數(shù)值分析課后習(xí)題部分參考答案解析

./數(shù)值分析課后習(xí)題部分參考答案Chapter1〔P105.求的近似值,使其相對誤差不超過。解：。設(shè)有位有效數(shù)字,則。從而,。故,若,則滿足要求。解之得,。。〔P107.正方形的邊長約,問測量邊長時誤差應(yīng)多大,才能保證面積的誤差不超過1。解：設(shè)邊長為,則。設(shè)測量邊長時的絕對誤差為,由誤差在數(shù)值計算的傳播,這時得到的面積的絕對誤差有如下估計:。按測量要求,解得,。Chapter2〔P475.用三角分解法求下列矩陣的逆矩陣：。解：設(shè)。分別求如下線性方程組：,,。先求的LU分解〔利用分解的緊湊格式,。即,,。經(jīng)直接三角分解法的回代程,分別求解方程組,和,得,；和,得,；和,得,；。所以,?！睵476.分別用平方根法和改進(jìn)平方根法求解方程組：解:平方根法：先求系數(shù)矩陣的Cholesky分解〔利用分解的緊湊格式,,即,,其中,。經(jīng)平方根法的回代程,分別求解方程組和,得,。改進(jìn)平方根法：先求系數(shù)矩陣的形如的分解,其中為單位下三角矩陣,為對角矩陣。利用計算公式,得；。分別求解方程組,和,得,?！睵4812.已知方程組的解為。計算系數(shù)矩陣的條件數(shù)；取,分別計算殘量。本題的計算結(jié)果說明了什么？解：〔1設(shè),求得,。從而,。〔2計算得,,；,。這說明,系數(shù)矩陣的條件數(shù)很大時,殘量的大小不能反映近似解精度的高低。Chapter3〔P723.用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解方程組取初值,迭代4次,并比較它們的計算結(jié)果。解：由方程組得,從而,Jacobi迭代格式為：,Gauss-Seidel迭代格式為：,整理得,,Jacobi迭代：Gauss-Seidel迭代：Jacobi迭代中已經(jīng)是方程組的精確解,而從Gauss-Seidel迭代的計算結(jié)果,可以預(yù)見它是發(fā)散的?！睵739.設(shè)有方程組分別寫出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的計算公式,用迭代收斂的充要條件給出這兩種迭代法都收斂的的取值范圍。解:由方程組得,從而,Jacobi迭代格式為：,迭代矩陣為：設(shè),求得,,故。另由Jacobi迭代格式,得Gauss-Seidel迭代格式為：,迭代矩陣為：設(shè),求得,,故。另外,應(yīng)保證方程組的系數(shù)矩陣非奇異,解得,。由迭代收斂的充要條件得,Jacobi迭代收斂；Gauss-Seidel迭代收斂。故,使得兩種迭代法都收斂的的取值范圍是相同的：?！睵7412.證明對稱矩陣當(dāng)時為正定矩陣,且只有當(dāng)時,Jacobi迭代解才收斂。解:為正定當(dāng)且僅當(dāng)以下三個不等式同時成立：,解之得,。此時解方程組的Gauss-Seidel迭代收斂。另外,可得解方程組的Jacobi迭代格式的迭代矩陣為解得,。由收斂的充要條件,Jacobi迭代收斂當(dāng)且僅當(dāng)。Chapter5〔P1407.設(shè)為個互異節(jié)點(diǎn),為這組節(jié)點(diǎn)上的次Lagrange插值基函數(shù),試證：〔1；〔2。證：〔1對于固定的,設(shè),則為次數(shù)不超