(完整word版)2012年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試-數(shù)學(xué)試卷

2012年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷后二位校驗碼號碼考生注意：答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條形碼.本試卷共有23道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.已知集合，，若，則__________.函數(shù)的定義域為__________.拋物線的焦點坐標(biāo)為__________.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則__________.函數(shù)的最小正周期為__________.方程的解為__________.若，則__________.若為奇函數(shù)，則實數(shù)__________.函數(shù)的最大值為__________.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為__________.某校要從2名男生和4名女生中選出4人擔(dān)任某游泳賽事的志愿者工作，則在選出的志愿者中，男、女生都有的概率為__________.若不等式對恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是__________.已知等差數(shù)列的首項及公差均為正數(shù)，令.當(dāng)是數(shù)列的最大項時，__________.若矩陣滿足：，且，則這樣的互不相等的矩陣共有__________個.選擇題本大題滿分20分本大題共有4題每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.已知橢圓:，:，則 [答]()

(A) 與頂點相同. (B) 與長軸長相等.

(C) 與短軸長相等. (D) 與焦距相等.記函數(shù)的反函數(shù)為.如果函數(shù)的圖像過點，那么函數(shù)的圖像過點 [答]()

(A) . (B) .

(C) . (D) .已知空間三條直線l、m、n.若l與m異面，且l與n異面，則 [答]()

(A) m與n異面. (B) m與n相交.

(C) m與n平行. (D) m與n異面、相交、平行均有可能.則“”是“點O在△ABC的邊所在直線上”的 [答]()

(A) 充分不必要條件. (B) 必要不充分條件.

(C) 充要條件. (D) 既不充分也不必要條件.解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.（本題滿分12分）本題共有兩個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.

如圖，正四棱柱的底面邊長為1，高為2，M為線段AB的中點.求：

(1) 三棱錐的體積； (2) 異面直線CD與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分.

某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時運行，內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長短差異）. (1) 當(dāng)9列列車同時在內(nèi)環(huán)線上運行時，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度； (2) 新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/小時，外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時.現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行，要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘，問：內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行？（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

已知雙曲線:. (1) 求與雙曲線有相同的焦點，且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 直線:分別交雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點.當(dāng)時，求實數(shù)m的值.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.

已知數(shù)列、、滿足. (1) 設(shè)，是公差為3的等差數(shù)列.當(dāng)時，求、的值； (2) 設(shè)，.求正整數(shù)k，使得對一切，均有； (3) 設(shè)，.當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

定義向量的“相伴函數(shù)”為；函數(shù)的“相伴向量”為（其中O為坐標(biāo)原點）.記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S. (1) 設(shè)，求證：； (2) 已知，且，求其“相伴向量”的模； (3) 已知為圓:上一點，向量的“相伴函數(shù)”在處取到最大值.當(dāng)點M在圓C上運動時，求的取值范圍.2012年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精神進行評分.評閱試卷，應(yīng)堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯誤，就不給分.第19題至第23題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題分?jǐn)?shù).給分或扣分均以1分為單位.答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（第1至14題）每一題正確的給4分，否則一律得零分. 1. 3. 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. 1. 8. . 9. 5. 10. .

11. . 12. . 13. 1006. 14. 8.（第15至18題）每一題正確的給5分，否則一律得零分.題號15161718代號DBDC（第19至23題）（本題滿分12分）本題共有兩個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.(1) ，

又為三棱錐的高 3分

. 6分(2) ，

為異面直線CD與所成的角（或其補角）. 8分

聯(lián)結(jié)，平面，，

在中，.

， 10分

，

即異面直線CD與所成角的大小為. 12分（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分.(1) 設(shè)內(nèi)環(huán)線列車運行的平均速度為v千米/小時.

由題意可知，， 4分

解得.

所以，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，列車的最小平均速度是20千米/小時.

7分(2) [解法一]設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運行，則外環(huán)線投入列列車運行，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為、分鐘，

則，， 9分

于是有， 11分

即解得，

又，所以.

所以，當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入10列，外環(huán)線投入8列列車運行時，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間之差不超過1分鐘. 14分 [解法二]設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運行，則外環(huán)線投入列列車運行，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為、分鐘，

則，， 9分

于是有， 11分

記，則是單調(diào)遞減函數(shù)，

又，，，所以.

所以，當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入10列，外環(huán)線投入8列列車運行時，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間之差不超過1分鐘. 14分（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.(1) 雙曲線的焦點坐標(biāo)為，， 2分 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則 4分 解得 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 6分(2) 雙曲線的漸近線方程為，. 8分

設(shè)，.

得，

由，得. 10分

，， 13分

，即. 14分（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.(1) ，. 2分

，，. 4分(2) ，

. 6分

由，解得，即.

由，解得，即. 8分

. 10分(3) ，

，

（*） 11分 由（*）得，

，

…，

，

. 當(dāng)時，以上各式相加得

14分

當(dāng)時，

.

16分（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分