信號與系統(tǒng)基礎21 7新

4.4

信號的無失真?zhèn)鬏數谒恼碌?講1失真與無失真：系統(tǒng)的響應波形與激勵波形不同，信號在傳輸過程中將產生失真。線性系統(tǒng)引起的信號失真有兩個原因：幅度失真與相位失真。稱為線性失真。幅度失真與相位失真都不產生新的頻率分量；而非線性失真可能產生新的頻率分量。無失真是指響應信號與激勵信號相比，只是大小與出現的時間不同，而波形不變化。無失真?zhèn)鬏數臈l件在時域中：設激勵信號為f(t),響應信號為y(t),

無失真?zhèn)鬏數臈l件是y(t)=Kf(t-t0)式中：K是一常數，t0為滯后時間。若f(t)=d(t),

則y(t)=h(t)=Kd(t-t0),線性系統(tǒng)f(t)y(t)f

(t)ty(t)第四章第2講2tt0無失真?zhèn)鬏數臈l件在頻域中：設激勵頻譜為F(jw

),

響應頻譜為Y(jw),

無失真?zhèn)鬏數臈l件是

Y(jw)=K

F(jw)e-jwt0其中：系統(tǒng)函數

H(jw)=

K

e

-jwt0j

(w

)w-w

t00H

(

jw

)Kw0第四章第2講3相位失真的條件f

(t)=

A1

sin(

w1t)

+

A2

sin(2w1t)y(t)

=

KA1

sin(

w1t

-j1

)

+

KA2

sin(

2w1t

-j2

)設輸入為則輸出為為了使基波與二次諧波有相同的延遲時間，以保證不產生失真，就滿足

))2

2

1

1

1

1w

2wj

j1

w1w

(t

-+

KA

sin

2=

KA

sin

(t

-01j1

=

j

21w

2w=

t常數2

1第四章第2講4j1

=

w1j

2w觀察相位失真f1(t)原信號f1

(t)

=

[sin(

2pt)

+

sin(

5pt)]

[e(t)

-

e(t

-1)]f

2

(t)

=

[sin(

2p

(t

-1))

+

sin(

5p

(t

-1))]

[e(t

-1)

-

e(t

-

2)]f3

(t)

=

[sin(

2p

t

-

2p

)

+

sin(

5p

t

-

2p

)]

[e(t

-1)

-

e(t

-

2)]f2(t)無失真f3(t)有失真第四章第2講5例

題在如圖所示電路中，輸出電壓u(t),

輸入電流

is(t),

試求電路頻域系統(tǒng)函數H(jw)。為了能無失真?zhèn)鬏?，試確定R1和R2的數值。解：系統(tǒng)函數為+-R1R21H1FiS

(t)u(t)jw第四章第2講6Rw

Cjw

C

1

jwSU

(

jw

)H

(

jw

)

=

=I

(

jw

)

1

112jw

R

+1

2R

R

+1

+1)(R

+

jw

L)2(R

+=+

R1

+

jw

L

R1

+

R2

+

jw

+R2

+

j無失真?zhèn)鬏數臈l件為：R1=R2=1W

，這時H(jw

)=14.5

理想低通濾波器的響應理想低通濾波器特性：CKe-

jw

t00|

w

|<

w|

w

|>

w

CG2w

(w

)CH

(

jw

)

=H

(

jw

)j

H

(w

)Kw

C-w

Cw或：H

(jw

)=Ke-jw

t0第四章第2講7其中：wc為截止頻率。稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡稱頻帶。沖激響應已知：Gt

(t)wt2p

Gt

(w

)ttttSa(

)

，根據對偶性：

Sa(

)2

2將t換成c2w

，得：pwSa(w

t)

G

(w

)C

2wcC02w

c(w

)

e-

jw

t0(t

-

t

)]

GCp根據時移特性：w

C

Sa[(w0C(t

-

t

)]p\

h(t)=

Kw

C

Sa[(wh(t)

p

w

Ct0pK

w

C

t0第四章第2講8階躍響應-￥-￥Sa[w

C

(t

-

t0

)]dtg

(t)

=ttph(t)dt

=

Kw

C令x

=(t

-t0

)w

Cdysin

y

ySi

(x)

=x0第四章第2講9

2

g

(t)

=-￥sin

xdx0C

0=

K

{-

Si

(-￥

)

+

Si[w

(t

-

t

)]}0xKpC=

K

1

+

1

Si[w

(t

-

t

)]Cw

(t

-t

)pp階躍響應t0上升時間與頻帶的關系g(t)Kt0tr

K2

p

pw

C

w

C上升時間tr

，定義為從階躍響應的極小值上升到極大值第四章第2講10所經歷的時間。它與頻帶wc的關系為Crtw=

2p階躍響應第四章第2講11結論階躍響應的上升時間與系統(tǒng)的截止頻率(頻帶)成反比。此結論對各種實際的濾波器同樣具有指導意義。例如，一個一階RC低通濾波器的階躍響應為指數上升波形，上升時間與RC時間常數成正比，但從頻域特性來看，此低通濾波器的帶寬卻與RC乘積值成反比.理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)，是物理不可實現的。Crt

=

2pw帶寬與階躍響應上升時間的關系第四章第2講12濾波器的概念第四章第2講13理想低通濾波器信號通過系統(tǒng)時，系統(tǒng)使信號的某些頻率分量通過，而使其他頻率的分量受到抑制，這樣的系統(tǒng)稱為濾波器。若系統(tǒng)的幅頻特性在某一頻帶內保持為常數而在該頻帶外為零，相頻特性始終為過原點的一條直線，則這樣的系統(tǒng)就稱為理想濾波器。理想低通濾波器在的頻率范圍內（稱為通帶），信號能無衰減地通過，而對大于（稱為阻帶）的所有頻率分量則完全抑制。稱為理想低通濾波器的截止頻率。濾波器的概念H

(

jw

)1w

C-wCw通帶阻帶阻帶C理想低通濾波器的頻率特性可寫為(設相角為0)H

Lp

(

jw

)

=

G2w

(w

)H

(

jw

)1w

C-wCw通帶阻帶阻帶2第四章第2講141Cw

=

=

0.707截止頻率理想低通濾波器非理想低通濾波器濾波器的概念理想高通濾波器的頻率特性可寫為H

Hp

(

jw

)

=

1

-

G2w

(w

)C21Cw

=

=

0.707截止頻率理想高通濾波器非理想高通濾波器H

(

jw

)1w

C-wCw通帶阻帶通帶H

(

jw

)1w

C-wCw通帶阻帶通帶第四章第2講15濾波器的概念理想帶通濾波器的頻率特性可寫為H

Bp

(

jw

)

=

G2w

(w

+

w

0

)

+

G2w

(w

-

w

0

)]C

C理想帶通濾波器H

(

jw

)1w

00-ww阻帶通帶通帶Cw

+w0Cw

-w0第四章第2講16濾波器的概念理想帶通濾波器的頻率特性可寫為H

BS

(

jw

)

=

1

-

H

Bp

(w

)理想帶通濾波器H

(

jw

)1w

0-w

0w阻帶通帶通帶Cw

+w0w0

-wC阻帶第四章第2講17通帶例4.8H(jw)f(t)y(t)圖示為信號處理系統(tǒng)，已知f(t)＝20cos100t[cos104t]2

，理想低通濾波器的傳輸函數H(jw)＝G240(w

)，求零狀態(tài)響應y(t)。H(jw)第四章第2講18w0-1201201解：f(t)＝20cos100t[cos104t]2＝10cos100t＋5(cos20100t＋cos19900t)故:

F(j

)＝10

[

(

+100)＋

(

-100)]＋5

[

(

+20100)+

(

-20100)+

(

)+

(

-19900)]Y(jw

)＝H(jw

)F(jw)＝10p[d(w+100)+

d(w

-100)]故得:

y(t)＝10cos100t例4.9理想低通濾波器的系統(tǒng)函數H(jw)＝|H(jw)|e-jw

t0

如圖所示。證w

Cw

ct明此濾波器對于p

d

(t)和sin

w

ct

的響應是一樣的。H

(

jw

)-w

t0Kw

C-w

CwC第四章第2講19w解：F

(jw

)=p1w2

2w

CCF

(

jw

)

=

p

G

(w

)w

C當激勵為p

d

(t)時，響應的頻譜為：(w

)0wp2w

C-

jw

tY1

(

jw

)

=

H

(

jw

)F1

(

jw

)

=

K

e

GC當激勵為時，響應的頻譜為：

c

w

ctsin

w

t(w

)0wp2w

CC-

jw

tY2

(

jw

)

=

H

(

jw

)F2

(

jw

)

=

K

e

G

Y1

(

jw

)

=

Y2

(

jw

),

\

y1

(t)

=

y2

(t)補充例題(習題4-8)圖示是理想高通濾波器的幅頻與相頻特性，求該濾波器的沖激響應。j

(w

)w-w

t0H

(

jw

)1-w

C

w

Cw解：由理想高通濾波器特性可知，其特性可用１－理想低通特性（門函數）表示。即：-

jw

tH

(

jw

)

=

[1

-

G2w

(w

)]e

0Ch(t)第四章第2講2000=

d(t

-

t

)

-CSa[w

(t

-

t

)]Cpw故，沖激響應為：例4.10帶限信號f

(t)通過如圖所示系統(tǒng)，已知f

(t)、H1(jw

)、H2(jw

)頻譜如圖所示，畫出x(t)、y(t)的頻譜圖。cos9tf

(t)x(t)H1(jw

)

H2(jw

)

y

(t)wF(jw)

1

-9 -6

0

6

9

15解：頻譜圖如下-15w0cos9tH1(jw)

1

9-9w0H2(jw)29w0

6

9

15-15 -9 -6X(jw)1

?第四章第2講21-9例4.10求y(t)的頻譜w-15 -9 -6X(jw)

?0

6

9

15XS(jw)w-15 -9 -6?0

6

9

15Y(jw)w

?

-9

-60

6

9第四章第2講22調制與解調第四章第2講23調制與解調：所謂調制，就是用一個信號（原信號也稱調制信號）去控制另一個信號（載波信號）的某個參量，從而產生已調制信號，解調則是相反的過程，即從已調制信號中恢復出原信號。根據所控制的信號參量的不同，調制可分為：調幅，使載波的幅度隨著調制信號的大小變化而變化的調制方式。調頻，使載波的瞬時頻率隨著調制信號的大小而變，而幅度保持不變的調制方式。調相，利用原始信號控制載波信號的相位。這三種調制方式的實質都是對原始信號進行頻譜搬移，將信號

的頻譜搬移到所需要的較高頻帶上，從而滿足信號傳輸的需要。調幅f

(t)y(t)s

(t)

=

cosw

0t信道f

S

(t)調制信號載波信號已調信號fS

(t)=f

(t)cosw0t其頻譜為FS(jw

)=?{F[j(w-

w

0)]+F[j(w+

w

0)]}y(t)=

f

(t)cosw0t由此可見，原始信號的頻譜被搬移到了

頻率較高的載頻附近，達到了調制的目的。第四章第2講24解調本地載波信號0已調信號y

(t)=f

(t)cosw

t其頻譜為G(jw

)=?F(jw)+?{F[j(w-2w0)]+F[j(w+2w0)]此信號的頻譜通過理想低通濾波器，可取出F(jw)，從而恢復原信號f

(t)。f

(t)y(t)s

(t)

=

cosw

0t-w

c

w

c20g(t)2第四章第2講25=

f

(t)

cos2w

0t

=

1

[

f

(t)

+

f

(t)

cos

2w

0t]g

(t)

=

y(t)

s(t)

=

f(t)

s

2

(t)例4.11求f

(t)=1

Sa(2t)的信號通過圖(a)的系統(tǒng)后的輸p出y(t)。系統(tǒng)中的理想帶通濾波器的傳輸特性如圖(b)所示，其相位特性j

(w

)

=

0

。理想帶通f

(t)cos1000ty(t)wH

(

jw

)011000-10001001999-

999-1001解：已知：Sa(w

t)(w

)2w

Cw

p

GCC2第四章第2講2641

G

(w

)

=

F

(

jw

)p\

1

Sa(2

t)4=

1

[G4

(w

+1000)

+

G4

(w

-1000)]2F1

(

jw

)

=

1

{F[

j(w

+1000)]

+

F[

j(w

-1000)]設：f1

(t)=f

(t)cos1000t例4.11輸出的頻譜：Y

(jw

)=H

(jw

)F1

(jw

)4=

1

[G2

(w

+1000)

+

G2

(w

-1000)]2p21

Sa(t)

G

(w

)f

(t)

cos

bt

1

[F

(w

+

b)

+

F

(w

-

b)]由：2py(t)

=

1

Sa(t)cos1000t故系統(tǒng)的響應為wH

(

jw

)011000-10001001999-

999-1001wF1

(

jw

)1

41000-1000-998

0

998

1002-1002第四章第2講27例

4.12

求后的輸出。系統(tǒng)中的理想帶通濾波器的傳輸特性如圖(b)所示，其相位特性j

(w

)=0

。理想低通f

(t)y(t)pf

(t)=1

Sa(t)cos1000t

的信號通過圖(a)的系統(tǒng)wH

(jw

)1-10

1pcos1000t解：設：f

(t)=1

Sa(t)21f

(t)

=

f

(t)

cos2

1000t

=

1

[

f