彈性力學(xué)解題方法問題

彈性力學(xué)解題方法問題第1頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月目錄

5.1彈性力學(xué)基本方程

5.2問題的提法5.3彈性力學(xué)問題的基本解法

5.4圣維南局部影響原理

5.5

疊加原理第2頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)彈性力學(xué)基本理論；討論已知物理量、基本未知量；以及物理量之間的關(guān)系——基本方程和邊界條件。5.1

彈性力學(xué)基本方程第3頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月1.平衡方程:彈性體要滿足的基本方程張量表示：第4頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.幾何方程：彈性體要滿足的基本方程張量表示：第5頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月3.本構(gòu)方程：彈性體要滿足的基本方程廣義胡克定律的應(yīng)力表示張量表示：第6頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月廣義胡克定律的應(yīng)變表示張量表示：第7頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月4.變形協(xié)調(diào)方程位移作為基本未知量時，變形協(xié)調(diào)方程自然滿足。第8頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月基本方程：平衡微分方程幾何方程本構(gòu)方程變形協(xié)調(diào)方程（應(yīng)變作為基本未知量）第9頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月若物體表面的位移已知，則位移邊界條件為

物體表面的面力分量為Tx、Ty和Tz

已知,則面力邊界條件為：5.邊界條件若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合邊界條件第10頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2彈性力學(xué)問題的提法彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下，對十五個未知量求解十五個基本方程。求解彈性力學(xué)問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可以做必要的簡化。為簡化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量。第11頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題，在數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問題。按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類邊值問題。第一類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件。第二類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為Tx、Ty和Tz，邊界條件為面力邊界條件。第12頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實際工程問題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。第13頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月基本解法（1）位移解法：以位移函數(shù)作為基本未知量（2）應(yīng)力解法以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量

（3）混合解法以部分位移和部分應(yīng)力分量作為基本未知量

第14頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.3

彈性力學(xué)問題基本解法位移解法的主要步驟：利用位移函數(shù)u1,u2,u3表示其他未知量；推導(dǎo)由位移函數(shù)ui描述的基本方程；關(guān)鍵點：以位移表示的平衡微分方程。位移解法的基本方程1.平衡微分方程

2.幾何方程

3.本構(gòu)方程

4.位移邊界條件，力邊界條件第15頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月由

上式稱為應(yīng)力位移表達式。將(1)代入(2)第16頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月此式稱為位移表示的平衡方程（Leme方程）將應(yīng)力位移表達式代入平衡方程轉(zhuǎn)換指標(biāo)注意到：則即得第17頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月注意有給定位移邊界條件就可由Leme方程解出ui=（u,v,w）或ui=（u1,u2,u3

）。ui=ui（x，y,z）ˉ其位移邊界條件為：第18頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月對于用面力表示的邊界條件

Ti=σij

nj此式稱為力位移邊界條件。

注意：則將應(yīng)力位移表達式代入面力邊界條件:

有第19頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月為二階線性偏微分方程組，其解為齊次解+特解。對于Leme方程齊次方程對求導(dǎo)因則或即第20頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月因所以有即體積應(yīng)力滿足調(diào)和方程。結(jié)論即體積應(yīng)變滿足調(diào)和方程。第21頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月對Leme方程進行?2（調(diào)和算子）運算：有所以即第22頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月這說明應(yīng)力與應(yīng)變滿足雙調(diào)和方程。有即由有及即由第23頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：對于Leme方程其齊次方程有第24頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月位移分量求解后，可通過幾何方程求出應(yīng)變和通過本構(gòu)方程求出應(yīng)力。

總之，位移解法以位移為3個基本未知函數(shù)（u1,u2,u3），歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的3個平衡微分方程，即三個拉梅方程。對于位移邊界條件，位移解法是十分合適的。第25頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

至此，我們討論了彈性力學(xué)位移解法的基本方程。除無限大域外，位移解法也適用于全部邊界條件為位移邊界的情況。然而，對于力邊界條件問題，位移解法就顯得不夠簡便。一種變通的方法就是選擇應(yīng)力為求解的場變量。應(yīng)力需要滿足六個平衡方程和三個獨立的協(xié)調(diào)方程，通過這六個方程可以求解出六個應(yīng)力分量。第26頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

例設(shè)有半空間體，單位體積的質(zhì)量為，在水平邊界面上受均布壓力的作用，試用位移法求各位移分量和應(yīng)力分量，并假設(shè)在處方向的位移受均布壓力作用的半空間體解：可以假設(shè)因此體積應(yīng)變按位移解題例題第27頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月對于Leme方程第28頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月或積分上式有將代入拉梅方程：第29頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月在邊界上，得結(jié)合的表達式可得代入由位移表示的邊界條件第30頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月由條件得將常數(shù)和代入的表達式，得求應(yīng)變第31頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月由廣義胡克定律有第32頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月即第33頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月位移法其位移邊界條件為：給定位移邊界條件就可由Leme方程解出

。復(fù)習(xí):位移法第34頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月位移分量求解后，可通過幾何方程求出應(yīng)變和通過本構(gòu)方程求出應(yīng)力。

位移解法以位移為3個基本未知函數(shù)（u1,u2,u3），歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的3個平衡微分方程，即三個拉梅方程。位移解法適用于位移邊界條件。第35頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

對于位移法體力為常量時：由位移法得到：體積應(yīng)力和體積應(yīng)變均滿足調(diào)和（Laplace)方程；即體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。位移分量,應(yīng)力分量和應(yīng)變分量均滿足雙調(diào)和方程；位移分量,應(yīng)力分量和應(yīng)變分量為雙調(diào)和函數(shù)。第36頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月解：由幾何方程求應(yīng)變分量已知,求應(yīng)力位移法例題2lxypphh1yz第37頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月由2lxypp第38頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月力邊界條件y=+

h

:v

=

0_位移邊界條件應(yīng)力應(yīng)滿足邊界條件2lxyppy=+

h

y=-

h

第39頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力解法基本步驟：以應(yīng)力分量σij作為基本未知量；

用六個應(yīng)力分量表示協(xié)調(diào)方程；關(guān)鍵點：以應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程應(yīng)力解法的方程

1.平衡微分方程

2.變形協(xié)調(diào)方程

3.本構(gòu)方程

4.面力邊界條件第40頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月由應(yīng)力表示的本構(gòu)方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程第41頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）整理上面的方程，把其中l(wèi)的指標(biāo)取為k，第42頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）把k=1,2,3的疊加起來，運用第43頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月即合并有第44頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月上式對指標(biāo)i和j對稱所以只含有六個獨立方程，利用平衡方程

有同理改寫成第45頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

上兩式代入?yún)f(xié)調(diào)方程中有把上式中

i=j

的3個方程疊加起來，注意到

σii=

Θ,Θ,ii=

?2Θ

和

δii=3

可得第46頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月對上式作雙調(diào)和運算有第47頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月由有及第48頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月上式稱為Michell方程(用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程)將上式回代到協(xié)調(diào)方程中有第49頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月還可以寫成Michell方程第50頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月對于上式當(dāng)時有第51頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月同理對于上式當(dāng)時分別有第52頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月對于上式當(dāng)時有即第53頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月展開Michell方程第54頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月體力為常數(shù)時，右端項為零，故有上方程稱為Beltremi方程。當(dāng)滿足面力邊界條件時即得到問題的解答。解上面的方程，或下面的Michell方程第55頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力法體力為零時第56頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力解法的基本未知量為6個應(yīng)力分量，可以避開幾何方程；基本方程為3個平衡微分方程和6個變形協(xié)調(diào)方程和3個邊界條件，對于幾何形狀或載荷較復(fù)雜問題的求解困難。應(yīng)力解法適用于面力邊界條件與單連體?？傊?，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時，歸結(jié)為在給定的面力邊界條件下，求解平衡微分方程和應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程組。

第57頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月混合解法根據(jù)問題性質(zhì)和邊界條件，選擇不同的基本未知量求解稱為混合解法。第58頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性理論解的惟一性定理彈性體受已知外力的作用。在物體的邊界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知；則彈性體平衡時，體內(nèi)各點的應(yīng)力和應(yīng)變是惟一的，對于后兩種情況，位移也是唯一的。第59頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月局部影響原理：物體在任意一個小部分作用有一個平衡力系，則該平衡力系在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力分布，僅局限于力系作用的附近區(qū)域。在距離該區(qū)域相當(dāng)遠(yuǎn)處，這種影響便急劇減小。5.4

圣維南原理第60頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月圣維南原理圖示第61頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月解的疊加原理：

小變形線彈性條件下，作用于物體的若干組載荷產(chǎn)生的總效應(yīng)（應(yīng)力和變形等），等于每組載荷單獨作用效應(yīng)的總和。5.5

疊加原理第62頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

逆解法根據(jù)問題的性質(zhì)，確定基本未知量和相應(yīng)的基本方程，并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)(或位移函數(shù))。然后在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，其表面將受什么樣的面力作用或者將存在什么樣的位移。第63頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月

半逆解法對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征和變形特點，或已知簡單結(jié)論，如材料力學(xué)解，假設(shè)部分應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的