地圖投影變形球面大圓弧的度量指標(biāo)

摘要：地圖投影是地圖學(xué)的重要研究內(nèi)容。任何地圖投影都不可避免地存在變形問題。針對(duì)地圖投影的變形，本文提出球面大圓弧和互補(bǔ)比率均值相結(jié)合的地圖投影面積變形與形狀變形指標(biāo)。通過算例驗(yàn)證和相關(guān)性分析，大圓指標(biāo)一方面簡化了小圓指標(biāo)(即互補(bǔ)比率均值)的計(jì)算過程，并能與小圓指標(biāo)的結(jié)果保持一致；另一方面，大圓指標(biāo)與微分指標(biāo)之間也具有較高的一致性(形狀變形指標(biāo)的皮爾森積矩相關(guān)系數(shù)大于0.988)。由于大圓指標(biāo)不依賴于微分計(jì)算，且計(jì)算簡捷，因此大圓指標(biāo)更具通用性。本文進(jìn)一步采用回歸分析對(duì)大圓指標(biāo)進(jìn)行分析，結(jié)果表明，大圓指標(biāo)與微分指標(biāo)具有較好的線性關(guān)系(線性回歸的平均誤差小于1.10‰)。為了降低采樣點(diǎn)數(shù)量和解決采樣點(diǎn)不統(tǒng)一問題，本文還提出了基于隨機(jī)采樣的指標(biāo)計(jì)算方法，并對(duì)隨機(jī)方法進(jìn)行了驗(yàn)證和分析。依據(jù)大圓指標(biāo)與微分指標(biāo)的一致性和線性關(guān)系，可以認(rèn)為使用大圓指標(biāo)能夠有效地評(píng)估地圖投影的變形情況。關(guān)鍵詞：地圖投影幾何變形互補(bǔ)比率均值大圓指標(biāo)回歸分析質(zhì)量評(píng)估SphericalgreatcirclearcsbasedindicatorsforevaluatingdistortionsofmapprojectionserdistortionsaretiobetweenroposedByreatcircletorsiethendicatorselatedwithefficientferentialrrorsarealsoachievedthemeanerroroflinearregressionislessthan0‰).Finally,inordertoreducethenumberofsamplingpointsandavoidtheinconsistencyofsamplingpointsfordifferentmapprojections,thispaperalsoproposesandverifiesarandomsamplingbasedcalculatingprocessInallword,greatcirclearcsbasedindicatorscouldeffectivelyevaluatethedistortionsofmapjectiongeometrydistortionaveragedratiobetweencomplementaryofilesgreatcirclebasedmetricregressionanalysisqualityevaluation不可或2,5]。由于地球曲面的不可展性，在地圖投影的過程中，會(huì)不可避免地發(fā)生變形。按照投影投影可以分為等角投影、等積投影、等距投影等類型[2,6]。不存在既等角又等積的地圖投影[1]。[8]?？紤]制圖區(qū)域內(nèi)的地圖變形，將不可避免的變形控制在可以接受的范圍之內(nèi)，可以避免由于使用不恰格網(wǎng)化剖分中的重要研究問題[15-20]。質(zhì)能夠研究地圖投影的變形[23]。基于微分的方法依據(jù)地圖投影正解公式的偏進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算)，且要求被評(píng)估的地圖投影具有連續(xù)可微的正解公式。對(duì)于直接球面剖分(directsphericalsubdivision)方法，其構(gòu)造是通過遞歸的方式進(jìn)行的，不存在任意等級(jí)格網(wǎng)的通用構(gòu)造公式，即此微分指標(biāo)在使用中也存在應(yīng)用受限的問題。面積變形系數(shù)也可以根據(jù)球面微圓的邊界參數(shù)方程，對(duì)球面也較復(fù)雜，且積分運(yùn)算一般不存在統(tǒng)一的形式。數(shù)，同到大圓形狀指標(biāo)，用于計(jì)算地圖投影投影質(zhì)量。1不依賴微分計(jì)算的地圖變形指標(biāo)1.1互補(bǔ)比率均值小圓指標(biāo)[25]需要計(jì)算兩個(gè)球面小圓弧長與和兩個(gè)切向量(P1PP3與算)。[25]利用互補(bǔ)比率均值，著重分析和比較了球面離散格網(wǎng)(而非地圖投影)的質(zhì)量。本文基于互補(bǔ)比率均值和球面大圓弧，適當(dāng)?shù)睾喕パa(bǔ)比率均值指標(biāo)，同時(shí)提出一種不依賴于微分計(jì)算的面積變形指標(biāo)1.2基于大圓弧的形狀變形指標(biāo)與面積變形指標(biāo)等角特征和等積特征是評(píng)估地圖投影變形的兩個(gè)獨(dú)立的方面。本節(jié)將分別給出用于評(píng)估地圖投影形獻(xiàn)[25]提出的小圓形狀變形指標(biāo)(式(1))進(jìn)行簡化，由式(3)給出球面大圓意義下的標(biāo)中計(jì)算兩次弧長和兩次向量的開銷列于表1中。圓指標(biāo)中的計(jì)算復(fù)雜度(只對(duì)比計(jì)算弧長和向量的部分)Tab.1Computationalsmallcirclearcsbasedmetricandgreatcirclearcsbasedmetricconsideringarclengthulationonly284040222(點(diǎn)積、叉積、單位化等)，而大圓形狀變形指標(biāo)的復(fù)雜度。以球面大圓弧長(或小圓弧長)和向量(或小圓上的切向量)為基礎(chǔ)，進(jìn)一步提出一種衡量面積變形)、式2地圖投影變形的計(jì)算與分析算例2.1彭納投影的投影公式本節(jié)以具體的地圖投影(彭納投影)為例，給出評(píng)估地圖投影形狀變形和面積變形的過程。彭納投影是一種等積偽圓錐投影，其正解公式[24]為式中,σ和ε為中間變量,其公式為彭納投影的反解公式[24]為對(duì)于等積投影，其底索指標(biāo)為面積相同的(橢)圓，如圖2(a)所示。在標(biāo)準(zhǔn)緯線和中央子午線上，底小相同的(正)圓，表明彭納投影只在這些區(qū)域沒有(形狀和面積)變形。在其他位置，底索2.2大圓指標(biāo)的計(jì)算cc)中心位置的黑色星號(hào))的投影坐標(biāo)。卡爾坐標(biāo)代入式(1)(或式(3))可得到形狀變形指標(biāo)，代入式(7)(或式(8))可得到2.3微分指標(biāo)的計(jì)算2.4不依賴微分計(jì)算的指標(biāo)與微分指標(biāo)的比較彭納投影的變形程度較低，遠(yuǎn)離這些區(qū)域時(shí)，變形程度增加。該結(jié)果與按照底索指標(biāo)給出的彭納投影特征ojectionbetweenρcsandρcgunderdifferentnumberofsampleregionsforBonneprojection0.998920270.999871230.999948890.999995800.99999934rofshapedistortionsanddifferentialbasedindicatorofshapedistortionsunderdifferentrangeofρcgforBonneprojectionρcg的范圍/(%)PPMCC(ρcg,ρd)ρcg<2524ρcg<4259ρcg<640ρcg<848投影是等積投影(沒有面積變形)，經(jīng)過計(jì)算，其微大圓變形指標(biāo)與微分變形指標(biāo)結(jié)果具有下文將利用該指標(biāo)全面評(píng)估不同類型的地圖投3不同類型地圖投影質(zhì)量評(píng)估3.1等角地圖投影的變形和方位立體投影(屬于方位投影)。由于在接近兩極的區(qū)域，墨卡托投影存在較為嚴(yán)重的面積變形，且在通因此對(duì)于墨卡托投影，本文只評(píng)估緯度小于85°的Afsomeconformalmapprojections表4被評(píng)估等角地圖投影面積變形指標(biāo)之間的一致性Tab.4Correlationcoefficientbetweendifferentindicatorsofareadistortionsforsomeconformalmapprojections數(shù)目投影蘭伯特等角圓錐999996方位立體投影9999723.2等積地圖投影的變形投影)、一種方位投影(蘭伯特等積方位投影)、一種改良的方位投投影)、兩種偽圓柱投影(摩爾維特投影和正弦曲線投影)和兩種偽圓錐投影(彭納投影和N半球區(qū)域。其cientbetweendifferentshapedistortionindicatorsforsomeequal-areamapprojectionsPPMCC(ρgc,ρd)8080.99115影204摩爾維特投影29216668等積投影能夠保持地圖要素的面積不變，為了驗(yàn)證這一特征，接下來使用不同的面積變形指標(biāo)對(duì)被catorsforsomeequalareamapprojectionsμgA964χgAμgAχgA9999998<0.000001072漢麥爾-埃托夫投影173.3任意投影的變形球區(qū)域。米勒投影(屬于圓柱投影)和另外兩種偽圓柱投影(卡夫拉依斯基Ⅶ投影和Wagner影在高緯度區(qū)域，會(huì)存在較大的變形，因此對(duì)于CCrsomearbitrarymapprojections斯基Ⅶ投影Wagner投影999960.9969663.4地圖投影變形指標(biāo)質(zhì)量評(píng)估小結(jié)4地圖投影變形指標(biāo)的回歸分析投bAgA見式(19)readistortionsfordifferentmapprojections15501802270630976cccc1537180039702807409004080.00106811800180058WagnerⅥ投影cc11510.00016560.00018260.00017970.00017880.00018000.00018000.00018000.00018005地圖投影變形指標(biāo)的隨機(jī)采樣方法上文給出的變形指標(biāo)計(jì)算過程使用完全采樣方法，該過程在投影平面上等間隔地劃分采樣區(qū)域并計(jì)地圖投影的變形。蒙特卡羅[26-27]是一類隨機(jī)方法的統(tǒng)稱，在模擬運(yùn)算、近似求解、誤差分析等問題中有著廣泛的應(yīng)使用投影正解公式將球面采樣點(diǎn)投影到投影平面，然后在投影平面上以采樣點(diǎn)為中心建立正方形的投影區(qū)。需在球面進(jìn)行采樣，能夠避免完全采樣方法中采樣點(diǎn)不統(tǒng)一和采樣過程煩瑣等問區(qū)mapprojectionsunderdifferentnumbersofsamples