數(shù)學建模概述

數(shù)學建模概述第1頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學建模概述數(shù)學模型數(shù)學建模過程數(shù)學建模示例1,2,3建立數(shù)學模型的方法和步驟數(shù)學模型的分類討論與思考練習第2頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月模型：是我們對所研究的客觀事物有關屬性的模擬，它應當具有事物中使我們感興趣的主要性質(zhì)，模擬不一定是對實體的一種仿造，也可以是對某些基本屬性的抽象。數(shù)學模型直觀模型：實物模型，主要追求外觀上的逼真。物理模型：為一定目的根據(jù)相似原理構造的模型，不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以進行模擬試驗，間接地研究原型的某些規(guī)律。思維模型，符號模型，數(shù)學模型。第3頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學模型1）近藤次郎（日）的定義：數(shù)學模型是將現(xiàn)象的特征或本質(zhì)給以數(shù)學表述的數(shù)學關系式。它是模型的一種。2）本德（美）的定義：數(shù)學模型是關于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的簡化的數(shù)學結構。3）姜啟源（中）的定義：是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結構。第4頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學結構：是指數(shù)學符號、數(shù)學關系式、數(shù)學命題、圖形圖表等，這些基于數(shù)學思想與方法的數(shù)學問題?？傊?，數(shù)學模型是對實際問題的一種抽象，基于數(shù)學理論和方法，用數(shù)學符號、數(shù)學關系式、數(shù)學命題、圖形圖表等來刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系。第5頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月古希臘時期：“數(shù)理是宇宙的基本原理”文藝復興時期：應用數(shù)學來闡明現(xiàn)象“進行嘗試”微積分法的產(chǎn)生，使得數(shù)學與世界密切聯(lián)系起來，用公式、圖表、符號反映客觀世界越來越廣泛，越來越精確。第6頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月費馬（P.Fermal1601-1665）用變分法表示“光沿著所需時間最短的路徑前進”牛頓（Newton1642-1727）將力學法則用單純的數(shù)學式表達，如，牛頓第二定律：結合開普勒三定律得出萬有引力定律第7頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月航行問題甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船速、水速各多少？用分別代表船速、水速，可以列出方程解方程組，得答：船速、水速分別為20千米/小時、5千米/小時。第8頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學建模過程第9頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學建模過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型的解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型表述（歸納）求解（演繹）解釋驗證現(xiàn)實對象與數(shù)學模型的關系第10頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學建模示例之一建模示例之一椅子的穩(wěn)定性問題第11頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月椅子的穩(wěn)定性問題

問題：將四條腿一樣長的正方形椅子放在凹凸不平的地面上，是否總能設法使它的四條腿同時著地，即放穩(wěn)。請用數(shù)學模型給于解決。西北大學數(shù)學系第12頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月1問題分析對“放穩(wěn)”的理解設法使它放穩(wěn)，有哪些方法？方法的關鍵是什么？衡量放穩(wěn)的數(shù)學依據(jù)是什么？西北大學數(shù)學系第13頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月1）地面為光滑曲面；2）相對地面的彎曲程度，椅子的腿是足夠長的；3）只要有一點著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點接觸；4）椅子的中心不動。西北大學數(shù)學系2假設第14頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月xyAABBCCDDO3建模分析表示A,C與地面距離之和表示B,D與地面距離之和則由三點著地，有不失一般性，設初始時：西北大學數(shù)學系第15頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月假設：是的連續(xù)函數(shù)，且對任意，求證：至少存在，使得4數(shù)學模型西北大學數(shù)學系數(shù)學命題：.第16頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月5模型求解證明：將椅子轉動，對角線互換，由可得令由的連續(xù)性，根據(jù)介值定理，在中至少存在一點,使得,即又所以第17頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題：長方形的椅子會有同樣的性質(zhì)嗎？6結論西北大學數(shù)學系能放穩(wěn)。第18頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月7注意數(shù)學模型的形式：數(shù)學命題。有時還有圖形、圖表、數(shù)學符號等。西北大學數(shù)學系第19頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月oxyABCD思考題1長方形椅子穩(wěn)定性問題表示A,B與地面距離之和表示C,D與地面距離之和則由三點著地，有ACABCD第20頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月建模步驟第21頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月建立數(shù)學模型的方法和步驟方法

機理分析法：以經(jīng)典數(shù)學為工具，分析其內(nèi)部的機理規(guī)律。統(tǒng)計分析法：以隨機數(shù)學為基礎，經(jīng)過對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計分析。系統(tǒng)分析法：對復雜性問題或主觀性問題的研究方法。把定性的思維和結論用定量的手段表示出來。如：層次分析法。第22頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月建模步驟模型準備模型假設模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用第23頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月了解問題的實際背景，明確建模目的，掌握對象的各種信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象的特征。有時需查資料或到有關單位了解情況等。1)模型準備第24頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)實際對象的特征和建模目的，對問題進行必要地合理地簡化。2）模型假設：不同的假設會得到不同的模型。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化第25頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月分清變量類型，恰當使用數(shù)學工具；抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關系；要有嚴密的數(shù)學推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。3）模型建立：第26頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，計算機技術（編程或軟件包）。特別地近似計算方法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。4）模型求解：第27頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月結果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關系或穩(wěn)定性態(tài)；

數(shù)學預測；最優(yōu)決策控制。5）模型分析與檢驗：把模型分析的結果“翻譯”回到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗模型的合理性和適應性檢驗結果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。第28頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月6）模型應用應用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善。第29頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月模型分類第30頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月模型的分類1）按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機性模型非線性模型多變量模型2）按時間變化對模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動態(tài)模型參數(shù)時變模型第31頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學模型、醫(yī)學數(shù)學模型、地質(zhì)數(shù)學模型、數(shù)量經(jīng)濟學模型、數(shù)學社會學模型等。3）按模型的應用領域（或所屬學科）分第32頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學模型等。4）按建立模型的數(shù)學方法（或所屬數(shù)學分支）分5）按建模目的分描述性模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。第33頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月白箱模型：其內(nèi)在機理相當清楚的學科問題，包括力學、熱學、電學等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機理（數(shù)量關系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學、社會科學等。6）按對模型結構的了解程度分第34頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月練習1某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿；次日早8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點。為什么？AB甲乙第35頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束。問共需進行多少場比賽？一般思維：逆向思維：每場比賽淘汰一名失敗球隊，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊，因此比賽進行了36場。第36頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月3某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時抵達T市車站，它的妻子駕車準時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時半抵達T市車站，隨即步行回家，它的妻子像往常一樣駕車前來，在半路上遇到他接回家時，發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘。問他步行了多長時間？第37頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月車站家5：30相遇早10鐘5分鐘5分鐘6：005：55共走了25分鐘。第38頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月甲乙兩站有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站互發(fā)一趟車，但發(fā)車時間不一定相同。甲乙兩站有一中間站丙，某人每天在隨機的時刻到達丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達甲站，僅約有10天到達乙站。問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時刻表是如何安排的？第39頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09x=8:098:098:19第40頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月一男孩和一女孩分別在離家2km和1km且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上學時小狗也忘返奔波在他們中間，問當他們到達學校時小狗在何處？第41頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月6某人由A處到B處去，途中需到河邊取些水，如下圖。問走那條路最近？（用盡可能簡單的辦法求解。）dAB河第42頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月建模示例之二建模示例之二四足動物的身長和體重問題第43頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月四足動物的身長和體重問題問題：四足動物的軀干（不包括頭尾）的長度和它的體重有什么關系？假設：四足動物軀干為圓柱體，質(zhì)量為，長度為,斷面面積為，直徑為。西北大學數(shù)學系第44頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月建模：重量實際中，根據(jù)動物進化，不同種類的動物其截面積與長度之比可視為常數(shù)，即所以，得出：重量與長度的平方成正比。即西北大學數(shù)學系第45頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：這個公式要在實際中檢驗，基本符合實際，就可作為經(jīng)驗公式來應用，否則要重新建立和完善模型。事實上，與實際吻合不好。假設：四足動物軀干為一根支撐在四肢上的彈性梁。為下垂度，即梁的最大彎曲度。由彈性理論:檢驗：第46頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月為相對下垂度。從生物角度可以認為，經(jīng)過長期進化，對于每一種動物，此值已經(jīng)達到其合適的數(shù)值，即是一個常數(shù)（不同種類的動物此值不盡相同），于是因為即第47頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月而所以結論此公式比較符合于實際，可在實際中推廣使用。，可以由統(tǒng)計數(shù)據(jù)找出。西北大學數(shù)學系注意建模方法：類比法，比例法。知識運用：彈性梁理論。模型檢驗：經(jīng)過多次建模過程、步驟，形成比較良好的模型。第48頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)驗公式中，k的確定問題。實際中，可采集一系列數(shù)據(jù)，比如在生豬收購站。體重y1y2…yn長度x1x2…xn長度四次方t1t2…tn設由最小二乘法確定k之值，即尋找一直線，使得點到該直線縱向距離平方和最小，此直線的斜率就是要確定的k。數(shù)據(jù)的線性擬合方法。第49頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月建模示例之三安全渡河問題建模示例之三第50頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月安全渡河問題三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權掌握在商人們手中。商人們怎樣才能安全渡河呢？西北大學數(shù)學系第51頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月西北大學數(shù)學系1問題分析這是個多步?jīng)Q策問題。一次渡河一次決策引起岸邊人數(shù)的變化狀態(tài)的變化狀態(tài)怎樣表示？決策怎樣表示？第52頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月設第次渡河前此岸的商人數(shù)為，隨從數(shù)為稱為狀態(tài)。如：表示第三次渡河前，此岸有3名商人1名隨從，表示第五次渡河前，此岸有1名商人2名隨從，根據(jù)題意，要安全渡河，狀態(tài)是不允許的。設允許狀態(tài)集合為西北大學數(shù)學系2模型構成第53頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月設第次渡船上的商人數(shù)為，隨從數(shù)為。定義決策為允許決策集合為為奇數(shù)時，船由此岸到彼岸；為偶數(shù)時，船由彼岸到此岸。狀態(tài)在決策下不斷轉移，規(guī)律如何？西北大學數(shù)學系第54頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月求決策使狀態(tài)按照以上規(guī)律由初始狀態(tài)經(jīng)過有限步到達狀態(tài).當然越小越好。3模型求解西北大學數(shù)學系可用計算機編程計算。問題:第55頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月此路不通西北大學數(shù)學系第56頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月西北大學數(shù)學系第57頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月西北大學數(shù)學系第58頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月西北大學數(shù)學系第59頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月西北大學數(shù)學系第60頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月西北大學數(shù)學系第61頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月西北大學數(shù)學系第62頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月12345678910114結論：共有四種最佳方案，經(jīng)過11次方可安全過河。此作法可進行推廣，有多名商人和隨從時，利用計算機編程來實現(xiàn)。西北大學數(shù)學系第63頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月5圖解法xyd1d2d3d4d5d6d7d8d9d10d11狀態(tài)轉移規(guī)則：1）第奇數(shù)次需向下或向左移動兩格。2)第偶數(shù)次需向上或向右移動一格或兩格。3）每次移動需落在可取狀態(tài)上。西北大學數(shù)學系第64頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題3

人狗雞米過河問題第65頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：人、狗、雞、米均要過河，船需要人劃，另外至多還能載一物，而當人不在時，狗要吃雞，雞要吃米。問人、狗、雞、米怎樣過河，試設計一個安全渡河方案，并使渡河次數(shù)盡可能地少。思考題3

人狗雞米過河問題第66頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題3人狗雞米過河問題思考題解答第67頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)轉移問題1）允許狀態(tài)集合S人、狗、雞、米依次用四維向量表示它們的狀態(tài)，在此岸用1表示，在彼岸用0表示。如（0，1，0,1)表示人、雞在彼岸，狗、米在此岸。人在此岸(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)人在彼岸(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1)思考題3人狗雞米過河問題第68頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月用四維向量表示決策，如（1，1，0，0）表示人帶狗擺渡。D={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}問題轉化為：由初始狀態(tài)(1,1,1,1)出發(fā)，經(jīng)奇數(shù)次上述運算轉化為狀態(tài)(0,0,0,0)的過程。規(guī)定運算：分量1+1=0,1+0=0+1=1,0+0=0如(1,1,1,1)+(1,0,1,0)=(0,1,0,1)其實際意義：人狗雞米原均在此岸，人帶雞過河，此岸為新狀態(tài)，即僅剩狗和米。s(i+1)=s(i)+d(i)2)允許決策集（劃船方式）D第69頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月第70頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共79頁，創(chuàng)作于2023年2月1,1,1,1(1,0,1,0)0,1,0,1(1,0,0,0)1,1,0,1(1,1,0,0)0,0,0,1(1,0,0,1)0,1,0,0(1,0,1,0)1,0,1,1(1,0,1,0)1,1,1,0(1,0,0,1)(1,1,0,0)0,0,1,0(1,0,0,0)1,0,1,0