a+b，0}，由集合相等的意義可得a=0或=0，結(jié)合分式的性質(zhì)分析可得b=0，進(jìn)而可得a2=1，即a=1或a=﹣1，結(jié)合集合元素的性質(zhì)，分析可得a的值，將a、b的值，代入a2012+b2013中，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由{a，，1}={a2，a+b，0}可得a=0或=0，又由的意義，則a≠0，必有=0，則b=0，則{a，0，1}={a2，a，0}，則有a2=1，即a=1或a=﹣1，集合{a，0，1}中，a≠1，則必有a=﹣1，則a2013+b2014=（﹣1）2013+02014=﹣1，故答案為：﹣1．13.在2017年11月11日那天，某市物價(jià)部門對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

價(jià)格x99.5m10.511銷售量y1110865

由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是，則m=

．參考答案：20由題意可得：，又回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)∴，∴∴，即.故答案為：20

14.若a≥0,且z|z|+az+i=0,則復(fù)數(shù)z=

.參考答案：15.已知圓O：x2+y2=r2（r＞0）與直線3x﹣4y+20=0相切，則r=

．參考答案：4【考點(diǎn)】圓的切線方程．【分析】由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，直接用圓心到直線的距離等于半徑求得答案．【解答】解：由x2+y2=r2，可知圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為r，∵圓O：x2+y2=r2（r＞0）與直線3x﹣4y+20=0相切，由圓心到直線的距離d==4，可得圓的半徑為4．故答案為：4．16.已知點(diǎn)M（1，2），N（3，2），點(diǎn)F是直線l：y=x﹣3上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠MFN最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M，N，F(xiàn)的圓的方程是．參考答案：（x﹣2）2+（y﹣1）2=2【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2，a），當(dāng)∠MFN最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M，N，F(xiàn)的圓與直線y=x﹣2相切，由此可確定出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2，a），當(dāng)∠MFN最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M，N，F(xiàn)的圓與直線y=x﹣2相切．∴=，∴a=1或9，a=1時(shí)，r=，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9時(shí)，r=5，∠MCN＜90°，∠MFN＜45°，則所求圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．故答案為（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．17.如圖，在矩形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，AB=1，BC=2，分別以A、D為圓心，1為半徑作圓弧、（E在線段AD上）．由兩圓弧、及邊BC所圍成的平面圖形繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問(wèn)題．【分析】由旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓柱去掉兩個(gè)半徑為1的半球，利用圓柱和球的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：圖中陰影部分繞AD旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓柱去掉兩個(gè)半徑為1的半球，兩個(gè)半球的體積為：2×××π=π．圓柱的底面半徑為1，高為2，∴圓柱的體積為π×2=2π，∴該幾何體的體積為2π﹣π=．故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求的取值范圍.參考答案：【解】（Ⅰ）∵………1分由，得當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，……4分在時(shí)有最小值.……………5分（Ⅱ）…………7分令…………8分則∴當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)∴………………10分要想存在正數(shù),使,則有∴所求的的取值范圍是.………12分略19.在某次法律知識(shí)競(jìng)賽中，將來(lái)自不同學(xué)校的學(xué)生的成績(jī)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知成績(jī)?cè)陬l數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組

頻數(shù)412423210（1）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （2）已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y= 估計(jì)用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)． 參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差． 【專題】概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】（1）由試驗(yàn)結(jié)果先求出用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率和用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率，由此能分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率． （2）由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0，當(dāng)且僅當(dāng)其質(zhì)量指標(biāo)值t≥94．由試驗(yàn)結(jié)果知，質(zhì)量指標(biāo)值t≥94的頻率為0.96．由此能求出用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)． 【解答】解：（1）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.3， 所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3． 由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.42， 所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42． （2）由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0，當(dāng)且僅當(dāng)其質(zhì)量指標(biāo)值t≥94． 由試驗(yàn)結(jié)果知，質(zhì)量指標(biāo)值t≥94的頻率為0.96． 所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0的概率估計(jì)值為0.96． 用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)為 ×=2.68（元）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的求法，考查產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻數(shù)分布表的合理運(yùn)用． 20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn．點(diǎn)（an，Sn）在函數(shù)f（x）=2x﹣1圖象上．?dāng)?shù)列{bn}滿足：bn=log2an+1．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn=，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：Tn+≥2恒成立．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】（1）利用數(shù)列遞推關(guān)系與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．【解答】（1）解：∵點(diǎn)（an，Sn）在函數(shù)f（x）=2x﹣1圖象上，∴Sn=2an﹣1．當(dāng)n=1時(shí)，a1=1．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1）．化為an=2an﹣1．∴an=2n﹣1．∴bn=log2an+1=n．（2）證明：cn==，∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=1+++…+，Tn=+…++，相減可得：Tn=1++…+﹣=﹣，∴Tn=4﹣，∴Tn+=4﹣≥4﹣2=2．∴Tn+≥2恒成立．21.（12分）甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為，被甲或乙解出的概率為，（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差參考答案：略22.某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，愛我中華”的知識(shí)競(jìng)賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問(wèn)題：（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上