2023屆高考數(shù)學(xué)易錯點-圓錐曲線計算題

2023年高考數(shù)學(xué)易錯點-圓錐曲線計算題

要點一：圓錐曲線的標(biāo)準方程和幾何性質(zhì)

1.橢圓：

（D橢圓概念

平面內(nèi)與兩個定點尸I、尸2的距離的和等于常數(shù)2。（大于1KB|）

的點的軌跡叫做橢圓。

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若

M為橢圓上任意一點，則有I“耳|+|M6|=2a。

橢圓的標(biāo)準方程為:（4＞。＞0）（焦點在X軸上）或

KF」

22

二+==1（焦點在y軸上）。

a2b2

（2）橢圓的性質(zhì)

22

①范圍：由標(biāo)準方程，+2=1知|x區(qū)a,|y區(qū)"說明橢圓位于直

a~b

線x=±a,y=±〃所圍成的矩形里；

②對稱性：橢圓關(guān)于X軸、），軸和原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢

圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢

圓的中心；

③頂點：.（0,詢,B式0力）,A（—a,0）,43,0）是橢圓的四個頂點。

同時，線段A4、8也分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長

分別為2a和2/7,a和6分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

④離心率：橢圓的焦距與長軸的比e=￡叫橢圓的離心率。

a

2.雙曲線

（1）雙曲線的概念

平面內(nèi)與兩個定點用尸2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于

I66I且不等于零)的點的枕跡叫做雙曲線.

(2)雙曲線的性質(zhì)

①范圍：從標(biāo)準方程=看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙

a"h

曲線在兩條直線x=±a的外側(cè)。即fz",兇弊即雙曲線

在兩條直線x=±a的外側(cè)。

22

②對稱性：雙曲線二-二=1關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的，

a~b~

這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線

22

二一二=1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線

a"b~

的中心。

③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。

3.拋物線

(1)拋物線的概念

平面內(nèi)與一定點F和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做拋

物線

(定點F不在定直線/上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線/

叫做拋物線的準線。

方程j2=2px(p>0)叫做拋物線的標(biāo)準方程。

注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是F

(K,0),它的準線方程是尤=-'o

22

(2)拋物線的性質(zhì)

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種

不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準方程還有其他幾種形式：y2=-lpx,

x2=2py,x'=-2py.

答案第2頁，共37頁

要點二：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線有三種位置關(guān)系：相交，相切，相離。

1.直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系

判斷直線,與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，將直線/的方程代入曲線

C的方程，消去y(也可消去x)得一個關(guān)于變量x(或y)的一元二

次方程ax2+bx+c-Oo

①當(dāng)a#=0時，

若△>(),則/與C相交；

若△=(),則/與C相切；

若AV。，則有/與C相離。

②當(dāng)a=0時，即得到一個一次方程，若方程有解，則直線/與C相

交，此時只有一個公共點

若C為雙曲線，則/平行于雙曲線的漸近線；

若C為拋物線，則/平行于拋物線的對稱軸。

2.直線被圓錐曲線截得的弦長公式：

斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AB,設(shè)4為,必)，B(x2,y2),則

弦長公式：[46|=J1+-2|%-々1=/1+公>[((+^2)2—4工/2]

當(dāng)左時，弦長公式還可以寫成：|AB|=J1+*|x一％|

要點三：有關(guān)圓錐曲線綜合題類型

1.求圓錐曲線方程的方法

①定義法

定義法是指先分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線(如圓、

橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，

從而得到軌跡方程.

一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，

再定量”的步驟：

定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置，如果位置

不確定時，考慮是否多解。此時注意數(shù)形結(jié)合，在圖形上標(biāo)出已知條

件，檢查軸上的點、垂直于軸的直線的位置是否準確等。

定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如

當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx+ny^（m>

0,〃>0）

定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通

過解方程得到量的大小。此處注意n個未知數(shù)，列夠n個獨立的方程，

并注意“點在線上”條件及韋達定理的使用。

②直接法

建系-?設(shè)點-?點滿足的幾何條件坐標(biāo)化T整理化簡成最簡形式

-?證明（可省略，但必須刪去增加的或者補上丟失的解）

③代入法

當(dāng)題目中有多個動點時，將其他動點的坐標(biāo)用所求動點P的坐標(biāo)

來表示，再代入到其他動點要滿足的條件或軌跡方程中，整理即

得到動點P的軌跡方程，稱之代入法，也稱相關(guān)點法、轉(zhuǎn)移法.

④參數(shù)法

參數(shù)法是指先引入一個中間變量（參數(shù)），使所求動點的橫、縱坐

標(biāo)間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到再y間的直

接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.

一、解答題

答案第4頁，共37頁

1.已次口拋物線y2=2x.

(1)設(shè)點彳的坐標(biāo)為(|,0),求拋物線上距離點、力最近的點戶的坐標(biāo)

及相應(yīng)的距離|P4|；

(2)設(shè)點力的坐標(biāo)為(a,0),求拋物線上的點到點力的距離的最小值

d,并寫出d=/(a)的函數(shù)表達式.

2.已知圓(％+2)2+y2=彳的圓心為M,圓(％—2)2+y2=1的圓心

為N,一動圓與這兩圓都外切.

(1)求動圓圓心P的軌跡方程；

(2)若過點N的直線［與(1)中所求軌跡有兩個交點/,B,求前?前

的取值范圍.

3.已知拋物線S':/=2p%(p>0)的焦點為尸，點尸在拋物線上，0

為坐標(biāo)原點，且|OP|=\PF\=|.

⑴拋物線￡的標(biāo)準方程；

⑵如圖所示，過點M(t,0)和點N(2t,0)(2<t<6)分別作兩條斜率為

A的平行弦分別和拋物線￡相交于點48和點C,D,得到一個梯形

ABCD.記梯形兩腰47和8c的斜率分別為七和七，且七+七一七七=

(i)試求實數(shù)A的值；

(ii)若存在實數(shù)九使得S梯舫AB。。=/ISAOA8，試求實數(shù)入的取值范

圍.

4.已知下列雙曲線的方程，求它的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線方程:

(1)16%2—9y2=144;

(2)16x2—9y2=—144.

5.平面內(nèi)一動點尸到點?(2,0)的距離比它到直線％+3=0的距離少

1.

(1)求動點P的軌跡方程；

⑵過點F(2,0)作一條傾斜角為a的直線，交拋物線于

3(%2，及)兩點，線段的中點是M直線〃的斜率Ao”=/(a)，求

k0M=/(a)的取值范圍?

6.已知橢圓+l(a>0)的一個焦點為F(—1,0),左、右頂

點分別為B,經(jīng)過點尸的直線/與橢圓M交于C、D兩點、.

(1)求橢圓方程；

(2)記△力BD與△/BC的面積分別為Si和52，求IS1一Szl的最大值.

7.已知①如圖，長為28，寬為，勺矩形力BCD,以4B為焦點的橢

22

圓“：三+3=1恰好過CD兩點

a2b,

②設(shè)圓(％+百)2+y2=16的圓心為S,直線1過點7(百,0),且與％軸

不重合，直線/交圓5于。。兩點，過點T作SC的平行線交SD于M,判斷

點M的軌跡是否橢圓

(1)在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓M的標(biāo)準方程；

答案第6頁，共37頁

(2)根據(jù)(1)所得橢圓M的標(biāo)準方程，一直線(斜率不為0)與橢圓M

交于PQ兩點，若PQ的中點為M,求證：kpQ?k°M為是值?

22

8.已知今+k=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi、尸2,1廠出|=

2瓜點P在橢圓上，tan—PF2&=2,且△P&F?的面積為4.

(1)求橢圓的方程；

⑵點M是橢圓上任意一點，4〉42分別是橢圓的左、右頂點，直線

MAr,M4與直線》=學(xué)分別交于E,F兩點，試證：以EF為直徑的圓

交％軸于定點，并求該定點的坐標(biāo).

9.2020年9月下旬，中國海軍為應(yīng)對臺灣海峽的局勢，派出3艘艦

艇在臺灣附近某海域進行實彈演習(xí).某時刻三艘艦艇呈“品”字形列

陣(此時艦艇可視作靜止的點)，如下圖48,C,且好密0R3,假

想敵艦艇在某處發(fā)出信號，力點接收到信號的時間比8點接收到信號

的時間早士(注：信號傳播速度為火),C處艦艇保持靜默.

vo

AOB

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求假想敵艦所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡

方程；

(2)在48兩處艦艇對假想敵艦攻擊后，C處敵艦派出無人機到假

想敵艦處觀察攻擊效果，則無人機飛行的距離最少是多少？

22

10.已知橢圓E：a+^=l(a>b>0)的左、右焦點分別為6，F(xiàn)2，P為

E上的一個動點，且IPF2I的最大值為2+遮，E的離心率與橢圓。:一+

笫2

—=1的離心率相等.

8

(1)求E的方程；

(2)直線］與E交于M,N兩點(M,N在％軸的同側(cè))，當(dāng)FiM〃FzN時，求

四邊形FI^NM面積的最大值.

22

11.已知橢圓C京+=l(a>b>0)的右焦點與拋物線y2=4%的

焦點重合，橢圓的離心率為當(dāng)

(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；

(2)點P為橢圓C位于y軸左側(cè)部分上的任意一點，過點P分別作拋物

線y2=4%的兩條切線，切點分別為5,8,求三角形△P48的面積的取

值范圍.

22

12.已知橢圓。曝+a=1(。>匕>0))過點/1(0,V2),且與雙曲

22

線^-=1有相同的焦點.

42

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)肥/V是橢圓C上異于4的兩點，且滿足+=-1，試判

斷直線椒是否過定點，并說明理由.

13.動圓尸與圓(%—1)2+y2=］外切，與直線％=—：相切，記圓心

Q的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)過點尸(1,0)作直線/交￡于48兩點，若力B中點的縱坐標(biāo)為|,

且/=4而(4>1),求;I的值.

22

14.已知橢圓器+a=l(a>b>0)的左右焦點分別為F］,尸2，點

P(—1,|)是橢圓上一點，IF/2I是IP&I和|P&|的等差中項.

(1)求橢圓的標(biāo)準方程；

⑵若彳為橢圓的右頂點，直線4P與v軸交于點〃，過點〃的另一直

答案第8頁，共37頁

線與橢圓交于強N兩點、,且SMMA=4SMHN，求直線網(wǎng)的方程.

15.已知橢圓C：9+馬=1(a>匕>0)過點(1,|)且橢圓的左、右

焦點與短軸的端點構(gòu)成的四邊形的面積為2H.

(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；

(2)設(shè)4是橢圓的左頂點，過右焦點廠的直線/〃與橢圓交于20,

直線“，4?與直線產(chǎn)4交于肌N,線段網(wǎng)的中點為￡求證：

EF1PQ.

22

16.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，橢圓靠=l(a>b>1)的左、

右兩個焦點分別為Fi、F2,"在橢圓C上運動.

(1)若N&PF2的最大值為120°,求a、6的關(guān)系式；

(2)若點戶是橢圓上位于第一象限的點，過點Fi作直線F/的垂線小

過點尸2作直線F2P的垂線",若直線。，。的交點。在橢圓C上，求點

Q的坐標(biāo)(用a,6表示).

22

17.已知橢圓C:t+4=1的左頂點力與上頂點8的距離為傷.

4b2

(1)求橢圓C的方程和焦點的坐標(biāo)；

(2)點尸在橢圓C上，且尸點不在x軸上，線段/P的垂直平分線與P

軸相交于點。，若4Q為等邊三角形，求點的。橫坐標(biāo).

18.已知拋物線C：y2=2px(p>0)上一點M(|,m)到它的準線的

距離為I，直線［與拋物線C交于4B兩點、,。是坐標(biāo)原點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知點E(—2,0),若直線1不與坐標(biāo)軸重直，且4E0=NBE0.

證明：直線，過定點.

19.如圖，在圓。：％2+y2=4上任取一點p,過點P作％軸的垂線段

PD,。為垂足.

y

—

(1)當(dāng)點P在圓上運動時，求線段PD的中點M的軌跡方程；

(2)過點E(0,771)作圓％2+y2-1的切線［與動點M的軌跡相交于48

兩點，求△048面積的最大值.

20.已知橢圓E:馬+4=1(a>b>0)的離心率為紙右焦點到

直線y=%的距離為舊.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知點M(2,l),斜率為京勺直線］交橢圓E于兩個不同點A.B,

設(shè)直線MA與MB的斜率分別為七，k2,①若直線］過橢圓E的左頂

點，求此時七，七的值；②試猜測七，%的關(guān)系，并給出你的證明.

答案第10頁，共37頁

參考答案：

1.(1)(0,0),|；(2)42a-1;d=.

【分析】(1)設(shè)拋物線上任一點戶的坐標(biāo)為(%,y),根據(jù)兩點間的距

2

離公式，可得|P*2=(%—勻+y2,再結(jié)合拋物線的定義和％的取值

范圍可求得|P4|的最小值和點P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)拋物線上任一點。的坐標(biāo)為(%,y),則—(%—a)2+y2=

(x—a)?+2,x-[x—(a—1)]?+(2d-1),然后對a—1>0和a—

1<0分情況討論即可

【詳解】(1)設(shè)拋物線上任一點Q的坐標(biāo)為(％,y),

則|P/|2=(%-02+y2=(%_02+2x=(x+02+1.

因為％>0,且在此區(qū)間上|P4/隨著x的增大而增大，

所以當(dāng)％=0時，\PA\min=l，

故距離點4最近的點戶的坐標(biāo)為(0,0),最短距離是|.

(2)設(shè)拋物線上任一點。的坐標(biāo)為(居y),則

\QA\2=(%—a)2+y2=(x—a)2+2%=[%—(a—I)]2+(2a—1).

當(dāng)a—l》0,即時，d2=2a—1,解得d=V2a—1,此時％=

a—1；

當(dāng)a—l<0,即a<1時，d2=a2,解得d=|a|,此時％=0.

W值/賓1，

【點睛】此題考查拋物線的性質(zhì)，考查分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想，

屬于中檔題

2

2.解：(1)%c2-^V-=1(%>0).(2)[7,4-0°)

【分析】(1)圓P與圓M和圓N都相外切，得到|PM|—|PN|=2,滿

足雙曲線的定義，得到軌跡方程；

丫2=1

(2)直線與雙曲線聯(lián)立｛3,得到％1+%2，%1%2，從而表示

y=k(x—2)

出前?前，得到其范圍，注意討論斜率存在和不存在的情況.

【詳解】(1)設(shè)動圓P的半徑為r

因為圓P與圓M和圓N都相外切，

所以PM=|+r,PN=g+r

所以|PM|-\PN\=2,

滿足雙曲線的定義，所以P的軌跡為雙曲線的右支，

所以2a=2,a=1,

c=2,b2=c2—a2=3

所以P點的軌跡方程為％2—；=1(%>0).

(2)設(shè)過N(2,0)的直線為丫=/c(%-2)

因為直線與雙曲線右支％2一7=1(%>0).有兩個交點

由｛3得(3—攵2)%2+4k2汽—4/(：2—3=0

y=k(x—2)

設(shè)4(%1，%),8(%2，%)

答案第12頁，共37頁

(4攵2)2_4x(3-fc2)(-4fc2-3)>0

△>0-4k2

由｛%]+%2>°，｛3-H>0

%62>0-4.3

3-k2

解得1>3

AM-BM—(—2—%],一%)(一2—%2,—

xx

=4+2(.+%2)+l2+憶2(%1—2)(%2—2)

7/c2-912

=~To—=7+——->7

/c2—3kz—3

當(dāng)直線斜率不存在時，％]=&=2,丫1=3,%=—3

所以前=(一4,-3),前=(-4,3)

所以前-~BM=9

綜上，AM-BM>7.

3.(1)y2=4x

(2)(i)2;(ii)[1+W，葭

【分析】（1）設(shè)點。（%0，%）,根據(jù)題意和拋物線的定義求出。的值即

可；

（2）設(shè)點8（%2，丫2）、。（％3，%）、。（％4，%），根據(jù)兩點求直線

斜率公式可得入自、B的表達式，結(jié)合題意列出關(guān)于k的方程，求出

k,進而得出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用弦長公式求出

\AB\.\CD\,由點到直線的距離公式求出點0到直線的距離，求

出梯形ABCD的面積，得到4與t的關(guān)系式，結(jié)合t的范圍計算即可.

【詳解】⑴設(shè)點P（%o，yo），：|OP|=|PF|=|，

zq

：.\PF\=1+l=l，：.p=2,

所以拋物線￡的標(biāo)準方程為y2=4x.

(2)(i)設(shè)點4(%i，yi),8(%2，%)，。(無3，%)，。(％4，%)，

則憶=也21=亨與=，_,

%2-打yi_yiyi+y

442

同理：七=---,k=---,k=---.

yi+y42丁2+為為+丁4

又因為七+矽一七矽=0，所以三+三二1,即小"+及士比=1,

k]/^244

所以%+%+%+%=4,即2+2=4,.\/:=2.

KK

(ii)由(i)得:/B:y=2(%—t)代入y?=4%可^:y2—2y—4t=0,

所以|/B|=Jl+;lyi-y2l=Jl+],4+16t=/5(4t+1),

點0到直線48的距離為d=等.

???SROAB=^\AB\-d=^J5(4t+1)-雪=tV4FTT.

同理可求得：|CD|二，5(8t+l).

???S梯形.CD=|(l^l+GDI)?d=|(75(4t+l)+75(8t+1)).

等=t(V4t+1+V8t+1),

?*.N4t+1+J8t+1)=入*tV4t+1,

”^^=1+萼…l2_^_

V4C+1V4t+174t+l

V2<t<6,Z.1+<A<y.

綜上實數(shù)A的取值范圍為1+遮^,“.

35J

4.(1)焦點(一5,0),(5,0),離心率e=§漸近線y=±[%;(2)焦點

(0,-5),(0,5),離心率e=|,漸近線y=±g%.

22

【分析】(1)化為標(biāo)準方程可得二一匕二1,即可得a,b,根據(jù)a,

916

b,c的關(guān)系，可求得c值，即可得焦點坐標(biāo)，代入漸近線、離心率

答案第14頁，共37頁

公式，即可得答案

22

(2)化為標(biāo)準方程可得得一卷=1,即可得a,b,根據(jù)a,b,c的

關(guān)系，可求得c值，即可得焦點坐標(biāo)，代入漸近線、離心率公式，即

可得答案

22

【詳解】(1)將16/—9y2=144化為標(biāo)準方程可得上一匕=1,

916

由方程可得a?=9,匕2=16,解得a=3,b=4,

所以漸近線方程為y=土g%,

又c2=a2+b2=9+16=25,解得c=5,即焦點坐標(biāo)為(一5,0),(5,0),

離心率e=-=|;

a3

22

(2)將16/_9y2=一144化為標(biāo)準方程可得匕—土=1,

169

由方程可得a?=16,爐=9,解得a=4,匕=3,

所以漸近線方程為y=

又c2=a2+b2=16+9=25,解得c=5,即焦點坐標(biāo)為(0,—5),(0,5),

離心率e=-=

a4

5.(1)y2=8x

⑵卜患］

【分析】(1)根據(jù)題意，利用拋物線的定義求解；

(2)設(shè)直線的方程為my=x—2,與y?=8%聯(lián)立，利用韋達定理

求得M(4m2+2,4m),得到k?！?/(a)=「工產(chǎn)「之〔,分m=0,

m>0,m<0討論求解.

(1)

解：由題意知：動點P的軌跡是以廠為焦點，產(chǎn)-2為準線的拋物線,

所以動點戶的軌跡方程是/=8%;

(2)

設(shè)直線48的方程為my=x-2,

與y2=8%聯(lián)立，消去x得：y2—8my-16=0,

所以％+y2—8771,%?y2=-16,

22

則久i+x2=8m+4,M(4m+2,4m),

所叫”=f(a)=蓋=耗，

當(dāng)771=0時，k0M=0,

當(dāng)m>。時，0<k0M=27n2+i

當(dāng)且僅當(dāng)他=子時，等號成立;

V2

當(dāng)m<0時，0>k0M=-----r10?-------------

2m+—m~2m~^2，

當(dāng)且僅當(dāng)TH=—爭寸，等號成立；

所以/COM=/(。)的取值范圍是[一?，/]?

22

6.(1)土+匕=1；(2)V3

43

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出。2=4,即可寫出橢圓的標(biāo)準方程;

(2)設(shè)出直線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，然后用韋達定理及均值不

等式求面積最值問題.

【詳解】(1)因為尸(一1,0)為橢圓的焦點，所以c=l,

又/=3,所以=廬+=4,所以橢圓方程為上+匕=1.

43

(2)方法一：當(dāng)直線I斜率不存在時，直線方程為％=—1,

此時△/BD與△力BC的面積相等，氏一52|=0.

當(dāng)直線，斜率存在時，顯然其斜率不為0,設(shè)直線N的方程y=

答案第16頁，共37頁

k(x+l)(/cW0),

My2

1

設(shè)C(%L%),。（%2，%），則%，為異號.由T+T-,得

y=k(x+1)

(3+4/c2)%2+8k2x+4k2-12=0,

口,8k2

顯然/>0,-S-X-1+Xo=7，

1z3+4/c2

此時IS】—Szl=^\AB\\\y2\-\yr\\=2\y2+%|=2|fc(%2+1)+

k(X]+1)|=21ko2+Xi)+2k\=

由土。0,可得12\k\12=V3,

3+4/C2

當(dāng)且僅當(dāng)1T=4|川，即k=±立時等號成立.

因2

所以島—Szl的最大值為8

方法二：由題設(shè)，直線［不可能與％軸重合，

可設(shè)直線/:%=my—1,4（%i，yi）,8（%2，%），則%，為異號?

次;竺=1

由43—,得(3血2+4)y2—6my—9=0,

,x=my—1

顯然/>0,且%+為=若，

此時|S1—S2l=與/3|||%|一|乃1|=2|%+%l=翼%

若粗。0,可得產(chǎn)整=?：24=J2=遮,

37n+43|m|+而+2卜阿.高

當(dāng)且僅當(dāng)3TTI2=4,即m=±竽時等號成立.

若租=0,則卜1一521=0,此時直線/的方程為％=—1,

△4BD與△4BC的面積相等，所以IS1一Szl的最大值為

【點睛】（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立,

消去x（或"）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合

題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率

為0或不存在等特殊情形.

Y2

7.(1)-+y2=1;(2)證明見解析.

【分析】(1)選①：由點在橢圓上并代入橢圓方程求出橢圓參數(shù)，進

而寫出橢圓方程；選②：由圓的性質(zhì)知：△SCD為等腰三角形，結(jié)合

TM〃SC可得MS+MT=4,根據(jù)橢圓的定義寫出橢圓方程.

(2)設(shè)直線「。為了=+771,(2(%2，、2)，聯(lián)立橢圓方程并

應(yīng)用韋達定理求％1+不、及%+乃，進而求中點的的坐標(biāo)，即

可證結(jié)論.

【詳解】(1)選①：由已知，將C(遮代入橢圓方程得：

a2-b2=3_/2

31n產(chǎn)？2=4故橢圓方程為：二+y2=i

2+a=1〔爐=14

'a?b?

選②：由題設(shè)可得如下示意圖，易知：△SUD為等腰三角形且SC=SD,

：.NSCD=NSDC,又TM//SC,即NMTD=NSCD,

：.ZMTD=NSDC,則MT=MD,

'：MS+MT=MS+MD=SD=4,

：.橢圓定義知：動點M到兩定點S(一如,0),T(V3,0)的距離和為定值4,

丫2-

.?.M的軌跡方程為丁+y2=i(y。0).

答案第18頁，共37頁

(2)由題設(shè)知斜率存在，可設(shè)直線PQ為y=/:%+m，

聯(lián)立橢圓方程，整理可得：(1+4/c2)%2+8kmx+4m2-4=0且/>

0,

+x=-^7,%1%2=，則%+%=KX1+%2)+2m=

2：：：；?

2m

1+4H'

(一黑，1)，則koM二一今，

：.kpQ,k°M=—1為定值.

8.(1)次+竺=1

94

(2)證明見解析，定點的坐標(biāo)為(手+1,0)或(誓-1,0)

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理、三角形的面積公式求得

a,b,從而求得橢圓的方程，

(2)設(shè)M(&,yo),通過直線M4、直線的方程求得民尸的坐標(biāo)，

7

設(shè)以E/為直徑的圓交工軸于點Q(771,0),根據(jù)々QE,kQF=-1求得TH,

進而證得結(jié)論成立并求得定點坐標(biāo).

(1)

因為tan/PF20=2>0,所以NPF20為銳角，

(sinNPF2'_

--------二L

由cosNPF2F1,

sin2NPF2F1+cos2NPF2F1=1

得sinNPF2F]=cos^PF2F1=

’-x2V5?\PF2\X—=4

25

由題意得《2廠，解得

2

JPF/2=\PF2\+(2V5)-2?IPF2IX(2V5)x

0PFJ=4

則|=2。

從而2a=\PF1\+\PF2\=4+2=6na=3,

由于2c=2V5,c=遮得爐=a2—c2=4,b=2,

22

故橢圓的方程為土+匕=1.

94

(2)

由(1)得/式-3,0),4(3,0),

設(shè)M(%o，yo),1+1,4詔+9羽=36,詔-9=一部

則直線的方程為y=工(％+3),

%o+3

它與直線％=亭的交點的坐標(biāo)為E(當(dāng)，言(苧+3)),

直線M&的方程為y=上紇(％—3),它與直線％=辿的交點的坐標(biāo)為

XQ—32

尸件含得T)，

設(shè)以EF為直徑的圓交匯軸于點Q(zn,0),則QE1QF,從而%E,%/='=

T,

答案第20頁，共37頁

H(辿+3)H(辿-3)

還丁一一匕

22

292

整理得(苧一同=清=署=1,解得皿=￥±1.

故以EP為直徑的圓交》軸于定點，該定點的坐標(biāo)為(誓+1,0)或

J，。)

22

9.(1)土一J=l(%(一2);(2)MC=2V2

45min

【解析】(1)設(shè)假想敵艦的位置P(%,y),由題意可知PB—P/=%x

3=4,由圓錐曲線的定義可知，點P的軌跡是雙曲線的一支，可求

出軌跡方程；

(2)由題意可知，求無人機飛行的距離最少，即求C點與軌跡上的點

的距離最小，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離最小.

【詳解】解：建立以4B所在的直線為％軸，48的中垂線為y軸，建立

直角坐標(biāo)系，

(1)設(shè)假想敵艦的位置P(%,y),由題意可知P8-PA=vx-=4,

ovo

由圓錐曲線的定義可知，該曲線是以/,B為焦點，4為實軸長的雙曲

線的左支，

即，2a=4,c=3,Ab=V5,

22

P點、的軌跡方程為：....-=1(%4—2),

45

(2)設(shè)方程百―日=1(%<—2)上一點M(三，而tan。)，Qe

45cosa22

由題意知，求出MC的最短距離即可，

MC=1(0T——J)2+(3—V5tan0)2=J9tan23—6V5tan0+13=

YCOSQ

J(3tan0-V5)2+8,由6e(—1(),可得tanOeR,

???MCmin=V8=2V2.

【點睛】利用定義法求軌跡方程后，要注意驗證是否要挖去不符合條

件的點；利用雙曲線方程進行參數(shù)設(shè)點求解問題，能減少運算量.

2

10.(1)-y+y2=1(2)2

4

'a+c=2+

【分析】(1)依題意可知?c_解得a,c即可(2)延長MF1交

E于點M',由⑴可知FI(一V^,0),F2(①0),設(shè)M(Xi，%),M'(X2J2),

設(shè)MF1的方程為x=my—V3,與橢圓聯(lián)立得(m2+4)y2—2V3my—

1=0,①設(shè)FiM與F2N的距離為d,轉(zhuǎn)化S為S.MFZM'，進一步列出

,△MF2M,=JIF1F2W1-丫21=+丫2)2-4%丫2,將①的韋達

定理代入得面積表達式=空零亙，利用基本不等式求最值即可

m'+4

答案第22頁，共37頁

a+c=2+

【詳解】(1)依題意可知〈

c1/

a

a=2,

解得

c=V3,

2

則b?=a2—c2=l,故E的方程為——vI-y2=1.

4

(2)延長MF1交E于點M'，由(1)可知F](—K,0),F2(遮,0),

設(shè)M(xi，yi),M'62，丫2),設(shè)MF1的方程為x=my-g,

x=my—V3

2

由1x29得(m?+4)y—28my—1=0,

——I-yz=1

4J

(,275m

故四丫2一干.

、丫1丫2—m2+4

設(shè)FiM與F2N的距離為d,則四邊形F1F2NM的面積為S,

，，

S=^aF1M|+|F2NDd=1(|F1M|+|F1M|)d=||MM|d=

△MF2M'

1__________________

S

???AMF2M^=5IF1F2IM-yzl=g/(yi+y2)2—4yj2

4回m2+14V34V3

=---m-2--+--4--=-----------------<----=2

而不I+T=—28’

vm2+1

當(dāng)且僅當(dāng)Vm2+1=/；:,即m=±&時，等號成立，

Vm2+1

故四邊形FiF2NM面積的最大值為2.

【點睛】本題考查橢圓的綜合，考察直線與橢圓的位置關(guān)系，面積公

式，轉(zhuǎn)化與化歸思想，第二問利用橢圓對稱性，將面積轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵,

是中檔題

11.⑴9+3f=1；⑵竽

【分析】(1)結(jié)合c=1,e=-=―,a2=/)2+c2聯(lián)立，即得解；

a2

(2)借助導(dǎo)數(shù)求兩條切線斜率，分別表示兩條切線的方程P4y=

PB-.y=j-x+^,聯(lián)立可得P(竿，爐)，將直線與

拋物線聯(lián)立，借助韋達定理可將P點坐標(biāo)表示為(-n,2m)，令線段AB

的中點為M,則

S^PAB=：|PM||為一力1二(血？+九)，(乃+力)2-4yly2,借助韋達

定理和0<71工手，即得解

【詳解】(1)由拋物線產(chǎn)=4%的焦點為9(1,0)與橢圓的焦點重合，

所以c=1,

且離心率e=￡=在，a2=b2+c2,所以a=2,b=在

a233

所以橢圓的標(biāo)準方程為：—+3y2=1

4

如圖，令P(%0,%),4(％1，%),8(%2,為)，

由題意直線的kH0,故設(shè)直線48的方程為％=my+n，

不妨令“在％軸上方，B在％軸的下方，則yi=—2?7，丫2=

.'_1'_1

??y1=—；=>y2=-7=

阮怎

則過/,B兩點的切線P4,PB的直線方程分別為：

答案第24頁，共37頁

12v

PA:y=——(%—Xj)+y,即：y=—%+—,

y/xi1yi2

2y

PB:y=—x+—2

722

2

y=—x+yiy，2

2%o=

即《yi解得?4

聯(lián)立直線P/,PB,2.yy"y2

y=—x4--2

7o=2

,y22

,(X=my+n

職工j,2—4%消%仔y2—4771y_4九=0

yi+y2=4m,y1y2=-4n

.*.x0=—n,yQ=2m,又點P在橢圓的y軸左側(cè)部分，則—一<x0<0,

???0cV/71/W—2遮,

3

.,.紐+3犬=—+12m2=1,

令線段/B的中點為M,則y”=左產(chǎn)=2m=jo，xM=myM+n=

2m2+n,

2

?'?SAPAB=^\PM\\y1-y2l=(^i+九)J(乃+為)2-4yly2

3

=4(m24-n)2

3

(31\2

=4——7+n+--

k4812/

▽,28?遮8V12

olo3

22

12.⑴土+匕=1

82

⑵直線過定點(2&,—企)；理由見解析

【分析】(1)根據(jù)題意可求得a,4c,進而求得橢圓方程；

(2)考慮直線斜率是否存在，設(shè)直線方程y=k%+t并聯(lián)立橢圓方程,

得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后利用功4+即區(qū)=一1，將根與系數(shù)的關(guān)

系式代入化簡得到k=一點一匕結(jié)合直線方程y=安+￡)%+「,

化簡可得結(jié)論.

(1)

依題意，b=V2,c=V6,

(2)

當(dāng)直線腑的斜率不存在時，設(shè)"(M，%),N(x0