時(shí)間序列分析mit 384lecture9第九講

麻省理 第九講筆記GMM在這一講中我們考慮基于GMM(thegeneralizedmethodofmoments)準(zhǔn)則（廣義矩估計(jì)方法）的估計(jì)式(estimators)。設(shè)是一個(gè) 型的向量型觀(guān)測(cè)變量(observablevariables)， 是由參數(shù)決定的函數(shù)，其 ，是一個(gè)參數(shù)空當(dāng)時(shí)，矩準(zhǔn)則估計(jì)法是通過(guò)把一個(gè)樣本模擬值(a og)代，并使?jié)M足下式來(lái)估計(jì)的當(dāng)時(shí)，也使用同樣的方法。Hansen(1982)提出了這種方法的最一般的，我在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用中，矩條件(momentconditions)常常是根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中包含的矩約束條件(conditionalmomentrestrictions)中。為了實(shí)現(xiàn)這種想法，我們假設(shè)并且 則立即會(huì)得出，對(duì)所有關(guān)于可測(cè)的，它自身就是的函數(shù)，所以或者說(shuō)由 ，且考慮非線(xiàn)性回歸(thenonlinear其中假定滿(mǎn)足矩約束條 。如果它還可以 成立，那這個(gè)模型就可以用非線(xiàn)性最小二乘法(nonlinearleastsquaresmethods)和GMM法估計(jì)了。 若則不能用非線(xiàn)性最小二乘法而只能用基于工具變 intertemporalassetpricingmodel）,其中表示由決定的期望(expectations)，是削減因子（thesubjectivediscountfactor）,表示在時(shí)刻的消費(fèi)，是瞬時(shí)累加效用函數(shù)（thetemporally，在在additiveutilityfunction）,是資產(chǎn)時(shí)刻的定價(jià)是時(shí)刻持有資產(chǎn)份數(shù)，是勞動(dòng)收入。的值是持有資產(chǎn)一段時(shí)間的回報(bào).對(duì)于,通常相當(dāng)于，其中在到時(shí)刻分發(fā)的紅利。假定所有資產(chǎn)都是，對(duì)于最優(yōu)化消費(fèi)和投資,一階條件（thefirstorderconditions）由下面式子給出，在在其中是消費(fèi)邊際效用(marginalutilityofconsumption)，設(shè)是持有資產(chǎn)在這個(gè)例子中我們已經(jīng)對(duì)于，且合理的工具變量是這項(xiàng)工作的信息集（theinformationset）中的所有的變量。參數(shù)向量包含有和其他參數(shù)這些參數(shù)決定了效用函數(shù)矩條件估計(jì)就可以由下式 線(xiàn)性資產(chǎn)定價(jià)模型（linearassetpricingmodel(HansenandSingleton,對(duì)所有的，當(dāng)時(shí)有對(duì)于CRRA效用函數(shù) ，一階條件的對(duì)數(shù)線(xiàn)性化（alog-linearizedversionofthefirstorderconditions）是在這種條件下，函數(shù)具這樣的形式。為了決定合理的工具變量我們需要探究誤差項(xiàng)的性質(zhì)。假設(shè)基本模型(theunderlyingmodel）是續(xù)時(shí)間過(guò)程（acontinuoustimeprocess）其從而由（Ito’s或如果離散時(shí)間數(shù)據(jù)(thediscretetimedata)是連續(xù)時(shí)間過(guò)程的幾何平均值(ageometric具有的結(jié)構(gòu)，于是合理的工具變量集合(thevalidinstrumentset)就估計(jì)式（FormulationoftheEstimator）和漸進(jìn)質(zhì)(Asymptotic是為了簡(jiǎn)化，我們假設(shè)且 定義一個(gè) 是 階的非奇異矩陣序列(asequenceofnon- （Cosistecy滿(mǎn)足numbers：機(jī)函數(shù)使得 假設(shè)保證了可能出現(xiàn)誤差時(shí)，只要誤差足夠小，估計(jì)式是就標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)（criterionfunction）的最小值。提出另外兩個(gè)條件的原始根據(jù)可以從其他地方找到，例假設(shè) 是一列定義 上的實(shí)的或復(fù) 可測(cè)函數(shù)measurablefunctions)，對(duì)每 可展開(kāi)成一個(gè)逐點(diǎn)收斂的級(jí)數(shù)對(duì)每 ，是一個(gè)實(shí)的常數(shù)序列 。 對(duì)有 1Andrews 的Soboley范數(shù)是一致有（auniformlybounded 對(duì)漸進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)（asymptoticnormality）包含在 ，其 是個(gè)開(kāi)集 設(shè)注意，假設(shè)要 是行滿(mǎn)秩（hasfullrowrank）的 是非奇異(nonsingulr)sequencessequences）可以用中心極限定理(Centrallimittheorems)來(lái)證明假設(shè) 是一個(gè)嚴(yán)格穩(wěn)態(tài)（astrictlystationary，例如，各態(tài)歷經(jīng)的技巧差分序列（ergodicmartingaledifferencesequences）那么就有那么，其中且在假設(shè)1和3下，我們現(xiàn)在可以得出GMM的估計(jì)式的漸進(jìn)分布（theasymptoticdistribution，其中，這， 型可逆矩陣（invertiblematrix。在這種情況下，且使得漸進(jìn)方差協(xié)方差矩陣（theasymptoticvariancecovariancematrix）不是由 的。但是這和上過(guò)度識(shí)別（overidentified）的情況就不一樣了。 ，對(duì)的選擇關(guān)系到漸進(jìn)率（asymptoticefficiency，且擇合適的，可最小化的漸進(jìn)方差（asymptoticvariance。最小的方差在 然后，可得的漸進(jìn)方差的值為了證明對(duì)于，這事實(shí)上是能做出的最好的選擇，我們來(lái)證明對(duì)所有注 代表半正定（positivesemidefinite） 當(dāng)且僅這樣我們需要證明，且第二個(gè)等式用到了是一個(gè)射影矩陣(aprojectionmatrix)（是對(duì)稱(chēng)的且。矩陣的估計(jì)（WeightMatrix矩陣的估計(jì)的重要性在于它既是過(guò)度識(shí)別GMM估計(jì)式(theoveridentifiedGMM 矩陣(theoptimalweightmatrix)，也是的漸進(jìn)方差的一部分，所以需要建立置信區(qū)間（confidenceintervals）在沒(méi)有序列相關(guān)的情況下，很容易用形成樣本均值的辦為了達(dá)到這個(gè)目的，首先不管怎樣我們都需要 的一致(相容)估計(jì)（aestimate然后，我們用 估計(jì)出 估計(jì)出。且 在非正則條件（mildregularityconditions）下是一致的當(dāng)是自相關(guān)(autocorrelated)的時(shí)候，如果我們用一個(gè)抽樣模擬來(lái)取代，使得那么可以證明，在非正則條件下，對(duì)于固定的有限的， 時(shí)代入，其中相對(duì)于樣本，需以某種合適的程度趨于無(wú)窮，但是，這樣估計(jì)這個(gè)題時(shí)，不一定是正則的，因此不能作一個(gè)方差協(xié)方差（avariancecovariance .Newey和West（1987）解決了這個(gè)問(wèn)題。他們證明了，取適當(dāng)權(quán)數(shù)， 的正定性。限制權(quán)數(shù)為 被稱(chēng)為核權(quán)數(shù)(kernelweight)且滿(mǎn)足假設(shè),可以證明和核都可以生成的半正估計(jì)式,但是對(duì)于Truncated和Tukey-Hanning核就不一定是這樣的了.Newewy和West(1987)在假設(shè) 9.4(Neweyi)設(shè)并且假設(shè)對(duì)所有在中是可測(cè)的并且對(duì)所 里的是連續(xù)可微的.存在一可測(cè)函數(shù)使得且同樣，存在有限的常數(shù)，和，使是一個(gè) 混合序列，其大小為，對(duì)所有 滿(mǎn)對(duì)一有限的常數(shù)且對(duì)每個(gè)，。 和， 滿(mǎn)。當(dāng)正交約束(orthogonalityrestriction)的個(gè)數(shù)超過(guò)參數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，過(guò)度識(shí)別