初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題及答案-附知識(shí)點(diǎn)及結(jié)論總結(jié)

第4頁共20頁經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求證：CD＝GF．（初二）AAFGCEBOD2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝150．APCDAPCDBD2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）ANANFECDMB求證：∠DEN＝∠F．經(jīng)典難題（二）1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M．·A·ADHEMCBO（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）·GAO·GAODBECQPNM求證：AP＝AQ．（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：·O·OQPBDECNM·A求證：AP＝AQ．（初二）PCGFBQPCGFBQADE求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半．（初二）經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．AFAFDECB即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得證。2.如下圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,從而可得∠A2B2C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。經(jīng)典難題（二）1.(1)延長(zhǎng)AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB，OC,既得∠BOC=1200，從而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。3.作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC=∠AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，從而可得AP=AQ。4.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=。由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。從而可得PQ==，從而得證。經(jīng)典難題（三）1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADE，到△ABG，連接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350從而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形?！螦GB=300，既得∠EAC=300，從而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。2.連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。3.作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，可以得出GFEC為正方形。令A(yù)B=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。經(jīng)典難題（四）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP600，連接PQ，則△PBQ是正三角形?？傻谩鱌QC是直角三角形。所以∠APB=1500。2.作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）?？傻谩螧AP=∠BEP=∠BCP，得證。3.在BD取一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：=，即AD?BC=BE?AC，①又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得=，即AB?CD=DE?AC，②由①+②可得:AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC·BD，得證。4.過D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：=，由AE=FC?？傻肈Q=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分線逆定理）。經(jīng)典難題（五）1.（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC600，可得△PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小L=；（2）過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D，F(xiàn)。由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP①又BP+DP>BP②和PF+FC>PC③又DF=AF④由①②③④可得：最大L<2；由（1）和（2）既得：≤L＜2。2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC600，可得△PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF======。3.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP900，可得如下圖：既得正方形邊長(zhǎng)L==。4.在AB上找一點(diǎn)F，使∠BCF=600，連接EF，DG，既得△BGC為等邊三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，F(xiàn)G=GE。推出：△FGE為等邊三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400②推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，從而推得：∠FED=∠BED=300。附：平面向量復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1＋e2。如（1）若，則______（答：）；4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，注意：≠0。5、平面向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直。（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）△ABC中，，，，則_________（答：－9）；（3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則：①；②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計(jì)算公式：；④。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；6、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡(jiǎn)：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：①向量的加減法運(yùn)算：，。如（1）已知點(diǎn)，，若，則當(dāng)＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（答：）；②實(shí)數(shù)與向量的積：。③若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，，則C、D的坐標(biāo)分別是__________（答：）；④平面向量數(shù)量積：。如已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；⑤向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）；⑥兩點(diǎn)間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。（答：（1）2；（2））；7、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，。如下列命題中：①；②；③；④若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？8、向量平行(共線)的充要條件：＝0。如(1)若向量，當(dāng)＝_____時(shí)與共線且方向相同（答：2）；9、向量垂直的充要條件：.特別地。如(1)已知，若，則（答：）；10.線段的定比分點(diǎn)：（1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)；（2）的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)<－1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)；若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段所成的比為。如若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_______（答：）（3）線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當(dāng)＝1時(shí)，就得到線段PP的