復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講解(含答案)

復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性（北京習(xí)題集）

（教師版）

一．選擇題（共4小題）

1．2011秋?通州區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于函數(shù)y2sin(2x)，則下列結(jié)論正確的是(

（

6

)

A．(,0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱(chēng)

3

3

B．[,]在區(qū)間[,]遞增

36

36

C．x的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)

12

12

D．最小正周期是

2

2．2012春?東城區(qū)期末）函數(shù)f(x)2sin2xsin(2x)在區(qū)間[0，]的最大值和最小值分別為(

（

6

2

)

A．2，1

2

B．3，1

2

2

C．2，13

2

D．13，13

2

2

3．2006?西城區(qū)二模）函數(shù)f(x)3sin(2x)1的最小值和最小正周期分別是(

（

6

)

A．31,

B．31,

C．3,

)

D．31,2

4．2002?北京模擬）函數(shù)y2sinx的單調(diào)增區(qū)間是(

（

A．[2k，2k](kZ)

2

2

B．[2k，2k3](kZ)

2

2

C．[2k，2k](kZ)

二．填空題（共3小題）

D．[2k，2k](kZ)

5．2014秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)f(x)cos2xsinx1的值域是

（

6．2011春?西城區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)f(x)8sin2x3的遞減區(qū)間是

（

7．2008秋?順義區(qū)期末）函數(shù)y(cosx1)23的最大值為

（

2

．

．

，最小值為

．

三．解答題（共3小題）

8．2014秋?石景山區(qū)期末）函數(shù)f(x)2sin(2x)的部分圖象如圖所示．

（

3

（Ⅰ）寫(xiě)出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；

（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．

4

6

第1頁(yè)（共8頁(yè)）

9．2011秋?宣武區(qū)校級(jí)期中）已知m(3cosx,1cosx),n(2sinx,1cosx),xR，函數(shù)f(x)mn．

（

2

(I)求f()的值；

3

(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅲ）求f(x)在區(qū)間[0,5]上的最值．

12

10．2013秋?延慶縣期末）已知函數(shù)f(x)2sinx1．

（

（Ⅰ）設(shè)為大于0的常數(shù)，若f(x)在區(qū)間[,2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

23

（Ⅱ）設(shè)集合A{x|x2}，B{x||f(x)m|2}，若A

6

3

BB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

第2頁(yè)（共8頁(yè)）

復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性（北京習(xí)題集）

（教師版）

參考答案與試題解析

一．選擇題（共4小題）

1．2011秋?通州區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于函數(shù)y2sin(2x)，則下列結(jié)論正確的是(

（

6

)

A．(,0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱(chēng)

3

3

B．[,]在區(qū)間[,]遞增

36

36

C．x的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)

12

12

D．最小正周期是

2

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論．

【解答】解：由于點(diǎn)(,0)不在函數(shù)y2sin(2x)的圖象上，故函數(shù)圖象不關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱(chēng)，故排除A．

3

6

3

令2k2x2k，kz，解得kxk，kz，故函數(shù)的增區(qū)間為[,]，故B正確．

2

6

2

3

6

36

當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值y3，不是最值，故函數(shù)的圖象不關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，故排除C．

12

12

由函數(shù)的解析式可得，最小正周期等于T2，故D不正確．

2

綜上可得，只有B正確，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性，屬于中檔題．

2．2012春?東城區(qū)期末）函數(shù)f(x)2sin2xsin(2x)在區(qū)間[0，]的最大值和最小值分別為(

（

6

2

)

D．13，13

2

2

【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為1sin(2x)．由x[0，]，利用正弦函數(shù)的定義域

6

2

A．2，1

2

B．3，1

2

2

C．2，13

2

和值域求得函數(shù)的最值．

【解答】解：函數(shù)f(x)2sin2xsin(2x)1cos2x3sin2x1cos2x13sin2x1cos2x1sin(2x)．

6

2

2

2

2

6

由x[0，]，可得2x[，5]，故當(dāng)2x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值為112，

2

6

6

6

62

當(dāng)2x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值為111，

6

6

22

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于

第3頁(yè)（共8頁(yè)）

中檔題．

3．2006?西城區(qū)二模）函數(shù)f(x)3sin(2x)1的最小值和最小正周期分別是(

（

6

)

A．31,

B．31,

C．3,

D．31,2

【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得f(x)3sin(2x)1的最小值和最小正周期．

6

【解答】解：

當(dāng)sin(2x

f(x)3sin(2x)1，

6

)1時(shí)，f(x)取得最小值，

6

即f(x)min31；

又其最小正周期T2，

2

f(x)3sin(2x)1的最小值和最小正周期分別是：31，．

6

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的周期性與值域，屬于中檔題．

4．2002?北京模擬）函數(shù)y2sinx的單調(diào)增區(qū)間是(

（

)

A．[2k，2k](kZ)

2

2

B．[2k，2k3](kZ)

2

2

C．[2k，2k](kZ)

D．[2k，2k](kZ)

【分析】由于y2u是增函數(shù)，只需求usinx的增區(qū)間即可．

【解答】解：因?yàn)閥2x是增函數(shù)，求函數(shù)y2sinx的單調(diào)增區(qū)間，就是g(x)sinx的增區(qū)間，

它的增區(qū)間是[2k/2，2k/2](kZ)

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．

二．填空題（共3小題）

5．2014秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)f(x)cos2xsinx1的值域是

（

[1，2]

4

．

【分析】利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系可得f(x)(sinx1)21，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得答案．

2

4

【解答】解：f(x)cos2xsinx1sin2xsinx(sinx1)21，

2

4

當(dāng)sinx1時(shí)，ymin1；

2

4

當(dāng)sinx1時(shí)，ymax2；

第4頁(yè)（共8頁(yè)）

所以，函數(shù)f(x)cos2xsinx1的值域是[1，2]

4

故答案為：[1，2]．

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合三角函數(shù)的值域，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，利用二次函數(shù)的配方法解決是關(guān)鍵，考查

轉(zhuǎn)化思想．

6．2011春?西城區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)f(x)8sin2x3的遞減區(qū)間是

（

[k,k],kZ

2

．

【分析】令sinxt，則1t1，函數(shù)f(x)8sin2x3g(t)8t23，顯然函數(shù)g(t)在[1，0]上是減函數(shù)，故本

題即求函數(shù)tsinx在1t0時(shí)的增區(qū)間，

結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得答案．

【解答】解：令sinxt，則1t1，函數(shù)f(x)8sin2x3g(t)8t23，

顯然函數(shù)g(t)在[1，0]上是減函數(shù)，故本題即求函數(shù)tsinx在1t0時(shí)的增區(qū)間，故x[k,k],kZ，

2

故函數(shù)f(x)的減區(qū)間為[k,k],kZ，

2

故答案為[k,k],kZ．

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．

7．2008秋?順義區(qū)期末）函數(shù)y(cosx1)23的最大值為

（

2

3

4

，最小值為

．

【分析】把cosx用一個(gè)字母t表示，根據(jù)余弦函數(shù)的有界性得到t的范圍，原函數(shù)就可看做關(guān)于t的二次函數(shù)，再利

用二次函數(shù)求最值的方法，求出函數(shù)的最大值與最小值．

【解答】解：令cosxt，cosx[1，1]，t[1，1]

函數(shù)y(cosx1)23可化為y(t1)23，t[1，1]

2

2

當(dāng)t1時(shí)，y有最大值，最大值為3，當(dāng)t1時(shí)，y有最小值，最小值為3

4

2

故答案為3；3

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合，利用換元法求函數(shù)的最大值與最小值，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬

基礎(chǔ)題．

三．解答題（共3小題）

8．2014秋?石景山區(qū)期末）函數(shù)f(x)2sin(2x)的部分圖象如圖所示．

（

3

（Ⅰ）寫(xiě)出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；

（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．

4

6

第5頁(yè)（共8頁(yè)）

【分析】

（Ⅰ）直接由函數(shù)解析式求得函數(shù)的周期及y0，由三角函數(shù)取得最大值求得x0；

（Ⅱ）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)的最值．

【解答】解：

（Ⅰ）f(x)的最小正周期為2，x05，y02；

2

12

（Ⅱ）

x[,]，2x[5,0]．

46

3

6

于是，當(dāng)2x0，即x時(shí)，f(x)取得最大值0；

3

6

當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最小值2．

3

2

12

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)周期的求法，考查了三角函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．

9．2011秋?宣武區(qū)校級(jí)期中）已知m(3cosx,1cosx),n(2sinx,1cosx),xR，函數(shù)f(x)mn．

（

2

(I)求f()的值；

3

(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅲ）求f(x)在區(qū)間[0,5]上的最值．

12

【分析】(I)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合三角函數(shù)的降次公式和輔助角公式，得

f(x)mn3sin2x1cos2xsin(2x)1，代入x即可得到f()的值；

2

2

6

2

3

3

(II)根據(jù)函數(shù)ysinx的單調(diào)區(qū)間的公式，令2k2x

2

6

的單調(diào)增區(qū)間；

2k，解得kxk，可得函數(shù)f(x)

2

6

3

(III)根據(jù)x[0,5]，可以計(jì)算出2x[,2]，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得0sin(2x)1

12

6

63

6

2

f(x)在區(qū)間[0,5]上的最值小值和最大值．

12

【解答】解：(I)根據(jù)題意，得f(x)mn3cosx2sinx(1cosx)(1cosx)

2

第6頁(yè)（共8頁(yè)）

3，由此可得

2

3sin2x1cos2x3sin2x1cos2xsin(2x)1

2

2

2

6

2

f()sin(2)1113

3

36

2

22

(II)令2k2x

2

6

2k，

（其中k是整數(shù)）

2

可得kxk

6

3

函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k，k)．(kZ)

6

3

(III)

x[0,5]

12

2x[,2]，可得1sin(2x)1

6

63

2

6

因此0sin(2x)1

6

2

3，f(x)在區(qū)間[0,5]上的最值小值為0，最大值為3

2

12

2

【點(diǎn)評(píng)】本題以向量的數(shù)量積為載體，要求對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求函數(shù)的值域與最值，著重考查了三角函數(shù)

中的恒等變換應(yīng)用和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．

10．2013秋?延慶縣期末）已知函數(shù)f(x)2sinx1．

（

（Ⅰ）設(shè)為大于0的常數(shù)，若f(x)在區(qū)間[,2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

23

（Ⅱ）設(shè)集合A{x|x2