黑龍江省哈爾濱市新北方外國語學(xué)院高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

黑龍江省哈爾濱市新北方外國語學(xué)院高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若直線∥平面，直線，則與的位置關(guān)系是A、∥a

B、與異面

C、與相交

D、與沒有公共點參考答案：D略2.橢圓的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則P到F2的距離為(

)A． B． C． D．4參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)橢圓的方程求出橢圓的焦點坐標，然后結(jié)合題意求出P點的坐標可得的長度，再根據(jù)橢圓的定義計算出．【解答】解：由橢圓可得橢圓的焦點坐標為（，0）設(shè)F點的坐標為（﹣，0）所以點P的坐標為（﹣，），所以=．根據(jù)橢圓的定義可得，所以．故選C．【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的有關(guān)性質(zhì)與橢圓的定義．3.如圖5，PA為⊙O的切線，A為切點，PO交⊙O于點B，PA＝8，OA＝6，則tan∠APO的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知，若，則下列不等式成立的是()A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對每一個選項進行證明，或找反例進行排除.【詳解】解：選項A：取，此時滿足條件，則，顯然，所以選項A錯誤；選項B：取，此時滿足條件，則，顯然，所以選項B錯誤；選項C：因為，所以，因為，所以，選項C正確；選項D：取，當(dāng)，則，所以，所以選項D錯誤；故本題選C.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟知不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.若實數(shù)x，y滿足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，則的取值范圍是（）A．（，） B．[，]C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，]∪[，+∞）參考答案：B【考點】JE：直線和圓的方程的應(yīng)用．【分析】方程即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示一個以C（1，1）為圓心、半徑等于1的圓．表示圓上的點（xy）與點A（﹣1，﹣1）連線的斜率．求出圓的兩條切線方程，可得切線斜率k的范圍即可．【解答】解：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示一個以C（1，1）為圓心、半徑等于1的圓．表示圓上的點（xy）與點A（﹣1，﹣1）連線的斜率．設(shè)圓的過點A的一條切線斜率為k，則切線的方程為y+1=k（x+1），即kx﹣y+k﹣1=0．由圓心到切線的距離等于半徑可得=1，k=．故切線的斜率k的范圍為[，]．故選：B．【點評】本題主要考查圓的標準方程、直線的斜率公式、點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．6.已知偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.不等式的解集為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略7.已知單位向量，，滿足.若點在內(nèi)，且，，則下列式子一定成立的是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】設(shè)，對比得到答案.【詳解】設(shè)，則故答案為D【點睛】本題考查了向量的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.8.設(shè)函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

(

)

A．(-∞，2)

B．(-∞，]

C．(0,2)

D．[,2)參考答案：B略9.設(shè)集合，,則=（

）A． B． C．

D．參考答案：C略10.如圖，在△ABC中，設(shè)，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，若，則（

）A. B. C. D.1參考答案：C【分析】根據(jù)平面向量基本定理及其幾何意義，結(jié)合條件可得及，解方程可求得，即可得到m，n的值，所以得到結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，，①，②由①②解方程求得.再由可得.【點睛】本題考查向量的基底表示，向量共線，考查學(xué)生的運算能力，觀察能力，屬于中檔題.

二、填空題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域為__________．參考答案：，．

12.函數(shù)恒過定點

.參考答案：13.（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且異面直線AC1與A1B所成的角為60°，則∠CAB等于

．參考答案：90°考點： 異面直線及其所成的角．專題： 空間角．分析： 由已知條件，構(gòu)造正方體ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°．解答： 解：由已知條件，構(gòu)造正方體ABDC﹣A1B1D1C1，滿足條件AC=AB=AA1，且異面直線AC1與A1B所成的角為60°，∴∠CAB=90°．故答案為：90°．點評： 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．14.設(shè)函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（x）﹣k有且只有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（，+∞）【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】畫出分段函數(shù)的圖象，由題意可得f（x）=k有兩個不等的實根，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k與y=f（x），作出函數(shù)y=k與y=f（x）的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)y=f（x）﹣k有且只有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（，+∞）．故答案為：（，+∞）．15.若函數(shù)對一切，都有，且則_______________.參考答案：略16.已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是__________.參考答案：(0,1)【分析】畫出函數(shù)f(x)的圖像，根據(jù)f(x)圖像與有三個交點，求得的取值范圍.【詳解】畫出f(x)的圖像如下圖所示，要使方程有三個不同的實數(shù)根，則需f(x)圖像與有三個交點，由圖可知，的取值范圍是.故答案為：(0,1)【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)圖像的畫法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.17.若，則

▲．參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足.（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記，求{bn}的前n項和Tn.參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得故.

（Ⅱ）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，。

19.已知函數(shù)，（為實常數(shù)）（1）若，將寫出分段函數(shù)的形式，并畫出簡圖，指出其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求的表達式。參考答案：（1），

的單調(diào)遞減區(qū)間為和

（2）當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，當(dāng)時，，（?。┊?dāng)，即時，此時在上單調(diào)遞增，時，（ⅱ）當(dāng)，即時，當(dāng)時，（ⅲ）當(dāng)，即時，此時在上單調(diào)遞減，時

當(dāng)時，，，此時在上單調(diào)遞減，時

綜上：

略20.某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，如表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款（年底余額），如表1年份x20112012201320142015儲蓄存款y（千億元）567810

為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理，得到表2：時間代號t12345z01235

（1）求z關(guān)于t的線性回歸方程；（2）通過（1）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；（3）用所求回歸方程預(yù)測到2010年年底，該地儲蓄存款額可達多少？附：對于線性回歸方程，其中,.參考答案：（1）；（2）；（3）3.6千億．【分析】（1）利用最小二乘法求出z關(guān)于t的線性回歸方程；（2）通過，把z關(guān)于t的線性回歸方程化成y關(guān)于x的回歸方程；（3）利用回歸方程代入求值?！驹斀狻拷猓海?）由表中數(shù)據(jù)，計算（1+2+3+4+5）＝3，（0+1+2+3+5）＝2.2，tizi＝1×0+2×1+3×2+4×3+5×5＝45，12+22+32+42+52＝55，所以1.2，b2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，所以z關(guān)于t的線性回歸方程為z＝1.2t﹣1.4；（2）把t＝x﹣2010，z＝y(tǒng)﹣5代入z＝1.2t﹣1.4中，得到：y﹣5＝1.2（x﹣2010）﹣1.4，即y關(guān)于x的回歸方程是y＝1.2x﹣2408.4；（3）由（2）知，計算x＝2010時，y＝1.2×2010﹣2408.4＝3.6，即預(yù)測到2010年年底，該地儲蓄存款額可達3.6千億．【點睛】本題主要考查了非線性回歸模型問題，采用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，把問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題，是求解非線性回歸問題的主要手段。21.（12分）已知是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，為的前項和.（Ⅰ）求通項及；（Ⅱ）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前項和.參考答案：解：⑴

----------------------------------------2分

--------------------------------------5分⑵由題意得：

--------------------------------------7分所以

----------------------------------9分所以

----------------------------12分略22.已知函數(shù).（1）當(dāng)a=2，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）見解析；(2)【分析】（1）代入a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可．【詳解】（1）當(dāng)a=2時，，令，解得x=1.列表：x1—0+↘極小值↗

所以，當(dāng)x=1時，有極小值，沒有極大值（2）①因為.所以，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，只有一個零點，不合題意，當(dāng)時，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即為最小值.1°當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，只有一個零點，不合題意；2°當(dāng)時，，故，最多有兩個零點.注意到，令,取，使得，下面先證明；設(shè)，令，解得